24.2.1 点和圆的位置关系（第2课时） 闯关练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.2.1 点和圆的位置关系（第2课时） 闯关练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．三角形外心到三边距离相等
D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（ ）
A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于
C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于
二、填空题
5．过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆．
6．用反证法证明：不在同一条直线上的三点确定一个圆，证明时可以先假设 ．
7．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 ．
8．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 ，交射线 OB 于点 D，连接 CD；（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点 M，N；（3）连接 OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝20°，则∠OMN= ．
9．写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例： ．
10．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
12．如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 点．
三、解答题
13．图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺；在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心O．
(2)在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）．
(3)在图③中，正方形网格中的圆经过格点A、B，画出该圆的圆心O．
(4)如图④，是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高．
14．当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立；
第二步：基于假设进行逻辑推理，
第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果，
第四步：从而假设不成立，求证的结论正确．
(1)阅读正文并解答下列问题：
如图1，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，
如图2，在内部作，交于点D．
∵，
∴；
∴，
∵
即：，
这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
②若，
···
综上，．
请你补充②中所缺失的部分
(2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______．
(3)如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直．
15．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线，直线分别与、交于点O，．
求证：．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线，使
∴（ ）
又∵，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 D C D D
1．D
【分析】根据圆的认识，垂径定理，三角形的内心与外心，确定圆的条件逐项判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
B、平分不是直径的弦的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形外心到三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆的认识，垂径定理，三角形的内心与外心，确定圆的条件．熟练掌握这些数学概念的解题的关键．
2．C
【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径．
【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为，
∵点A的坐标为，
∴的半径为，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点、、、在同一条直线上，点在直线外，即可求解
【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆，
点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆，
即能画圆的个数是6个
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了反证法，直角三角形的两个锐角互余，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立．原命题为“至少有一个锐角不大于”，其反面是“所有锐角都大于”．
【详解】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，即存在一个锐角小于或等于．
反证法需假设结论的反面成立，即“两个锐角都大于”．此时，两个锐角的和将超过，与直角三角形中两锐角之和为矛盾．
因此，假设不成立，原命题成立．选项中对应“每一个锐角都大于”的是D．
故选：D．
5． 无数 无数 垂直平分线 一
【分析】利用过点作圆的个数即可求解．
【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，
故答案为：无数；无数；垂直平分线；一．
【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键．
6．不在同一直线上的三点不能确定一个圆
【分析】本题考查反证法，根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，作答即可．
【详解】解：用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设不在同一直线上的三点不能确定一个圆；
故答案为：不在同一直线上的三点不能确定一个圆
7．n≠﹣8
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴当点C在直线AB上时，，
∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，
故答案为：n≠﹣8．
【点睛】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，能够了解确定一个圆时三点不共线是解答本题的关键．
8．60°
【分析】根据等弧或等弦所对的圆心角相等即可得到∠COM=COD=∠DON=20°，从而判断△OMN是等边三角形即可解答．
【详解】解：由作图可知：CM=CD=DN，
∴∠COM=COD=∠DON=20°，
∴∠MON=60°，
又∵OM=ON，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠OMN=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到△OMN是等边三角形．
9．中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形形状．
【详解】解：若中，，，则中有两个锐角，但是钝角三角形．
故答案为：中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一）
10．②④①③
【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．
【详解】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，
是2的倍数，
可设（为正整数），则，
，即，
是2的倍数，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
故答案为：．②④①③
【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．
11．(－1，0)
【分析】根据网格的特点找到的垂直平分线的交点即可求解．
【详解】根据不共线三点确定一个圆，如图，的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不共线三点确定一个圆，求圆心的坐标，掌握确定圆的条件是解题的关键．
12．G
【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．
【详解】解：如图：
作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，
则△ABC的外接圆圆心是点G，
故答案为：G．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心；
（2）根据轴对称的性质和平行四边形的性质找出格点、或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得；
（3）借助正方形网格，网格中通过特殊点连线可找到弦的垂直平分线的交点，即圆心，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O，，得到和均为圆的直径，点O为该圆的圆心；
（4）取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．
（2）解：如图，点即为所求（画出一个即可）．
（3）解：如图，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O，
（4）解：如图，取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G，则即为所求．
证明：∵为直径，
,
∴和为的高，
∵三角形的三条高相交于一点，
∴为边上的高．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作三角形边上的高以及找圆的圆心，及轴对称的性质，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质和几何图形的基本特征，并巧妙利用网格或半圆等条件来完成作图．
14．(1)见解析
(2)三角形的三个内角中，三个内角都大于
(3)见解析
【分析】本题主要考查了反证法，菱形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知反证法是解题的关键．
（1）若，则，这与已知相矛盾，据此证明即可；
（2）反证法第一步应假设结论不成立，即应假设三角形的三个内角中，三个内角都大于；
（3）假设线段与垂直，根据三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，线段与垂直，则四边形是菱形，可得，进而得到，这与均不相等矛盾，据此可证明结论．
【详解】（1）解：若，则，这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
综上，．
（2）解：用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设三角形的三个内角中，三个内角都大于；
（3）证明：假设线段与垂直，
∵点D、E、F分别是的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵线段与垂直，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，这与均不相等矛盾，
∴假设不成立，
∴线段与不垂直．
15．(1)；同位角相等，两直线平行
(2)②
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】（1）证明：假设．
如图2，过点O作直线，使，
（同位角相等，两直线平行）
又，且直线经过点O
∴过点O存在两条直线、与直线平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ；同位角相等，两直线平行；
（2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
故答案为：②
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键．
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