24.3 正多边形和圆 闯关练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.3 正多边形和圆 闯关练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
2．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
3．边长为2的正四边形内接于，则该正四边形的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　）
A．14 B．18 C．16 D．20
5．半径为2的圆内接正方形的边长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
6．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ）
A． B．6 C．24 D．12
7．下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．正多边形外接圆的圆心角是它的中心角
D．正多边形外接圆的半径是它的半径
二、填空题
8．已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ．
9．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ．
10．如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ．
11．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．

三、解答题
12．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？
13．如图，正六边形内接于，求的度数．
14．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
15．如图，点、、、都在上，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
16．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

(1)求∠E的度数．
(2)求证：．
(3)若，则点E到的距离为 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B C D D C D
1．B
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键．
根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可．
【详解】解：设正多边形的边数为．
由题意可得：，解得：．
故选B．
2．B
【分析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可．
【详解】解：正六边形的中心角的度数为：，
∴正六边形绕其中心旋转或的整数倍时，仍与原图形重合，
∴旋转角的大小不可能是；
故选B．
【点睛】本题考查旋转图形，正多边形的中心角．熟练掌握旋转的性质，正多边形的中心角的度数的求法，是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了正多边形与圆，理解正多边形的边长与其外接圆的关系是解题的关键；正四边形即正方形内接于圆时，其外接圆半径等于正方形对角线的一半．
【详解】解：正四边形的对角线长为，则其内接圆的半径为；
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可．
【详解】解：∵内接正多边形的中心角为，且，
∴该正多边形的边数是20．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了圆内接正方形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是明确圆的直径与正方形对角线的关系，并利用勾股定理计算正方形边长．
先根据圆的半径求出直径，圆内接正方形的对角线等于圆的直径；再设正方形边长为未知数，利用勾股定理建立方程；最后求解方程得到正方形边长．
【详解】解：已知圆的半径为2，则圆的直径为，即圆内接正方形的对角线长为4．
设正方形的边长为，根据勾股定理，正方形对角线的平方等于两条边长平方之和，可得，即
，化简得，解得：（边长为正数，舍去负根）．
故选：D．
6．C
【分析】本题主要考查了正多边形，
先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案.
【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G，
可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成.
如图，在中，，
∴，
∴，
所以这个正六边形的面积.
故选：C.
7．D
【分析】根据正多边形的概念和性质逐一判断即可．
【详解】解：、各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，不符合题意；
、当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称图形，不符合题意；
、正多边形的每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，不符合题意；
、正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查多边形的性质，正确记忆正多边形的特点是解题关键．
8．10
【分析】本题考查正多边形的中心角和内角，根据中心角和内角的计算公式，结合两个角的度数的比值，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
即：，
解得：；
故答案为：10．
9．
【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案．
【详解】解：连接，，如下图，
∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
∵
∴，
∴这个正多边形的边数．
故答案为：．
10．/18度
【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接，，根据圆内接正五边形，得到，，则，得到，根据等腰三角形得到，再由得到，最后根据三角形内角和求解即可．
【详解】解：连接，，
∵在的圆内接正五边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．/54度
【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键．
先根据正多边形内角和定理求得再根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∵是优弧上的一点（不与点重合），
∴．
故答案为：．
12．半径至少为a．
【分析】画出正方形外接圆，连接AC，求出正方形外接圆半径即可．
【详解】解：如图所示，连接AC，
∵∠D＝90°，
∴AC为直径，
在 Rt△ACD中，AC＝＝a，
∴半径至少为a．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的计算，解题关键是画出图形，准确进行计算．
13．
【分析】由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案.
【详解】解： 正六边形内接于，
是直径，
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键.
14．2cm
【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数:
（2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．
【详解】（1）∵点、、、都在上，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为
（2）连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．
16．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解；
（2）要证明，只要证明即可；
（3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，

∴
∵正方形内接于，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接并延长交于点F，

∵，，∴是线段的垂直平分线，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即点E到的距离为，
故答案为：．
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