24.4 弧长和扇形面积（第1课时） 闯关练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.4 弧长和扇形面积（第1课时） 闯关练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．圆心角为，半径为的扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（ ）
A．15度 B．16度 C．20度 D．24度
3．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
4．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图是边长为1的正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，则顶点B所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，四边形ABCD内接于，的半径为3，，则的长为 ．
8．如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ．
9．如图，以五边形的顶点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分为 ．
10．如图，矩形中，，，现将此矩形绕点顺时针旋转得到新的矩形，则边扫过的面积（阴影部分）是 （结果保留）
三、解答题
11．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面直径为，整个高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（结果保留）？
12．如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上．
(1)求扇形的面积；
(2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高．
13．如图，已知每个小正方形的边长为，都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．

(1)计算这个圆锥侧面展开图的面积；
(2)求这个圆锥的底面半径．
14．综合与实践
问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形．
(1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______．
(2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示．
(3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草 ，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由．
15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
(1)将向右平移个单位长度得到，请画出；
(2)画出与关于点对称的；
(3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C B D B A
1．B
【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积公式直接计算即可求解，掌握扇形面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
故选：．
2．C
【分析】根据弧长公式和圆的周长公式的关系即可得出答案
【详解】解：∵一弧长是其所在圆周长的，
∴
∴
∴这条弧长所对的圆心角为
故选：C
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可．
【详解】解：的长度．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式直接计算即可．
【详解】解：管道展直长度是，
故选：D．
5．B
【分析】先根据勾股定理计算出BC=，顶点B所经过的路径为弧，根据旋转的性质得弧所对的圆心角为60°，然后根据弧长公式求解．
【详解】解：BC==，
所以顶点B所经过的路径长=．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式．
6．A
【分析】先求出，，，再由即可求出答案．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
∴，
∴图中阴影部分的面积是．
故选：A
【点睛】此题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积等知识，准确计算是解题的关键．
7．
【分析】连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：连接，，
∵四边形内接于，，
∴，
∴，
∴的长=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．
【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算．
【详解】解：为等边三角形，
，
每次旋转的度数为，
点从开始到结束，所经过路径的长度．
故答案为．
9．
【分析】本题考查了多边形的内角和，扇形的面积公式，掌握知识点是解题的关键．
首先确定5个扇形的圆心角的度数之和，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵5个扇形的圆心角的和为，，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了扇形的面积公式和旋转的旋转以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积．连接、，则阴影部分的面积为扇形的面积减去扇形的面积．
【详解】解：连接、，
根据勾股定理，得，
故可得，
，
则阴影部分的面积．
故答案为：．
11．平方米
【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的侧面积计算，勾股定理，先求出圆柱的侧面积和圆锥的母线长，进而求出圆锥的侧面积，则可求出一个蒙古包需要的毛毡面积，最后乘以20即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵圆柱底面圆的直径为，
∴，
∴圆柱的侧面积为，圆锥的母线长为，
∴圆锥的侧面积为，
∴至少需要 的毛毡．
12．(1)
(2)圆锥的底面半径为，高为
【分析】（1）先判断过圆心O，，然后由勾股定理求扇形的半径，再根据面积公式求解即可；
（2）利用底面周长等于展开图的弧长，可求得半径径的长度，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】（1）连接，，
∵，
∴过圆心O，
∴，
∵从中剪出一个圆心角的扇形，
∴．
∵，
∴，
∴扇形半径为；
∴；
（2）设围成圆锥的底面半径为r，则，
解得，
∵圆锥的母线长，
∴圆锥的高为．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
13．(1)
(2)这个圆锥的底面半径为．
【分析】（1）利用图形可以得到扇形的圆心角，和半径，利用扇形面积公式计算扇形的面积即可；
（2）根据（1）的结果可求得圆锥底面半径．
【详解】（1）解：由图可知，；
则弧的长为，
∴面积为：；
（2）解：设底面半径为r，
则，
．
这个圆锥的底面半径为．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题需要准确掌握扇形的弧长公式，并且要善于读图．
14．(1)相等，6
(2)
(3)不够长；理由见解析
【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可．
（2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可．
（3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可．
【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则，
解得，
故答案为：相等，6．
（2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得，
解得．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴够长．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌握展开图的意义是解题的关键．
15．(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）根据图示，可知各点的坐标，向右平移个单位长度，则各点的坐标的横坐标加，由此得到对应点的坐标，连接各点即为所有图形；
（2）由（1）可知各点的坐标，关于原点对称的点，则对称图形的坐标变为原来坐标的相反数，由此得到对应图形点的坐标，连接各点即为所求图形；
（3）根据各点坐标的特点与各点的特点，以及旋转的性质，即可求出对应点的弧长．
【详解】（1）解：根据图示可知，，，，向右平移个单位长度得，
∴，，，如图所示，连接点，
∴即为所求图形．
（2）解：∵中点，，，关于原点对称得，
∴，，，如图所示，连接，
∴即为所求图形．
（3）解：∵中，，，中点，，，如图所示，连接对应点，交于点，如图所示，
当绕点顺时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为；
当绕点逆时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为，
∴，
∴点到点所经过的路径长．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，图形结合，理解并掌握平移，对称，旋转的性质，弧长的计算公式是解题的关键．
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