24.1 圆的有关性质 闯关练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.1 圆的有关性质 闯关练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图，是的直径，，点M在上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是　　
A．1
B．
C．2
D．
6．如图，点在上，为的直径，，，是的中点，与相交于点，则的长为（　　）

A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，以点为圆心、为半径的圆交于点，求弦的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=60°，，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．从圆内一点引两条弦与，则与、度数间的关系是 ．
10．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，∠ABC=35°，则∠D= ．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝116°，则∠ADC的角度是 ．
12．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．

13．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为 ．
三、解答题
14．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直径的半⊙O于D，E．连接AE，BD，交点为F．
(1)证明：AF＝BC；
(2)当点F是BD中点时，求BE：EC值．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．

(1)若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　　°；∠DAC＝　　°
(2)求证：∠BAC＝2∠DAC；
(3)若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
16．如图，在中，，点P在边上运动，，交于点E，以4为半径的交边于点Q，延长交于点F，，交延长线于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
17．如图，圆内接四边形ABDC中，AB＝AC＝4，AD＝5，E为的中点，AE交CD于点F，M为AD上一点，且AM＝4．
(1)求证：∠DBM＝∠DAF；
(2)求BD DC的值．
18．如图，在中，是的角平分线，以为直径的交于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B B B B B C
1．C
【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接交于，周长为，由对称性知周长为，根据两点之间线段最短可知周长的最小为，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案．
【详解】解：作点关于的对称点，则点在上，连接交于，
由对称性知，
周长为，
根据两点之间线段最短可知周长的最小为，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∵，
∴周长的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查动点最值问题将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3．B
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进而可以得到答案．
【详解】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，
∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．B
【分析】根据内接四边形的性质得出∠C的度数，再由点C为弧BD的中点得出CD=BC，最后利用等腰三角形的性质得出结果.
【详解】解：∵四边形内接于，∠A=50°，
∴∠C=180°-50°=130°，
∵点C为BD中点，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=（180°-130°）÷2=25°，
故选B.
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出∠C的度数和CD=BC.
5．B
【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
，，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
，，
，
，
的最小值，
故选B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
6．B
【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理等知识．过点作于．首先证明，设，根据勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于．
，
，
是直径，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
故选：B．
7．B
【分析】过C作CF⊥AB于F，根据垂径定理得出AD=2AF，根据勾股定理求BC，根据三角形面积公式求出CF，根据勾股定理求出AF即可．
【详解】过C作CF⊥AB于F，
∵CF⊥AB，CF过圆心C，
∴AD=2AF．
∵△ABC中，∠ACB是直角，AC=4，AB=7，
∴由勾股定理得：BC=，
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CF，即4×=7CF，
∴CF=，
在△AFC中，由勾股定理得：AF=，
∴AD=2AF=．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出AF的长．
8．C
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则，求出OM，OF即可解决问题．
【详解】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则．
∵∠AMD＝90°，AD＝8，OA＝OD，
∴OMAD＝4，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝4，
∵CD＝8，
∴CG＝4，
∴OG＝2OD cos30°＝4，GF，OF＝6，
∴ME≥OF﹣OM＝64，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为64．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形、求线段最值等，通过作辅助线得出是解题关键．
9．（的度数的度数）
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的转化，圆周角的度数等于它所对的弧的度数．连，根据三角形外角性质得到，而的度数，的度数，由此得到与、度数间的关系．
【详解】解：如图，连，
，
又的度数，的度数，
（的度数的度数）．
10．55°/55度
【分析】由圆周角定理的推论可知，∠D=∠A，由于AB为直径，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，利用互余关系求∠A即可．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°﹣∠ABC=90°﹣35°=55°，
由圆周角定理可知，∠D=∠A=55°，
故答案为55°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的判定与性质．关键是利用圆的直径判断直角三角形，利用互余关系求∠A，利用圆周角定理的推论求∠D．
11．58°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】∵∠AOC和∠ADC都对，
∴∠ADC=∠AOC=×116°=58°．
故答案为：58°．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．
【详解】试题分析：首先找出点A关于MN对称的对称点A'，AP+BP的最小值就是A′B的长度．
试题解析：如图，作点A关于MN的对称点A′，连接BA′交圆于P，则点P即是所求作的点，

∵A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON=∠A′ON=360°÷2÷3=60°，
又∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=×60°="30°"
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°
在Rt△A′OB中，由勾股定理得：A′B2=A′O2+BO2="1+1=2"
得：A′B=，
所以：AP+BP的最小值是.
考点：1.圆周角定理；2.垂径定理；3.轴对称-最短路线问题．
13．4
【详解】解：连结OA，如图下图所示
∵OG⊥AC，
∴AG=CG，
在Rt△AOG中，OG=3，OA=5，
∴AG=，
又∵OG垂直AC,
∴AC＝2AG＝8，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE=BE，CF=BF，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF= AC=4．
故答案是4．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理推论可得∠ADB＝∠AEB＝90°，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，根据∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，且∠AFD＝∠BFE，即可得出∠DAF＝∠FBE，则可证明△ADF≌△BDC，即可得出答案；
（2）设DF＝a，则DF＝BF＝a，可得AD＝BD＝2a，根据勾股定理可得AFa，由（1）中结论可得AF＝BC，由∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，可证明△ADF∽△BEF，则，可得BEa，由CE＝BC﹣BE可得出CE的长度，计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC=∠DBA，
∴AD＝BD，
∵∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠DAF＝∠FBE，
在△ADF和△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴AF＝BC；
（2）∵点F是BD中点，
∴DF＝BF，
设DF＝a，则DF＝BF＝a，
∴AD＝BD＝2a，
在Rt△ADF中，
AFa，
∴AF＝BC，
∵∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BEa，
∴CE＝BC﹣BEaaa，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理及相似三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的性质进行求解是解题的关键．
15．(1)；；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可求∠ADC，根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求∠DAC；
（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理及三角形内角和定理即可求解；
（3）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到，
CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到CG＝CH，根据相似三角形的性质得到，设BH＝k，AH＝2k，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，
∵BD⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADB﹣∠AED＝20°，
故答案为：110；20
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）过A作AH⊥BC于H，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∵AB＝AC，
∴，
CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
∴∠G＝∠AHC＝90°，AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴，
∴，
设BH＝k，AH＝2k，
∴
∴k＝，
∴BC＝2k＝．

【点睛】本题考查圆内接四边形、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及其性质，勾股定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理逆定理，解直角三角形，圆的基本性质：
（1）勾股定理逆定理，得到，平行线的性质得到，三角形的外角，推出，即可得到；
（2）连接，过点作，根据，得到，勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用正切值，求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）连接，过点作，则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
设，，则：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）设∠DAE＝α，∠ADC＝β，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠EAC＝α，∠ADC＝∠ADB＝β，再利用圆内接四边形的性质得到∠BDC+∠BAC＝180°，则∠BAM＝180﹣2α﹣2β，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠BMA＝α+β，然后根据三角形外角性质得到∠DBM＝α，从而得到结论；
（2）证明△BDM∽△ADF，利用相似比得到BD DF＝5，再根据角平分线的性质得到，则DF＝CF，所以DF＝DC，于是可计算出BD DC＝9．
【详解】（1）证明：设∠DAE＝α，∠ADC＝β，
∵E为的中点，
∴∠DAE＝∠EAC＝α，
∵AB＝AC，
∴，
∴∠ADC＝∠ADB＝β，
∵∠BDC+∠BAC＝180°，
∴∠BAM＝180﹣2α﹣2β，
∵AB＝AM，
∴∠BMA＝（180°﹣∠BAM）＝α+β，
而∠BMA＝∠DBM+∠ADB，
∴∠DBM＝α，
∴∠DBM＝∠DAF；
（2）解：∵∠DBM＝∠DAF，∠ADC＝∠ADB，
∴△BDM∽△ADF，
∴，
∴BD DF＝DM DA＝1×5＝5，
∵AE平分∠DAC，
∴
∴CF＝DF，
∴DC=DF+CF=DF，
∴DF＝DC，
∴BD DF＝BD DC＝5，
∴BD DC＝9．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角，等腰三角形，三角形外角，相似三角形，三角形角平分线．解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，三角形角平分线性质．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形：
（1）连接，根据圆内接四边形的对角互补，以及平角的定义，推出，证明，得到，进而推出，即可得证；
（2）设，得到，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的值，根据，列出比例式，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则四边形为圆内角四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴．
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