24.1.2 垂直于弦的直径 闯关练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.1.2 垂直于弦的直径 闯关练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列命题中，不正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分这条弦 B．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
C．弦的垂直平分线是圆的直径 D．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦
2．如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（ ）

A．5 B． C． D．
5．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（ ）
A．8米 B．6米 C．4米 D．2米
6．如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（ ）
A． B．6 C．8 D．10
二、填空题
7．如图，是的弦，根据下列条件填空：
（1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ；
（2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ；
（3）如果，且，那么有 ， ， ．

8．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为 ．

9．如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM:MD=5:8,则⊙O的周长为 ．
三、解答题
10．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：．
11．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；
(2)求证：．
12．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求：
(1)拱桥所在的圆的半径；
(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施．
13．如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.
14．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2．
（1）求半圆的半径长；
（2）求BE的长．
15．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D B C C D
1．C
【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关概念，根据垂径定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 垂直于弦的直径平分这条弦，故该选项正确，不符合题意；
B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项正确，不符合题意；
C. 弦的垂直平分线是圆的直径所在的直线，故该选项不正确，符合题意；
D. 平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出的长，再求圆的直径即可．
【详解】在中，，
∴，
在中，，
∴的直径为，
即最长的弦长是．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，由垂径定理得到，且，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案，熟记圆的性质、垂径定理与勾股定理在圆中求线段长的方法步骤是解决问题的关键．
【详解】解：隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，隧道最高点，到地面的距离为，
由圆的对称性可知，延长，必过圆心，如图所示：
由垂径定理可知，且，
设的半径为，
在中，，，，，由勾股定理可得，
解得，
故选：B．
4．C
【分析】过点O作于点E，延长，二线交于点F，得到四边形是矩形，设则，连接，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F，
∵和均为直角，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
设则，
连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
5．C
【分析】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．
点O为所在圆的圆心，连接，根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．
【详解】解：如图所示，点O为所在圆的圆心，连接，
由题意得：，，，
设，则，
根据题意可得：，
即，
解得：，（舍去），
即米．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
根据垂径定理的推论得到，再对运用勾股定理即可求解半径．
【详解】解：∵为半径，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
7． 是的直径
【分析】（）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．
【详解】解：（）∵是的直径，且于点，
∴，，；
（）∵是的直径，且，
∴，，；
（）∵，且，
∴是的直径，，．
【点睛】此题考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．8
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，根据勾股定理和垂径定理求解．
【详解】解：如图，

根据题意得，D在上，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（负值已舍），
∴，
故答案为：8．
9．13π
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．
【详解】连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM:MD=5:8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x=，
∴OA=×13，
∴⊙O的周长=2OA π=13π，
【点睛】本题考查垂径定理及其推论，解题的关键是掌握垂径定理及其推论.
10．见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：如图：连接．
∵于M，于N．
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）证明，由垂径定理可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
过点，为的中点，
．
（2）证明：延长交于．
，，
．
过点，
，
垂直平分，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键．
12．(1)
(2)不需要，见解析
【分析】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用．
（1）由垂径定理可知、，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；
（2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，则O、P、M三点共线，
设半径为，
则，
由垂径定理可知，，
，
，
在中，，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，
即拱桥所在的圆的半径为；
（2）解：，
，
在中，由勾股定理可得，
，
不需要采取紧急措施．
13．(1)8 (2)
【分析】(1)连接，根据垂径定理求出的长，因为，进而在中根据勾股定理求出长，所以求出的长即可;
(2) 连接,过点D作于点M，根据勾股定理和垂径定理求出，可以证明,进而求出的长，根据所做的辅助线，可得为等腰直角三角形，所以可以求出的长，然后根据，进而求出的长；
【详解】解：(1) 连接，根据垂径定理求出的长，
即：,
,
设，则，
由勾股定理得：
,
即：，
解得：,
;
(2)连接,过点D作于点M，如图所示：
，
在中根据勾股定理可得：
,
,
，
而,
,
又 在和中，
,
,
,
,
,
,
,
为等腰直角三角形，
,
把代入到中，
解得：.
【点睛】本题考查圆的知识点，要善于利用勾股定理和垂径定理去解题，善于构造辅助线去根据面积相等去解题，最后代入求值.
14．（1）5；（2）
【分析】（1）根据垂径的求得AE=4，设半径为r，则OE=r-2，根据勾股定理得到关于r的方程，解方程即可求得半径；
（2）根据勾股定理求得BC，进而根据勾股定理求得BE．
【详解】解：（1）于点且
，
设半径为，则
在中有
解得：
即半圆的半径为5
（2）为半圆的直径
则
在中有
【点睛】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意得到∠C=90°，应用垂径定理是关键．
15．证明见解析
【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”．
【详解】证明：∵是直径，点是劣弧的中点，
∴垂直平分，
∴．
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