北师大版九年级下册第一章 三角函数单元综合题（含解析）

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北师大版九年级下册三角函数单元综合题
一．选择题（共3小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．sinA＝cosC
2．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
二．填空题（共5小题）
4．已知tan（α+15°），则tanα的值为 　 　 ．
5．比较大小：sin40°　 　 cos50°（填“＞”、“＜”或“＝”）
6．在锐角△ABC中，若，则∠C的度数是 　 　 度．
7．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝　 　 ，tan∠APD的值＝　 　 ．
8．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为　 　 ．
三．解答题（共18小题）
9．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）tan260°
10．计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°
11．计算：sin45°+cos230°2sin60°．
12．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．
13．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知∠CBN＝60°，BC＝200米，米．
（1）请求出观测点C到公路MN的距离；
（2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：）
14．黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是37°，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是60°．楼底点D与点A，B共线，且CD⊥AB，求黄河楼CD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
15．某学习小组计划测量位于郊区的文峰塔的高度，在现场观察研究后，设计了如下测量方案：如图所示，记文峰塔为AB，在周围的平地上选取C，D两点，与点B在同一水平的直线上，在C处用测角仪测出从点E观测点A的仰角∠AEG，测角仪记为CE，把测角仪平移至点D处，测出从点F观测点A的仰角∠AFG，再测出C，D两点的距离和测角仪的高度．已知测量的结果为：∠AEG＝37°，∠AFG＝45°，CD＝11m，CE＝DF＝1m．请根据以上测量数据计算出文峰塔AB的高度．（结果取整数，，，，，，tan45°＝1）
16．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝30m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．
17．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求D到BC的距离；
（2）求古塔AB的高度．（结果保留根号）
18．儋州市革命英雄纪念碑是海南省革命烈士纪念物保护单位，其建在一定高度的底座（矩形）上，横截面如图所示．某数学小组利用无人机测量纪念碑的高度，测量者在距离底座（CD）9m处的E点（E，D在同一水平线上）垂直升起无人机，当无人机升至F处，在F点测得纪念碑顶端A点的仰角为45°，测得底座C点的俯角为60°．已知底座的高度CD为3m，BC长为5.4m．
（1）填空：∠FCB＝　 　 °，EF＝　 　 m．
（2）求纪念碑碑身AB的高度．（精确到0.1m，参考数据：，）
19．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东30°方向且在C的北偏西45°方向，千米，BC＝1千米．
（1）求AB的长度；（结果保留根号）
（2）小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以2km/h的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A打卡点，小开以4km/h的速度从A打卡点沿A→B方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，）
20．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：1.414，1.732）
21．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
22．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）
23．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．
（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）
24．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
25．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，1.73）
26．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°．
（1）求下管BC的长；
（2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．
（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
北师大版九年级下次三角函数单元综合题
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
题号 1 2 3
答案 A D B
一．选择题（共3小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．sinA＝cosC
【分析】利用三角函数定义逐项判断即可．
【解答】解：A、在Rt△ABC中，，原结论错误，故此选项符合题意；
B、在Rt△ABD中，，原结论正确，故此选项不符合题意；
C、在Rt△ABD中，，原结论正确，故此选项不符合题意；
D、在Rt△ABC中，，原结论正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．
2．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：，
由勾股定理，得
AC，AB＝2，BC，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC，AC，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
4．已知tan（α+15°），则tanα的值为 　1　 ．
【分析】首先确定α的度数，然后再利用三角函数值求答案．
【解答】解：∵tan60°，
∴α+15°＝60°，
解得：α＝45°，
∴tanα＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握tan60°，tan45°＝1．
5．比较大小：sin40°　＝　 cos50°（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵cos50°＝sin（90°﹣50°）＝sin40°，
∴sin40°＝cos50°．
故答案为：＝．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确转换正余弦关系是解题关键．
6．在锐角△ABC中，若，则∠C的度数是 　75　 度．
【分析】直接利用非负数的性质以及偶次方的性质，结合特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴sinA0，cosB0，
则sinA，cosB，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
7．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝　3　 ，tan∠APD的值＝　2　 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形BCED是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴3，
连接BE，与CD的交点为F，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PFCFBF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2，
故答案为：3，2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
8．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为　　 ．
【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．
【解答】解：∵AC，
∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：
1．
故答案为：．
【点评】本题问题中，巧妙的运用三角函数求边长是解题的关键．
三．解答题（共18小题）
9．计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）tan260°
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式（）2
3
．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
10．计算：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°
【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，代入计算即可．
【解答】解：4sin30°cos45°tan30°+2sin60°
＝42
＝2﹣1﹣1
．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
11．计算：sin45°+cos230°2sin60°．
【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式（）22
＝1．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
12．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．
【分析】先根据特殊角的三角函数值得到原式＝2（）2，然后计算二次根式的混合运算．
【解答】解：原式＝2（）2
．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决此类题目的关键．
13．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知∠CBN＝60°，BC＝200米，米．
（1）请求出观测点C到公路MN的距离；
（2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：）
【分析】（1）过点C作CH⊥MN于H，先求出BH的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出AH的长，再求出AB的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点C作CH⊥MN于H，
在Rt△BCH中，
∵∠CBN＝60°，
∴∠BCH＝30°．
∵BC＝200米
∴米，
∴米，
即观测点C到公路MN的距离为米．
（2）∵米，∠CHA＝90°，
∴米，
∴（米），
∴车速为（米/秒），
∵60千米/小时米秒，，
∴此车没有超速．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
14．黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是37°，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是60°．楼底点D与点A，B共线，且CD⊥AB，求黄河楼CD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
【分析】根据题意可得：∠CBD＝60°，∠CAD＝37°，AB＝71.3米，然后设BD＝x米，则AD＝（x+71.3）米，分别在Rt△CDB和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：∠CBD＝60°，∠CAD＝37°，AB＝71.3米，
设BD＝x米，则AD＝AB+BD＝（x+71.3）米，
在Rt△CDB中，∠CBD＝60°，
∴CD＝BD tan60°＝x（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD tan37°≈0.75（x+71.3）米，
∴x＝0.75（x+71.3），
解得：x≈56.29，
∴CD＝x≈95.7（米），
∴黄河楼CD的高约为95.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．某学习小组计划测量位于郊区的文峰塔的高度，在现场观察研究后，设计了如下测量方案：如图所示，记文峰塔为AB，在周围的平地上选取C，D两点，与点B在同一水平的直线上，在C处用测角仪测出从点E观测点A的仰角∠AEG，测角仪记为CE，把测角仪平移至点D处，测出从点F观测点A的仰角∠AFG，再测出C，D两点的距离和测角仪的高度．已知测量的结果为：∠AEG＝37°，∠AFG＝45°，CD＝11m，CE＝DF＝1m．请根据以上测量数据计算出文峰塔AB的高度．（结果取整数，，，，，，tan45°＝1）
【分析】分别解直角三角形AEG和直角三角形AFG，求出AG即可．
【解答】解：在Rt△AEG中，由三角函数可知，，
∴．
在Rt△AFG中，由三角函数可知，，
∴．
∵EG﹣FG＝EF＝CD，
∴，
∴AG＝33．
∴AB＝AG+BG＝AG+EC＝33+1＝34（m）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据解直角三角形AEG和直角三角形AFG解答．
16．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝30m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．
【分析】（1）直接在Rt△CDE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可得到答案；
（2）①分别在Rt△DCE和Rt△BCA中求出EC和CA的长，即可求解；②过点D作DF⊥AB，垂足为F．则四边形DEAF是矩形．得出，可得BF＝（h﹣15）m．在Rt△BDF中，利用BF＝DF tan∠BDF，列式求解即可．
【解答】解：（1）∠DEC＝90°，∠DCE＝30°，CD＝30m，
∴DECD30＝15（m）；
答：DE的长为15m；
（2）①在Rt△DCE中，，
∴．
在Rt△BCA中，，
∴．
∴．即EA的长为．
②如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F．
由题意得：∠AED＝∠FAE＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF是矩形．
∴．
∴BF＝AB﹣FA＝（h﹣15）m．
在Rt△BDF中，，
∴BF＝DF tan∠BDF，
∴．
∴．
答：塔AB的高度约为56m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
17．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求D到BC的距离；
（2）求古塔AB的高度．（结果保留根号）
【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，于是得到DH＝BF，BH＝DF，设DF＝xm，CFxm，根据勾股定理即可得到结论；
（2）由（1）知，BH＝DF＝10m，于是得到CF＝10m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴，
设DF＝xm，CFxm，
∴CD2x＝20（m），
∴x＝10，
∴DF＝10m，
答：D到BC的距离为10m；
（2）由（1）知，BH＝DF＝10m，
∴CF＝10m，
∴DH＝BF＝（1030）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AHDH（1030）＝（10+10）m，
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
答：古塔AB的高度是（20+10）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．儋州市革命英雄纪念碑是海南省革命烈士纪念物保护单位，其建在一定高度的底座（矩形）上，横截面如图所示．某数学小组利用无人机测量纪念碑的高度，测量者在距离底座（CD）9m处的E点（E，D在同一水平线上）垂直升起无人机，当无人机升至F处，在F点测得纪念碑顶端A点的仰角为45°，测得底座C点的俯角为60°．已知底座的高度CD为3m，BC长为5.4m．
（1）填空：∠FCB＝　120　 °，EF＝　　 m．
（2）求纪念碑碑身AB的高度．（精确到0.1m，参考数据：，）
【分析】（1）过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥EF于点H，由题意可知，四边形FHBG、CDEH为矩形，∠AFG＝45°，∠CFG＝60°，DE＝9m，CD＝3m，求出∠CFH＝30°，根据解直角三角形求出，即可求解；
（2）由四边形FHBG为矩形，得到FG＝CH+BC＝9+5.4＝14.4m，，根据等腰直角三角形的性质得到AG＝FG＝14.4m，即可求解．
【解答】（1）解：过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥EF于点H，如图：
由题意可知，四边形CDEH为矩形，DE＝9m，CD＝3m，
∴CH＝DE＝9m，EH＝CD＝3m，
由题意可知，四边形FHBG为矩形，
∴∠HFG＝90°，GF∥BH，
∵∠AFG＝45°，∠CFG＝60°，
∴∠HCF＝∠CFG＝60°，
∴∠FCB＝180°﹣∠CFH＝180°﹣60°＝120°，
∵∠CFG＝60°，
∴∠CFH＝90°﹣∠CFG＝30°，
∴，
∴，
故答案为：120，；
（2）解：∵四边形FHBG为矩形，
∴FG＝BH＝CH+BC＝9+5.4＝14.4m，，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∵∠AFG＝45°，
∴∠FAG＝∠AFG＝45°，
∴AG＝FG＝14.4m，
∴．
【点评】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
19．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东30°方向且在C的北偏西45°方向，千米，BC＝1千米．
（1）求AB的长度；（结果保留根号）
（2）小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以2km/h的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A打卡点，小开以4km/h的速度从A打卡点沿A→B方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，）
【分析】（1）如图，过D作DH⊥AB于H，过C作CE⊥DH于E，证明四边形BCEH为矩形，分别求解CE，DE，BH，AH，可得答案；
（2）如图，设出发x小时后，小南到达点M，小开到达点N，他们之间的距离千米，则DM＝2x千米，AN＝4x千米，连接MN，过点M作MF⊥AB于点F，分别用含x的代数式表示出MF、FN、MN，再利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）过D作DH⊥AB于H，过C作CE⊥DH于E，
∵∠B＝90°，
∴四边形BCEH是矩形，
∴BC＝EH＝1千米，CE＝BH，
根据题意得，∠DAH＝90°﹣30°＝60°，∠DCE＝90°﹣45°＝45°，而千米，
∴（千米），
∴BH＝CE＝2千米，DH＝DE+EH＝2+1＝3（千米），
∵，
∴千米，
∴（千米）；
（2）如图，设出发x小时后，小南到达点M，小开到达点N，他们之间的距离千米，
连接MN，过点M作MF⊥AB于点F，
由（1）可得千米，
∴千米，F在N左边，
∵∠MAF＝60°，
∴千米，千米，
∴千米，
在Rt△MFN中，MF2+FN2＝MN2，
∴，
解得或x＝0（舍去），
∴千米；
即小南出发1.98千米后恰好与小开相距千米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键．
20．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：1.414，1.732）
【分析】需要拆除，理由为：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．
【解答】解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i：3，即∠CDB＝30°，
∴DC＝2BC＝20米，BD10米，
∴AD＝BD﹣AB＝（1010）米≈7.32米，
∵3+7.32＝10.32＞10，
∴需要拆除．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度直角三角形的性质，坡角与坡度之间的关系，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
21．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
【分析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF＝FG+GH﹣AH求出AF的长．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
【解答】
解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG．
故四边形EGHD是矩形．
∴ED＝GH．
在Rt△ADH中，
AH＝DH÷tan∠DAH＝10÷tan45°＝10（米）．
在Rt△FGE中，
i，
∴FGEG＝10（米）．
∴AF＝FG+GH﹣AH＝103﹣10＝（107）（米）．
答：加固后坝底增加的宽度AF为（107）米；
（2）加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长
（3+107）×10×500
＝（2500010000）（立方米）．
答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（107）米；
（2）完成这项工程需要土石（2500010000）立方米．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
22．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）
【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
【解答】
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE，cos∠ABE，
∴0.60，0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC36.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF2m．
∴OD＝24.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．
（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）
【分析】（1）直接作出平行线和垂线进而得出∠EDF的值；
（2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，
由题意可得，四边形DNMF是矩形，
则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∠AND＝90°，
∴∠ADN＝30°，
∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，
∴∠ABC＝30°，则ACAB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，
∴AD＝48cm，
∴DN＝AD cos30°≈41.76cm，
则FM＝41.76cm，
∵灯管DE长为15cm，
∴sin15°0.26，
解得：EF＝3.9，
故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
24．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO tan60°＝100（米）．
设PE＝x米，
∵tan∠PAB，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100x，PF＝OA+AE＝100+2x，
∵PF＝CF，
∴100+2x＝100x，
解得x．
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．
【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
25．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，1.73）
【分析】如图，过点A作AH⊥MN于点H，过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J．解直角三角形求出AK，JC可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥MN于点H，过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J．
∵∠CDH＝∠KHD＝∠JKH＝90°，
∴四边形DHKJ是矩形，
∴DJ＝KH，∠DJK＝∠BJC＝90°，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCJ＝30°，∠CBJ＝60°，
∵∠ABC＝106°，
∴∠ABK＝46°，
∴CJ＝BC cos30°＝201017.3（cm），
AK＝AB sin46°＝25×0.72＝18（cm），
∴AH＝AK+KH＝AK+JC+CD＝18+17.3+6≈41（cm），
∴台灯的旋钮A到桌面MN的距离约为41cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
26．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°．
（1）求下管BC的长；
（2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．
（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为F，根据已知可求出BE的长，然后在Rt△BEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝27cm，AC＝36cm，
∴BC45（cm），
∴下管BC的长为45cm；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为F，
∵AE＝18cm，AB＝27cm，
∴BE＝AE+AB＝45cm，
在Rt△BEF中，∠ABD＝75°，
∴EF＝BE sin75°≈45×0.97＝43.65（cm），
∴座垫E离地面的距离＝43.65+30≈74（cm），
∴座垫E离地面的距离约为74cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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