4.8图形的位似
【题型1】位似图形的性质 3
【题型2】坐标系中位似变换 5
【知识点1】几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．______（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．____________（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．______（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 1.（2024春 驿城区期中）如图所示，该图案是经过（ ） A．平移得到的B．旋转或轴对称得到的C．轴对称得到的D．旋转得到的
2.（2024春 岳阳县期末）下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是（ ） A．对应线段与对应角不变B．图形的大小不变C．图形的形状不变D．对应线段平行
【知识点2】位似变换 （1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 1.（2025 浙江一模）如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，则AE：BE=（ ） A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【知识点3】作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【题型1】位似图形的性质
【典型例题】如图，三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，若三角尺的一边长为8 cm，则这条边在投影中的对应边长为（ ）
A.8 cm B.12 cm C.16 cm D.24 cm
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1，且线段OA1＝9，则线段OA的长度为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】点A、B、C、D都在如图所示的由正方形组成的网格图中，且线段CD与线段AB成位似图形，则位似中心为（ ）
A.点E B.点F C.点H D.点G
【举一反三3】如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形A1B1C1D1E1，则OD：OD1＝ ．
【举一反三4】△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9，已知位似中心O与A的距离为2，则A到A1的距离为 ．
【举一反三5】如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1＝2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2＝1．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？
【举一反三6】如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．
【题型2】坐标系中位似变换
【典型例题】如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到新的线段，则点A的对应点坐标为（ ）
A.（2，1） B.（2，0） C.（3，3） D.（3，1）
【举一反三1】如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A.（1，） B.（2，6） C.（2，6）或（﹣2，﹣6） D.（1，）或（﹣1，﹣）
【举一反三2】如图，已知E′（2，﹣1），F′（，），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，则E′点对应点E的坐标为（ ）
A.（﹣4，2） B.（4，﹣2） C.（﹣1，﹣1） D.（﹣1，4）
【举一反三3】已知△ABC的三个顶点坐标为A（5，0）、B（6，4）、C（3，0），将△ABC以坐标原点O为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标为 ．
【举一反三4】如图，△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点的坐标分别为A（1，2），B（3，0），D（4，0），求点C的坐标，并求出四边形ABDC的面积．4.8图形的位似
【题型1】位似图形的性质 4
【题型2】坐标系中位似变换 8
【知识点1】几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．______（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．____________（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．______（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 1.（2024春 驿城区期中）如图所示，该图案是经过（ ） A．平移得到的B．旋转或轴对称得到的C．轴对称得到的D．旋转得到的
【答案】B 【分析】根据旋转和轴对称的性质可得答案． 【解答】解：图案外面是一个圆，里面是均匀分布的三个“花瓣”，
∴图案既可以看成一个“花瓣”绕圆心旋转2次得到的，也可以看成其中一个“花瓣”的对称轴为对称轴通过轴对称得到的，
故选：B． 2.（2024春 岳阳县期末）下列不是图形的旋转、平移、轴对称的共同特征的是（ ） A．对应线段与对应角不变B．图形的大小不变C．图形的形状不变D．对应线段平行
【答案】D 【分析】根据三种变换得到的图形都与原图形全等，进行分析． 【解答】解：根据平移、旋转和轴对称的基本性质，知A、B、C都是正确的；D、在旋转中，对应线段不一定平行，故错误．
故选：D． 【知识点2】位似变换 （1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 1.（2025 浙江一模）如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，则AE：BE=（ ） A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【答案】B 【分析】结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合AB=AE+BE，通过计算即可得到答案． 【解答】解：∵四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，
∴
∵AB=AE+BE，
∴，
∴4AE=AE+BE
∴3AE=BE
∴AE：BE=1：3，
故选：B． 【知识点3】作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【题型1】位似图形的性质
【典型例题】如图，三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，若三角尺的一边长为8 cm，则这条边在投影中的对应边长为（ ）
A.8 cm B.12 cm C.16 cm D.24 cm
【答案】B
【解析】∵三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，三角尺的一边长为8 cm，
∴设这条边在投影中的对应边长为：x，则＝，解得：x＝12．
故选：B．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1，且线段OA1＝9，则线段OA的长度为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【解析】∵五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，
∴五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE相似，OA1：OA＝A1B1：AB，
∵五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1，
∴＝，
∴A1B1：AB＝3：1，
∴OA1：OA＝3：1，
∴OA＝OA1＝×9＝3．
故选：A．
【举一反三2】点A、B、C、D都在如图所示的由正方形组成的网格图中，且线段CD与线段AB成位似图形，则位似中心为（ ）
A.点E B.点F C.点H D.点G
【答案】B
【解析】点A、B、C、D都在如图所示的由正方形组成的网格图中，且线段CD与线段AB成位似图形，则位似中心为点F.
故选：B．
【举一反三3】如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形A1B1C1D1E1，则OD：OD1＝ ．
【答案】1：2
【解析】∵以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形A1B1C1D1E1，
则OD：OD1＝1：2，
故答案为：1：2．
【举一反三4】△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9，已知位似中心O与A的距离为2，则A到A1的距离为 ．
【答案】1
【解析】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9，
∴两图形的位似比为：2：3，
∵位似中心O与A的距离为2，
∴位似中心O与A1的距离为3，
∴A到A1的距离为：1．
故答案为：1．
【举一反三5】如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1＝2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2＝1．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？
【答案】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
∵四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，
∴四边形A′B′C′D′∽四边形A″B″C″D″．
∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD．
∵对应顶点的连线过同一点，
∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形．
∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1＝2，
四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2＝1，
∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比为．
【举一反三6】如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．
【答案】解：连接AD，CF交于点O，
则点O即为所求；
∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，
∴OC：OF＝3：2，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：2．
【题型2】坐标系中位似变换
【典型例题】如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到新的线段，则点A的对应点坐标为（ ）
A.（2，1） B.（2，0） C.（3，3） D.（3，1）
【答案】A
【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，A（6，3），
∴在第一象限内，点A的对应点坐标为：（2，1）．
故选：A．
【举一反三1】如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A.（1，） B.（2，6） C.（2，6）或（﹣2，﹣6） D.（1，）或（﹣1，﹣）
【答案】D
【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABC缩小，
∴点C的对应点C′的坐标（1，）或（﹣1，﹣）．
故选：D．
【举一反三2】如图，已知E′（2，﹣1），F′（，），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，则E′点对应点E的坐标为（ ）
A.（﹣4，2） B.（4，﹣2） C.（﹣1，﹣1） D.（﹣1，4）
【答案】A
【解析】∵E′（2，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，
∴E′点对应点E的坐标为（2×（﹣2），﹣1×（﹣2）），即（﹣4，2），
故选：A．
【举一反三3】已知△ABC的三个顶点坐标为A（5，0）、B（6，4）、C（3，0），将△ABC以坐标原点O为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点B所对应的点的坐标为 ．
【答案】（3，2）或（﹣3，﹣2）
【解析】∵点B的坐标为（6，4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为2：1，
∴点B的对应点的坐标为（3，2）或（﹣3，﹣2），
故答案为：（3，2）或（﹣3，﹣2）．
【举一反三4】如图，△AOB以O为位似中心，扩大到△COD，各点的坐标分别为A（1，2），B（3，0），D（4，0），求点C的坐标，并求出四边形ABDC的面积．
【答案】解：∵A（1，2），B（3，0），
∴S△AOB＝×3×2＝3，
∵△OAB∽△OCD，＝，
∴点C的坐标为（，），S△OAB：S△OCD＝9：16，
∴S△OCD＝，
∴四边形ABDC的面积＝﹣3＝．
