2.2二次函数的图象与性质
【题型1】二次函数y=ax 的图象与性质 5
【题型2】二次函数y=ax 的关系式及应用 7
【题型3】二次函数y=ax ＋k的图象 8
【题型4】二次函数y=ax ＋k的性质 9
【题型5】二次函数y=ax ＋k与y=ax 图象之间的平移 10
【题型6】与二次函数y=ax ＋k有关的综合性问题 10
【题型7】二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 12
【题型8】二次函数y=a(x-h)2与y=ax 图象之间的平移 13
【题型9】二次函数y=a(x-h)2＋k的图象和性质 13
【题型10】二次函数y=a(x-h)2＋k与y=ax 图象之间的平移 14
【题型11】与二次函数y=a(x-h)2＋k有关的综合性问题 15
【题型12】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象 17
【题型13】二次函数y=ax ＋bx＋c的性质 19
【题型14】抛物线平移规律 20
【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024 八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ） A．B．C．D．
2.（2024秋 罗定市期末）二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（ ） A．B．C．D．
【知识点2】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025春 兰溪市期末）抛物线y=-x2-4x+m的对称轴为（ ） A．直线x=-2B．直线x=2C．直线x=4D．直线x=-4
【知识点3】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2024秋 迁安市期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1时函数有最大值2，下面的结论不正确的是（ ） A．a＜0B．b2-4ac＞0C．2a+b=0D．ac＞0
2.（2025 沿河县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＞3b；
③8a+7b+2c＞0；
④若点A（-3，y1），点，点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
⑤若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确结论的个数是（ ） A．3B．4C．5D．2
【知识点4】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）．
①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2025 青龙县一模）已知直线l过点A（-2，-1），B（3，4），二次函数y=ax2+2ax+a（a≠0）的图象和直线l交于点C，D（C在D的左侧），若AC=BD，则满足条件的a的值有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
2.（2024秋 长宁区期末）已知二次函数y=-x2+2x+2的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小关系是（ ） A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．无法确定
【知识点5】二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 1.（2025 兴庆区校级一模）抛物线的函数表达式为y=3（x-2）2+1，将函数图象向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A．y=3（x-5）2+3B．y=3（x+1）2+3C．y=3（x-5）2-1D．y=3（x+1）2-1
2.（2025 武威一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线y=（x-n）2+m-n,则符合条件的m,n的值为（ ） A．，n=-6B．m=2，n=-4C．m=-1，n=6D．m=1，n=3
【知识点6】二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1.（2022秋 长安区期末）若二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是（-1，-3），则b、c的值分别是（ ） A．b=2，c=4B．b=-2，c=-4C．b=2，c=-4D．b=-2，c=4
【题型1】二次函数y=ax 的图象与性质
【典型例题】关于函数y=ax 和函数y=ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】抛物线y=-2x 不具有的性质是（ ）
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.当x＞0时，y随x的增大而减小
D.函数有最小值
【举一反三2】二次函数y=x 的图象是一条________，它的开口向_______，它的对称轴为________，它的顶点坐标为_________．
【举一反三3】已知二次函数y=x 的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A．B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为______．
【举一反三4】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x 、y=-x 、y=3x 、y=-3x 的图象；（2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴；
（3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标；
（4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况．
【题型2】二次函数y=ax 的关系式及应用
【典型例题】如图，抛物线y=x 上有两点A、B，A、B关于y轴对称，AB=4，则OB的长为（ ）
A.2 B.2 C. D.4
【举一反三1】函数y=ax （a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（ ）
A.±2 B.-2 C.2 D.3
【举一反三2】若二次函数y=-ax ，当x=2时，y=，则当x=-2时，y的值是___________．
【举一反三3】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为______________________．
【举一反三4】如图，点A在x轴的正半轴上，抛物线y=x 与直线y=4在第一象限内的交点为B，试求tan∠AOB的值．
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y=2x 上，点C，点D在x轴上．
（1）求点A的坐标；
（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．
【题型3】二次函数y=ax ＋k的图象
【典型例题】在同一坐标系中，作y=2x +2、y=-2x -1、y＝x 的图象，则它们（ ）
A.都是关于y轴对称
B.顶点都在原点
C.都是抛物线开口向上
D.以上都不对
【举一反三1】下列图象中．有可能是函数y=ax +a（a≠0）的图象的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x +m的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】在同一坐标系中，作y=2x +2、y=-2x -1、y＝x 的图象，则它们（ ）
A.都是关于y轴对称
B.顶点都在原点
C.都是抛物线开口向上
D.以上都不对
【举一反三4】在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x +a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】在同一坐标系中画出y=-2x +1和y=-2x 的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．
【举一反三6】（1）请在如图中的坐标系中画出函数y=x -x和y=x+1的图象；
（2）观察图象，直接写出方程x -2x-1=0的根．
【题型4】二次函数y=ax ＋k的性质
【典型例题】抛物线y=-x +9与y轴的交点坐标是（ ）
A.（0，9） B.（3，0） C.（-3，0） D.（3，0）或（3，0）
【举一反三1】下列函数中，y的值随x值增大而增大的是（ ）
A.y=3x +1 B.y=-3x +1 C.y=3x+1 D.y=-3x+1
【举一反三2】对于抛物线y=-x +3，下列说法：
①开口向下；②对称轴是y轴；③顶点在x轴上；④顶点是（0，3）；⑤顶点是（0，-3）；⑥有最低点.
其中正确的说法有________.（填序号）
【举一反三3】已知二次函数y=2x -1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是_______.
【举一反三4】抛物线y=ax +c与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴于点C（0，﹣4），求S△ABC的值．
【举一反三5】已知函数y=ax （a≠0）与直线y=2x-3交于A（1，b）．求：
（1）a和b的值；
（2）当x取何值时，二次函数y=ax 中的y随x的增大而增大；
（3）求抛物线y=ax 与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标．
【题型5】二次函数y=ax ＋k与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】将抛物线y=x 平移3个单位，得到的抛物线表达式为y=x -3，下列平移正确的是（ ）
A.向上平移 B.向下平移 C.向左平移 D.向右平移
【举一反三1】将抛物线y=-2x -1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ ）
A.个单位 B.1个单位 C.个单位 D.个单位
【举一反三2】将抛物线y=-2x +1向下平移1个单位后所得到的抛物线为（ ）
A.y=-2(x+1)2+1 B.y=-2(x-1)2+1 C.y=-2x D.y=-2x +2
【举一反三3】抛物线y=-x +2关于x轴对称的抛物线的解析式为__________．
【举一反三4】已知函数y=-x 与y=-ax +c(a≠0)的图象完全相同，且抛物线y=-x 的图象沿对称轴平移两个单位后就能与y=-ax +c的图象完全重合，求平移后的二次函数的表达式．
【题型6】与二次函数y=ax ＋k有关的综合性问题
【典型例题】如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=x +1和y=x -1所截．当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形的面积为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
【举一反三1】已知抛物线y1=-2x +2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M=1的x值是-或．
其中正确结论的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三2】如图，二次函数y=ax +c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是__________．
【举一反三3】已知抛物线y=ax 与直线y=2x-3交于点P（1，m）．
（1）求抛物线的解析式，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大；
（2）此抛物线与直线还有另外的交点吗？若有，请求出其坐标；若没有，说明理由．
【题型7】二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
【典型例题】抛物线y=(x-1)2的顶点坐标是（ ）
A.(-1，0) B.(-1，1) C.(0，-1) D.( 1，0)
【举一反三1】已知二次函数y=-(x+h)2，当x＜-3时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，且h满足h2-2h-3=0，则当x=0时，y的值为（ ）
A.-1 B.1 C.-9 D.9
【举一反三2】关于二次函数y=(x+2)2的图象，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下
B.最低点是A(2，0)
C.对称轴是直线x=2
D.对称轴的右侧部分是上升的
【举一反三3】有一个二次函数y=a(x-k)2的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：开口向上；
乙：对称轴是直线x=2；
丙：与y轴的交点到原点的距离为2.
满足上述全部特点的二次函数的解析式为________________.
【举一反三4】已知，如图，直线l经过A(4，0)和B(0，4)两点，抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1，0)，直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．
【举一反三5】已知抛物线y=a(x-h)2，当x=2时，函数有最大值，则当x为何值时，y随x的增大而减小？
【题型8】二次函数y=a(x-h)2与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E(x，2x+1)记，…，则E(x，)可以由E(x，)怎样平移得到？（ ）
A.向上平移１个单位 B.向下平移１个单位 C.向左平移１个单位 D.向右平移１个单位
【举一反三1】将抛物线y=-(x+1)2向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A.(-2，0) B.(0，0) C.(-1，-1) D.(-2，-1)
【举一反三2】若二次函数y=2x 的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y=2(x+h)2的图象，则h=_______．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A(0，12)，点B(6，0)，抛物线y=x 沿O→B方向进行平移，平移后的抛物线顶点为B．
（1）则直线AB的解析式为y1=________；平移后的抛物线的解析式为y2=__________；
（2）求y1＜y2时x的取值范围．
【题型9】二次函数y=a(x-h)2＋k的图象和性质
【典型例题】抛物线y=-(x+2)2-5的顶点坐标是（ ）
A.(-2，5) B.(2，5) C.(-2，-5) D.(2，-5)
【举一反三1】已知y=-(x-1)2+2的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A.a+b+c＞0 B.a-b+c＜0 C.abc＜0 D.2a+b＞0
【举一反三2】二次函数y=(x-1)2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为____________．
【举一反三3】如果二次函数y=(x+k)2+k2-4的对称轴是x=3，那么k=_______.
【举一反三4】如图，已知直线l经过A(4，0)和B(0，4)两点，抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1，0)，直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．
【题型10】二次函数y=a(x-h)2＋k与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】将抛物线y=-x +2x+1向左平移3个单位，再向下平移1个单位．下列各点在平移后的抛物线上的是（ ）
A.(0，1) B.(-2，-1) C.(-1，0) D.(-2，-5)
【举一反三1】将二次函数y=-2(x+1)2-5的图象向右移动一个单位，再向上移动5个单位后得到的二次函数解析式为（ ）
A.y=-2x B.y=-2(x-2)2 C.y=-2(x-2)2-10 D.y=-2x -10
【举一反三2】将抛物线y=2(x-7)2+3平移，使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则下列平移正确的是（ ）
A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位 C.向左平移7个单位 D.向右平移7个单位
【举一反三3】把抛物线y=x 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是______________．
【举一反三4】将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为______________．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=a(x-)2+h分别与x轴、y轴交于点A(1，0)和点B(0，-2)，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP．
（1）求点P的坐标及抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，请你判断点P是否在抛物线C2上，并说明理由．
【题型11】与二次函数y=a(x-h)2＋k有关的综合性问题
【典型例题】如图，已知抛物线l1：y=(x-2)2-2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（ ）
A.y=(x-2)2+4 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+1
【举一反三1】如图，抛物线y1=a(x+2)2+c与y2=(x-3)2+b交于点A(1，3)，且抛物线y1经过原点．过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是（ ）
A.c=4a B.a=1 C.当x=0时，y2-y1=4 D.2AB=3AC
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点C是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且BC∥x轴，以CB为边向上作等边三角形ABC，BC边上的高AD交抛物线于点E，则阴影部分图形的面积为_____________.
【举一反三3】如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1，-4)．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
【题型12】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象
【典型例题】若二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，则y=cx +ax+b的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知一次函数y=-x+c与y=bx（b≠0）的图象如图所示，则函数y=-x +bx+c的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax +bx+c的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】抛物线y=-x +bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是____________．
【举一反三4】二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b-2c|，Q=|2a-b|-|3b+2c|，则P，Q的大小关系是______________．
【举一反三5】已知二次函数y=ax +bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）写出y≤5时自变量x的取值范围（可以结合图象说明）．
【举一反三6】已知抛物线y=-x +bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知P为抛物线y=-x +bx+c上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P′恰好在直线BC：y=-x+3上，求点P的坐标．
【题型13】二次函数y=ax ＋bx＋c的性质
【典型例题】如图，这是二次函数y=ax +bx+c的图象，则化简|a-b+c|-|a+b|的结果是（ ）
A.-2a-c B.c-2b C.2a+c D.2a-b+c
【举一反三1】点P1(-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=-x +2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y3＞y2＞y1 B.y3＞y1=y2 C.y1＞y2＞y3 D.y1=y2＞y3
【举一反三2】二次函数y=2x -8x+m满足以下条件：当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A.8 B.-10 C.-42 D.-24
【举一反三3】已知点P(m，n)在抛物线y=ax -x-a上，当m≥-1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是_____________．
【举一反三4】已知二次函数y=x -mx-1，当x＜4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是________．
【举一反三5】已知函数y1=ax +bx，y2=ax+b(ab≠0)在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点(-1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值；
（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
【举一反三6】已知二次函数y=x -4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
【题型14】抛物线平移规律
【典型例题】在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x +bx-c关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A.y=x +bx-c B.y=x -bx+c C.y=-x +bx+c D.y=-x +bx-c
【举一反三1】如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x +1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）
A.y=x -1 B.y=x +6x+5 C.y=x +4x+4 D.y=x +8x+17
【举一反三2】抛物线y=ax +2ax+c(a＜0)向右平移2个单位后的新图上有两点A(x1，y1)，B(x ，y2)，在此函数图象上，如果x1＜x ＜0．则y1与y2的大小关系是___________．
【举一反三3】抛物线y=x -2x-3向左平移n个单位(n＞0)，平移后y随x增大而增大的部分为P，直线y=-3x-3向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，则n的范围是________．
【举一反三4】已知在直角坐标平面内，抛物线y=x +bx+c经过点A(2，0)、B(0，6)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线向下平移几个单位后经过点(4，0)？请通过计算说明．2.2二次函数的图象与性质
【题型1】二次函数y=ax 的图象与性质 10
【题型2】二次函数y=ax 的关系式及应用 13
【题型3】二次函数y=ax ＋k的图象 15
【题型4】二次函数y=ax ＋k的性质 18
【题型5】二次函数y=ax ＋k与y=ax 图象之间的平移 20
【题型6】与二次函数y=ax ＋k有关的综合性问题 21
【题型7】二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 24
【题型8】二次函数y=a(x-h)2与y=ax 图象之间的平移 26
【题型9】二次函数y=a(x-h)2＋k的图象和性质 28
【题型10】二次函数y=a(x-h)2＋k与y=ax 图象之间的平移 29
【题型11】与二次函数y=a(x-h)2＋k有关的综合性问题 32
【题型12】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象 35
【题型13】二次函数y=ax ＋bx＋c的性质 40
【题型14】抛物线平移规律 43
【知识点1】二次函数的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2024 八步区三模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【解答】解：A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；
B、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A． 2.（2024秋 罗定市期末）二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（ ） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据m＜0函数图象开口向下，对称轴-小于零，可得函数图象． 【解答】解：A、因为二次函数y=mx2+mx（m＜0），所以，函数图象开口向下，对称轴-小于零，即：抛物线对称轴在y轴的左侧，所以，函数图象开口向下，对称轴在y轴左边，符合题意，故A正确；
B、图象开口向下，故B错误；
C、对称轴在y轴左边，故C错误；
D、图象开口向下，故D错误；
故选：A． 【知识点2】二次函数的性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|-|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1.（2025春 兰溪市期末）抛物线y=-x2-4x+m的对称轴为（ ） A．直线x=-2B．直线x=2C．直线x=4D．直线x=-4
【答案】A 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴． 【解答】解：∵抛物线y=-x2-4x+m=-（x+2）2+4+m,
∴该抛物线的对称轴为直线x=-2，
故选：A． 【知识点3】二次函数图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1.（2024秋 迁安市期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1时函数有最大值2，下面的结论不正确的是（ ） A．a＜0B．b2-4ac＞0C．2a+b=0D．ac＞0
【答案】D 【分析】由抛物线开口向下，可得a＜0，即可判定A；根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得Δ=b2-4ac＞0，即可判定B；由对称轴为直线x=1，可判定C；根据抛物线经过原点，即可判定D，据此即可求解． 【解答】解：A、∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
故该选项正确，不合题意；
B、由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac＞0，故该选项正确，不合题意；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=-2a,
∴2a+b=0，故该选项正确，不符合题意；
D、∵抛物线经过原点，
∴c=0，
∴ac=0，
故该选项错误，符合题意；
故选：D． 2.（2025 沿河县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＞3b；
③8a+7b+2c＞0；
④若点A（-3，y1），点，点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
⑤若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确结论的个数是（ ） A．3B．4C．5D．2
【答案】A 【分析】根据抛物线对称轴为直线x=2可得a与b的关系，从而判断①；由x=-3时y＜0可判断②；由抛物线经过点（-1，0）及抛物线对称轴可求出b与a,c与a的关系从而判断③；由A，B，C三点到对称轴的距离大小判断④；将方程的解转化为抛物线与直线y=-3的交点问题，从而判断⑤． 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线，
∴b=-4a,即4a+b=0，①正确；
由图象可得x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b,②错误；
∵抛物线经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∵b=-4a,
∴c=-5a,
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴-30a＞0，③正确；
∵点C，点B，点A到抛物线对称轴距离依次增大，
∴y3＞y2＞y1，④错误；
∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线x=2，
∴抛物线经过点（5，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
∴方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为抛物线与直线y=-3的交点的横坐标，
由图象可得x1＜-1＜5＜x2，⑤正确；
故选：A． 【知识点4】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）．
①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 1.（2025 青龙县一模）已知直线l过点A（-2，-1），B（3，4），二次函数y=ax2+2ax+a（a≠0）的图象和直线l交于点C，D（C在D的左侧），若AC=BD，则满足条件的a的值有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出直线l的解析式为y=x+1，与二次函数的解析式联立可得ax2+（2a-1）x+a-1=0，解方程可得x=-1或，再设点C的坐标为C（m,m+1），点D的坐标为（n,n+1），且m＜n,则m,n是关于x的一元二次方程ax2+（2a-1）x+a-1=0的两个不相等的实数根，然后分两种情况：①a＞0和②a＜0，分别求出m,n的值，根据AC=BD建立方程，解方程即可得． 【解答】解：设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
由条件可得：，解得，
∴直线l的解析式为y=x+1，
联立得：ax2+（2a-1）x+a-1=0，
∴（ax+a-1）（x+1）=0，
解得x=-1或，
由题意，设点C的坐标为C（m,m+1），点D的坐标为（n,n+1），且m＜n,
∴m,n是关于x的一元二次方程ax2+（2a-1）x+a-1=0的两个不相等的实数根，
由①当a＞0时，，
则，
∵AC=BD，
∴AC2=BD2，
∴（m+2）2=（n-3）2，
∴，
解得或，经检验，都是方程的解，且符合题设；
②当a＜0时，，
则，
同理可得：（m+2）2=（n-3）2，
∴，
解得或（不符合题设，舍去），
经检验，是方程的解，且符合题设；
综上，满足条件的a的值有或或，共3个，
故选：C． 2.（2024秋 长宁区期末）已知二次函数y=-x2+2x+2的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小关系是（ ） A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．无法确定
【答案】A 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：二次函数y=-x2+2x+2的图象开口向下，对称轴为直线x=1，
x＜1时，y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
故选：A． 【知识点5】二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 1.（2025 兴庆区校级一模）抛物线的函数表达式为y=3（x-2）2+1，将函数图象向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A．y=3（x-5）2+3B．y=3（x+1）2+3C．y=3（x-5）2-1D．y=3（x+1）2-1
【答案】B 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减进行计算即可． 【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线y=3（x-2）2+1，向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的新抛物线表达式为：y=3（x-2+3）2+1+2=3（x+1）2+3；
故选：B． 2.（2025 武威一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线y=（x-n）2+m-n,则符合条件的m,n的值为（ ） A．，n=-6B．m=2，n=-4C．m=-1，n=6D．m=1，n=3
【答案】D 【分析】先把抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则求出右平移2个单位后所得抛物线的解析式，写出对应系数的值即可． 【解答】解：∵抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4化为y=（x-m）2+2m-4，
∴抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线，所得抛物线的解析式为：y=（x-m-2）2+2m-4，即y=（x-n）2+m-n,
∴，
解得，
故选：D． 【知识点6】二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1.（2022秋 长安区期末）若二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是（-1，-3），则b、c的值分别是（ ） A．b=2，c=4B．b=-2，c=-4C．b=2，c=-4D．b=-2，c=4
【答案】B 【分析】根据二次函数y=-x2+bx+c的二次项系数-1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是（-1，-3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值． 【解答】解：∵二次函数y=-x2+bx+c的二次项系数-1＜0，
∴该函数的图象的开口方向向下，
∴二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点坐标（-1，-3）就是该函数的顶点坐标，
∴-1=-，即b=-2；①
-3=，即b2+4c+12=0；②
由①②解得，b=-2，c=-4；
故选：B．
【题型1】二次函数y=ax 的图象与性质
【典型例题】关于函数y=ax 和函数y=ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】a＞0时，抛物线开口向上，一次函数y=ax+a经过第一、二、三象限，
a＜0时，抛物线开口向下，一次函数y=ax+a经过第二、三、四象限，D选项符合．
故选：D.
【举一反三1】抛物线y=-2x 不具有的性质是（ ）
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.当x＞0时，y随x的增大而减小
D.函数有最小值
【答案】D
【解析】A．∵a=-2＜0，∴此函数的图象开口向下，故本选项正确；
B．∵抛物线y=-2x 不的顶点在原点，∴对称轴是y轴，故本选项正确；
C．当x＞时，抛物线在第四象限，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D．∵此函数的图象开口向下，∴函数有最大值，故本选项错误．
故选：D.
【举一反三2】二次函数y=x 的图象是一条________，它的开口向_______，它的对称轴为________，它的顶点坐标为_________．
【答案】抛物线，上，y轴，（0，0）
【解析】观察图象可知，二次函数y=x 的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴，它的顶点坐标为（0，0）．
【举一反三3】已知二次函数y=x 的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A．B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为______．
【答案】4
【解析】根据抛物线的对称性，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标是-2，
∵线段AB∥x轴，∴AB=2-（-2）=2+2=4．
【举一反三4】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x 、y=-x 、y=3x 、y=-3x 的图象；（2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴；
（3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标；
（4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况．
【答案】解：（1）如图：
（2）函数y=x 顶点坐标是（0，0），开口向上，对称轴是y轴，
y=-x 顶点坐标是（0，0），开口向上，对称轴是y轴，
y=3x 顶点坐标是（0，0），开口向上，对称轴是y轴，
y=-3x 顶点坐标是（0，0），开口向上，对称轴是y轴.
（3）y=x 图象中的最低点的坐标是（0，0），
y=-x 图象中的最高点的坐标是（0，0），
y=3x 图象中的最低点的坐标是（0，0），
y=-3x 图象中的最高点的坐标是（0，0）.
（4）y=x ，x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，
y=-x ，x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而减小，
y=3x ，x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，
y=-3x ，x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而减小．
【题型2】二次函数y=ax 的关系式及应用
【典型例题】如图，抛物线y=x 上有两点A、B，A、B关于y轴对称，AB=4，则OB的长为（ ）
A.2 B.2 C. D.4
【答案】B
【解析】∵AB=4，∴BC=2，则点B的横坐标为2，y=x =2，
∴点B的坐标为（2，2），∴OC=2，
在Rt△OCB中，BC=2，OC=2，由勾股定理得OB=2．
故选：B.
【举一反三1】函数y=ax （a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（ ）
A.±2 B.-2 C.2 D.3
【答案】C
【解析】把点（a，8）代入y=ax ，得a3=8，∴a=2．
故选：C.
【举一反三2】若二次函数y=-ax ，当x=2时，y=，则当x=-2时，y的值是___________．
【答案】
【解析】∵当x=2时，y=，∴-4a=，解得a=-．
∴y=x ，∴当x=-2时，y=．
【举一反三3】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为______________________．
【答案】y=x
【解析】∵正方形的边长为2，∴对角线AC=2，∴C点坐标为（，），
设此抛物线的解析式为y=ax ，则=2a，a=，抛物线的解析式为y=x ．
【举一反三4】如图，点A在x轴的正半轴上，抛物线y=x 与直线y=4在第一象限内的交点为B，试求tan∠AOB的值．
【答案】解：当y=4时，x =4，解得x1=2，x =-2（舍去），
∴点B的坐标为（2，4），∴tan∠AOB＝＝2．
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y=2x 上，点C，点D在x轴上．
（1）求点A的坐标；
（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．
【答案】解：（1）由题意可设A（a，2a），则B（-a，2a），
∵点A在抛物线y=2x 上，∴2a=2a2，∴a=1或a=0（舍去），
∴A（1，2）.
（2）设直线BD的解析式y=kx+b，
∵B（-1，2），D（1，0），∴，解得，
∴直线BD为y=-x+1，
由解得或，
∵点P在第一象限，∴P点的坐标为（，）．
【题型3】二次函数y=ax ＋k的图象
【典型例题】在同一坐标系中，作y=2x +2、y=-2x -1、y＝x 的图象，则它们（ ）
A.都是关于y轴对称
B.顶点都在原点
C.都是抛物线开口向上
D.以上都不对
【答案】A
【解析】经过观察可得3个二次函数的一次性系数均为0，那么这3个二次函数的对称轴都是y轴．
故选：A.
【举一反三1】下列图象中．有可能是函数y=ax +a（a≠0）的图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当a＞0时，函数y=ax +a（a≠0）的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴；
当a＜0时，函数y=ax +a（a≠0）的图象开口向下，顶点在y轴的负半轴.
故选：A．
【举一反三2】在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x +m的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，-m＜0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，-m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，-m＞0，正确．
故选：D.
【举一反三3】在同一坐标系中，作y=2x +2、y=-2x -1、y＝x 的图象，则它们（ ）
A.都是关于y轴对称
B.顶点都在原点
C.都是抛物线开口向上
D.以上都不对
【答案】A
【解析】经过观察可得3个二次函数的一次性系数均为0，那么这3个二次函数的对称轴都是y轴．
故选：A.
【举一反三4】在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x +a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C.
【举一反三5】在同一坐标系中画出y=-2x +1和y=-2x 的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．
【答案】解：y=-2x +1和y=-2x 的图象，如图：
y=-2x 的图象向上平移1个单位得y=-2x +1的函数图象；
y=-2x 的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；
y=-2x +1的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1）．
【举一反三6】（1）请在如图中的坐标系中画出函数y=x -x和y=x+1的图象；
（2）观察图象，直接写出方程x -2x-1=0的根．
【答案】解：列表得：
如图所示：
（2）写出方程的根为-0.4，2.4．
【题型4】二次函数y=ax ＋k的性质
【典型例题】抛物线y=-x +9与y轴的交点坐标是（ ）
A.（0，9） B.（3，0） C.（-3，0） D.（3，0）或（3，0）
【答案】A
【解析】x=0时，y=9，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，9）．
故选：A.
【举一反三1】下列函数中，y的值随x值增大而增大的是（ ）
A.y=3x +1 B.y=-3x +1 C.y=3x+1 D.y=-3x+1
【答案】C
【解析】∵二次函数以对称轴为分界线，两边既有增大而减小的，也有增大而增大的，故A、B不符；
∵一次函数当k＞0时，y的值随x值增大而增大，k＜0时，y的值随x值增大而减小，故C符合，D不符合.
故选：C．
【举一反三2】对于抛物线y=-x +3，下列说法：
①开口向下；②对称轴是y轴；③顶点在x轴上；④顶点是（0，3）；⑤顶点是（0，-3）；⑥有最低点.
其中正确的说法有________.（填序号）
【答案】①②④
【举一反三3】已知二次函数y=2x -1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是_______.
【答案】x≥0
【解析】∵抛物线y=2x -1中a=2＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，
∴当x≥0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
【举一反三4】抛物线y=ax +c与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴于点C（0，﹣4），求S△ABC的值．
【答案】解：∵抛物线y=ax +c与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴于点C（0，﹣4），
∴，解得，∴y=x ﹣4，
∴0=x ﹣4时，x=±2，∴B点坐标为（2，0），∴S△ABC=×4×4=8．
【举一反三5】已知函数y=ax （a≠0）与直线y=2x-3交于A（1，b）．求：
（1）a和b的值；
（2）当x取何值时，二次函数y=ax 中的y随x的增大而增大；
（3）求抛物线y=ax 与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标．
【答案】解：（1）把点A（1，b）代入y=2x-3得b=2×1-3=-1，
把点A（1，-1）代入y=ax 得a=-1.
（2）∵a=-1，∴二次函数y=ax 为y=-x ，它的图象开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大.
（3）解方程组得，，
∴抛物线y=ax 与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标是（-3，-9）．
【题型5】二次函数y=ax ＋k与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】将抛物线y=x 平移3个单位，得到的抛物线表达式为y=x -3，下列平移正确的是（ ）
A.向上平移 B.向下平移 C.向左平移 D.向右平移
【答案】B
【解析】∵抛物线y=x 的顶点坐标为(0，0)，抛物线y=x -3的顶点坐标为(0，-3)，
∴抛物线y=x -3可以由抛物线y=x 向下平移3个单位得到．
故选：B.
【举一反三1】将抛物线y=-2x -1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ ）
A.个单位 B.1个单位 C.个单位 D.个单位
【答案】A
【解析】设抛物线向上平移a(a＞1)个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，
且这些交点能构成直角三角形，则有平移后抛物线的解析式为y=-2x -1+a，AM=a，
∵抛物线y=-2x -1与y轴的交点M为(0，-1)，即OM=1，∴OA=AM-OM=a-1，
令y=-2x -1+a中y=0，得到-2x -1+a=0，
解得x=±，∴B(-，0)，C(，0)，即BC=2，
又△ABC为直角三角形，且B和C关于y轴对称，即O为BC的中点，
∴AO=BC，即a-1=，两边平方得(a-1)2=，
∵a-1≠0，∴a-1=，解得a=．
故选：A.
【举一反三2】将抛物线y=-2x +1向下平移1个单位后所得到的抛物线为（ ）
A.y=-2(x+1)2+1 B.y=-2(x-1)2+1 C.y=-2x D.y=-2x +2
【答案】C
【解析】由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-2x +1向下平移1个单位，所得到的抛物线是y=-2x +1-1，即y=-2x ．
故选：C.
【举一反三3】抛物线y=-x +2关于x轴对称的抛物线的解析式为__________．
【答案】y=x -2
【解析】根据关于x轴对称的图象上的点的纵坐标互为相反数，可得y=-x +2关于x轴对称的抛物线的解析式为y=x -2．
【举一反三4】已知函数y=-x 与y=-ax +c(a≠0)的图象完全相同，且抛物线y=-x 的图象沿对称轴平移两个单位后就能与y=-ax +c的图象完全重合，求平移后的二次函数的表达式．
【答案】解：∵函数y=-x 与y=-ax +c(a≠0)的图象完全相同，∴a=，
又∵抛物线y=-x 的对称轴为y轴，
∴抛物线y=-x 的图象沿对称轴平移两个单位后就能与y=-ax +c的图象完全重合，
∴平移后的二次函数的表达式为y=-x ±2．
【题型6】与二次函数y=ax ＋k有关的综合性问题
【典型例题】如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=x +1和y=x -1所截．当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形的面积为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】B
【解析】∵（x +1）-（x -1）=2，∴直线l截取两抛物线得到的线段长度为2，
∵直线l向右平移3个单位，∴线段扫过的图形的面积2×3=6．
故选：B.
【举一反三1】已知抛物线y1=-2x +2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M=1的x值是-或．
其中正确结论的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】∵x＞0时，函数y2的图象在上面，∴y2＞y1，故①错误；
当x＜0时，M的值=y1或y2，∵x＜0，y随x增大而增大，∴x值越大，M值越大，故②正确；
观察图象可知M的最大值为2，∴使得M大于2的x值不存在，故③正确；
y2=1时，x=-，y1=1时，x=±，观察图象可知：x=-或时，M=1，故④正确．
故选：D.
【举一反三2】如图，二次函数y=ax +c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是__________．
【答案】-2
【解析】设正方形的对角线OA长为2m，则B（-m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得，
c=2m①，
am2+c=m②，
①代入②得m2a+2m=m，解得a=-，则ac=- 2m=-2．
【举一反三3】已知抛物线y=ax 与直线y=2x-3交于点P（1，m）．
（1）求抛物线的解析式，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大；
（2）此抛物线与直线还有另外的交点吗？若有，请求出其坐标；若没有，说明理由．
【答案】解：（1）把（1，m，）代入y=2x-3得2-3=m，解得m=-1，
把（1，-1）代入y=ax ，解得a=-2；
抛物线的解析式为y=-x ，对称轴为y轴；
当x＜0时，y随x的增大而增大.
（2）有．理由：
-x =2x-3，解得x1=1，x =-3，
当x=-3时，y=-9，此抛物线与直线还有另外的交点为（-3，-9）．
【题型7】二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
【典型例题】抛物线y=(x-1)2的顶点坐标是（ ）
A.(-1，0) B.(-1，1) C.(0，-1) D.( 1，0)
【答案】D
【解析】∵抛物线的解析式为y=(x-1)2，∴其顶点坐标为(1，0)．
故选：D.
【举一反三1】已知二次函数y=-(x+h)2，当x＜-3时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，且h满足h2-2h-3=0，则当x=0时，y的值为（ ）
A.-1 B.1 C.-9 D.9
【答案】C
【解析】∵h2-2h-3=0，∴h=3或-1，
∵当x＜-3时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，∴h=3符合题意，
∴二次函数为y=-(x+3)2，当x=0时，y=-9．
故选：C.
【举一反三2】关于二次函数y=(x+2)2的图象，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下
B.最低点是A(2，0)
C.对称轴是直线x=2
D.对称轴的右侧部分是上升的
【答案】D
【解析】A．∵a=1＞0，∴开口向上，故本选项错误；
B．最低点，即顶点坐标为(-2，0)，故本选项错误；
C．对称轴是直线x=-2，故本选项错误；
D．对称轴的右侧部分是上升的正确，故本选项正确．
故选：D.
【举一反三3】有一个二次函数y=a(x-k)2的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：开口向上；
乙：对称轴是直线x=2；
丙：与y轴的交点到原点的距离为2.
满足上述全部特点的二次函数的解析式为________________.
【答案】y=(x-2)2
【解析】∵二次函数y=a(x-k)2的图象开口向上，∴a＞0，
∵对称轴为直线x=2，∴k=2，∴二次函数y=a(x-k)2的解析式为y=a(x-2)2，
∵与y轴的交点到原点的距离为2，∴与y轴交于点(0，2)或(0，-2)，
把(0，2)代入得，2=4a，∴a=，
把(0，-2)代入得，-2=4a，∴a=-(舍去)，
∴解析式为：y=(x-2)2．
【举一反三4】已知，如图，直线l经过A(4，0)和B(0，4)两点，抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1，0)，直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．
【答案】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把A(4，0)，B(0，4)分别代入解析式得，解得，
解析式为y=-x+4．
（2）设M点的坐标为(m，n)，
∵S△AMP=3，∴(4-1)n=3，解得n=2，
把M(m，2)代入为2=-m+4得，m=2，M(2，2)，
∵抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1，0)，
可得y=a(x-1)2，把M(2，2)代入y=a(x-1)2得2=a(2-1)2，解得a=2，
函数解析式为y=2(x-1)2．
【举一反三5】已知抛物线y=a(x-h)2，当x=2时，函数有最大值，则当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】解：∵抛物线y=a(x-h)2有最大值，∴该抛物线的开口方向向下．
又∵当x=2时，函数有最大值，∴对称轴是x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
【题型8】二次函数y=a(x-h)2与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E(x，2x+1)记，…，则E(x，)可以由E(x，)怎样平移得到？（ ）
A.向上平移１个单位 B.向下平移１个单位 C.向左平移１个单位 D.向右平移１个单位
【答案】D
【解析】据题意E(x，)这个函数是y==(x－1) ，E(x，)是y=x ，
根据二次函数图象的性质知，y==(x－1) 的图象可以由y=x 的图象向右平移１个单位得到.
故选：D.
【举一反三1】将抛物线y=-(x+1)2向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A.(-2，0) B.(0，0) C.(-1，-1) D.(-2，-1)
【答案】A
【解析】y=-(x+1)2，其顶点坐标为(-1，0)，向左平移1个单位后的顶点坐标为(-2，0)．
故选：A.
【举一反三2】若二次函数y=2x 的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y=2(x+h)2的图象，则h=_______．
【答案】2
【解析】二次函数y=2x 的图象向左平移2个单位长度得到y=2(x+2)2，即h=2.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A(0，12)，点B(6，0)，抛物线y=x 沿O→B方向进行平移，平移后的抛物线顶点为B．
（1）则直线AB的解析式为y1=________；平移后的抛物线的解析式为y2=__________；
（2）求y1＜y2时x的取值范围．
【答案】解：（1）设直线AB是y=kx+b，
∵点A，B的坐标是(0，12)，(6，0)，，
解得b=12，k=-2，
∴直线AB的解析式是y=-2x+12；
∵抛物线y=x 沿O→B方向进行平移，平移到B点，向右平移了6个单位，
∴平移后的抛物线的解析式y=(x-6)2.
（2）由，得，，
∴B(6，0)，M(4，4)，
∴y1＜y2时x的取值范围是x＜4或x＞6．
【题型9】二次函数y=a(x-h)2＋k的图象和性质
【典型例题】抛物线y=-(x+2)2-5的顶点坐标是（ ）
A.(-2，5) B.(2，5) C.(-2，-5) D.(2，-5)
【答案】C
【解析】由y=-(x+2)2-5可知抛物线的顶点是(-2，-5).
故选：C.
【举一反三1】已知y=-(x-1)2+2的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A.a+b+c＞0 B.a-b+c＜0 C.abc＜0 D.2a+b＞0
【答案】D
【解析】y=-(x-1)2+2，抛物线的顶点坐标为(1，2)，对称轴为直线x=1，
即x=-=1，所以2a+b=0；
∵a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；
当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0；
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0．
故选：D.
【举一反三2】二次函数y=(x-1)2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为____________．
【答案】-1＜x≤0或2≤x＜3
【解析】当y=2时，(x-1)2+1=2，解得x=0或x=2，
当y=5时，(x-1)2+1=5，解得x=3或x=-1，
又抛物线对称轴为x=1，∴-1＜x≤0或2≤x＜3．
【举一反三3】如果二次函数y=(x+k)2+k2-4的对称轴是x=3，那么k=_______.
【答案】-3
【解析】由y=(x+k)2+k2-4可知二次函数的对称轴为x=-k，
又对称轴是x=3，即k=-3．
【举一反三4】如图，已知直线l经过A(4，0)和B(0，4)两点，抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1，0)，直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．
【答案】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把A(4，0)，B(0，4)分别代入解析式得，解得，
解析式为y=-x+4．
（2）设M点的坐标为(m，n)，
∵S△AMP=3，∴(4-1)n=3，解得n=2，
把M(m，2)代入为2=-m+4得，m=2，M(2，2)，
∵抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1，0)，可得y=a(x-1)2，
把M(2，2)代入y=a(x-1)2得，2=a(2-1)2，解得a=2，函数解析式为y=2(x-1)2．
【题型10】二次函数y=a(x-h)2＋k与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】将抛物线y=-x +2x+1向左平移3个单位，再向下平移1个单位．下列各点在平移后的抛物线上的是（ ）
A.(0，1) B.(-2，-1) C.(-1，0) D.(-2，-5)
【答案】C
【解析】y=-x +2x+1=-(x-1)2+2，即抛物线的顶点坐标为(1，2)，
把点(1，2)向左平移3个单位，再向下平移1个单位所得对应点的坐标为(-2，1)，
所以平移后的抛物线解析式为y=-(x+2)2+1，
当x=0时，y=-3；当x=-2时，y=1；当x=-1时，y=0；
所以点(0，1)，(-2，-1)，(-2，-5)不在抛物线上，而点(-1，0)在抛物线上．
故选：C.
【举一反三1】将二次函数y=-2(x+1)2-5的图象向右移动一个单位，再向上移动5个单位后得到的二次函数解析式为（ ）
A.y=-2x B.y=-2(x-2)2 C.y=-2(x-2)2-10 D.y=-2x -10
【答案】A
【解析】抛物线y=-2(x+1)2-5的顶点坐标是(-1，-5)，将其图象向右移动一个单位，
再向上移动5个单位后得到新抛物线的顶点坐标是(0，0)，则新抛物线的解析式为y=-2x ．
故选：A.
【举一反三2】将抛物线y=2(x-7)2+3平移，使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则下列平移正确的是（ ）
A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位 C.向左平移7个单位 D.向右平移7个单位
【答案】C
【解析】依题意可知，原抛物线顶点坐标为(7，3)，平移后抛物线顶点坐标为(0，t)(t为常数)，则原抛物线向左平移7个单位即可．
故选：C.
【举一反三3】把抛物线y=x 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是______________．
【答案】y=(x-2)2+3
【解析】抛物线y=x 的顶点坐标为(0，0)，点(0，0)向右平移2个单位，
再向上平移3个单位所得对应点的坐标为(2，3)，所以平移后抛物线的表达式为y=(x-2)2+3．
【举一反三4】将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为______________．
【答案】y=2(x+2)2-2
【解析】抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位，
再向下平移4个单位得到y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2．
故得到抛物线的解析式为y=2(x+2)2-2．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=a(x-)2+h分别与x轴、y轴交于点A(1，0)和点B(0，-2)，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP．
（1）求点P的坐标及抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，请你判断点P是否在抛物线C2上，并说明理由．
【答案】解：（1）∵A(1，0)和点B(0，-2)，∴OA=1，OB=2，
过P作PM⊥x轴于M，
由题意得AB=AP，∠BAP=90°，
∴∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠PAM．
在△ABO于△APM中，，∴△ABO≌△APM，
∴AM=OB，PM=OA，∴P(3，-1)，
∵A(1，0)和点B(0，-2)在抛物线C1：y=a(x-)2+h上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式C1：y＝-(x-)2+.
（2）∵将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，
∴y=-(x-+2)2++1，
∴抛物线C2的解析式为y=-(x-)2+，
当x=3时，y=-(3-)+=-1，
∴点P在抛物线C2上．
【题型11】与二次函数y=a(x-h)2＋k有关的综合性问题
【典型例题】如图，已知抛物线l1：y=(x-2)2-2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（ ）
A.y=(x-2)2+4 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+1
【答案】C
【解析】连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，
∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；
∵抛物线l1的解析式是y=(x-2)2-2，∴抛物线l1与x轴分别交于O(0，0)、A(4，0)两点，
∴OA=4，∴OA AB=16，∴AB=4，∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，
∴l2的解析式为y=(x-2)2-2+4，即y=(x-2)2+2．
【举一反三1】如图，抛物线y1=a(x+2)2+c与y2=(x-3)2+b交于点A(1，3)，且抛物线y1经过原点．过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是（ ）
A.c=4a B.a=1 C.当x=0时，y2-y1=4 D.2AB=3AC
【答案】D
【解析】∵y1=a(x+2)2+c经过点A(1，3)与原点，
∴，解得，∴c=-4a，故A，B选项错误；
y1=(x+2)2-，
∵y2=(x-3)2+b经过点A(1，3)，
∴(1-3)2+b=3，解得b=1，∴y2=(x-3)2+1，
当x=0时，y=(0-3)2+1=5.5，此时y2-y1=5.5，故C选项错误；
∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，
∴令y=3，则(x+2)2-=3，
整理得，(x+2)2=9，解得x1=-5，x =1，
∴AB=1-(-5)=6，(x-3)2+1=3，
整理得，(x-3)2=4，解得x1=5，x =1，
∴AC=5-1=4，∴2AB=3AC，故D选项正确．
故选：D.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点C是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且BC∥x轴，以CB为边向上作等边三角形ABC，BC边上的高AD交抛物线于点E，则阴影部分图形的面积为_____________.
【答案】
【解析】根据抛物线y=a(x-3)2+k得BC=2×3=6，
∵△ABC是等边三角形，∴AD=3，
根据二次函数图象的对称性得S阴影=S△ABD=×3×3=.
【举一反三3】如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1，-4)．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
【答案】解：（1）因为M(1，-4)是二次函数的顶点坐标，
所以，
令 解之得，
∴A，B两点的坐标分别为A(-1，0)，B(3，0)．
（2）在二次函数的图象上存在点P，使，
设 则，
又，∴
∵二次函数的最小值为-4，∴.
当时，.
故P点坐标为(-2，5)或(4，5)．
（3）如图1，当直线经过A点时，可得
当直线经过B点时，可得
由图可知符合题意的的取值范围为.
【题型12】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象
【典型例题】若二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，则y=cx +ax+b的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故b＜0，
所以y=cx +ax+b的图象大致是：抛物线开口向上，图象与y轴的负半轴相交，对称轴在y轴右边，故选项B符合题意．
故选：B．
【举一反三1】已知一次函数y=-x+c与y=bx（b≠0）的图象如图所示，则函数y=-x +bx+c的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图象可知c＞1，b＞0，∴函数y=-x +bx+c的图象开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方.
故选：C．
【举一反三2】如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax +bx+c的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；
∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；
∵a＜0，b＞0，对称轴为x=-＞0，∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．
故选：B.
【举一反三3】抛物线y=-x +bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是____________．
【答案】-3＜x＜1
【解析】根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（-3，0），所以y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1．
【举一反三4】二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b-2c|，Q=|2a-b|-|3b+2c|，则P，Q的大小关系是______________．
【答案】P＞Q
【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵-＞0，∴b＞0，∴2a-b＜0，
∵-=1，∴b+2a=0，x=-1时，y=a-b+c＜0，∴-b-b+c＜0，∴3b-2c＞0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，
∴P=3b-2c，Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c，
∴Q-P=-2a-2b-2c-3b+2c=-2a-5b=-4b＜0，
∴P＞Q.
【举一反三5】已知二次函数y=ax +bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）写出y≤5时自变量x的取值范围（可以结合图象说明）．
【答案】解：（1）由图表可知抛物线y=ax +bx+c过点（1，2），（3，2），求出对称轴为x=2；
∴顶点坐标为（2，1），
∴设y=a（x-2）2+1，
将（1，2）代入可得a+1=2，解得a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x-2）2+1=x -4x+5．
（2）由表格中的值可以判断：图象的对称点为（1，2），（3，2），顶点坐标为（2，1），
画出函数的图象如图：
（3）由图表可知抛物线y=ax +bx+c过点（0，5），求出对称轴x=2；
∴抛物线y=ax +bx+c过点（4，5），
∴y≤5时自变量x的取值范围：0≤x≤4．
【举一反三6】已知抛物线y=-x +bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知P为抛物线y=-x +bx+c上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P′恰好在直线BC：y=-x+3上，求点P的坐标．
【答案】解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=-x +bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x +2x+3，
当x＝ ＝1时，y=-12+2×1+3=4，
∴此抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（2）设点P′的坐标为（a，-a+3），
∵点P与点P′关于x轴对称，∴点P的坐标为：（a，a-3），
又点P在抛物线上，∴a-3=-a2+2a+3，解得：a1=3，a2=-2，
又∵点P不与点B重合，∴a=-2，∴点P的坐标为：（-2，-5）．
【题型13】二次函数y=ax ＋bx＋c的性质
【典型例题】如图，这是二次函数y=ax +bx+c的图象，则化简|a-b+c|-|a+b|的结果是（ ）
A.-2a-c B.c-2b C.2a+c D.2a-b+c
【答案】A
【解析】由图形可知，a＜0，对称轴在y轴右侧，b＞0，对称轴x=-=1，即b=-2a，
∴a+b=a+(-2a)=-a＞0，
当x=-1时，a-b+c＜0，∴|a-b+c|-|a+b|=-a+b-c-(a+b)=-a+b-c-a-b=-2a-c.
故选：A．
【举一反三1】点P1(-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=-x +2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y3＞y2＞y1 B.y3＞y1=y2 C.y1＞y2＞y3 D.y1=y2＞y3
【答案】D
【解析】∵y=-x +2x+c，∴对称轴为x=1，
P2(3，y2)，P3(5，y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1(-1，y1)与(3，y1)关于对称轴对称，故y1=y2＞y3．
故选：D.
【举一反三2】二次函数y=2x -8x+m满足以下条件：当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A.8 B.-10 C.-42 D.-24
【答案】D
【解析】∵抛物线y=2x -8x+m=2(x-2)2-8+m的对称轴为直线x=2，
而抛物线在-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；
当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，∴抛物线过点(-2，0)，(6，0)，
把(-2，0)代入y=2x -8x+m得8+16+m=0，解得m=-24．
故选：D.
【举一反三3】已知点P(m，n)在抛物线y=ax -x-a上，当m≥-1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是_____________．
【答案】-≤a＜0
【解析】根据已知条件，画出函数图象，如图所示．
由已知得，解得-≤a＜0．
【举一反三4】已知二次函数y=x -mx-1，当x＜4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是________．
【答案】m≥8
【解析】∵二次函数y=x -mx-1中，a=1＞0，∴此函数开口向上，
∵当x＜4时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴x=-≥4，即-≥4，解得m≥8．
【举一反三5】已知函数y1=ax +bx，y2=ax+b(ab≠0)在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点(-1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值；
（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
【答案】解：（1）由题意得，解得，故a=1，b=1．
（2）①证明：∵y1=ax +bx=a(x+)2-，∴函数y1的顶点为(-，-)，
∵函数y2的图象经过y1的顶点，∴-=a(-)+b，即b=-，
∵ab≠0，∴-b=2a，∴2a+b=0．
②∵b=-2a，∴y1=ax -2ax=ax(x-2)，y2=ax-2a，∴y1-y2=a(x-2)(x-1)．
∵1＜x＜，∴x-2＜0，x-1＞0，(x-2)(x-1)＜0．
当a＞0时，a(x-2)(x-1)＜0，y1＜y2；
当a＜0时，a(x-1)(x-1)＞0，y1＞y2．
【举一反三6】已知二次函数y=x -4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
【答案】解：（1）y=x -4x+3=x -4x+4-4+3=(x-2)2-1，
所以顶点C的坐标是(2，-1)，
当x＜2时，y随x的增大而减少；
当x＞2时，y随x的增大而增大.
（2）解方程x -4x+3=0，得x1=3，x =1，
即A点的坐标是(1，0)，B点的坐标是(3，0)，
过C作CD⊥AB于D，
∵AB=2，CD=1，∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1．
【题型14】抛物线平移规律
【典型例题】在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x +bx-c关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A.y=x +bx-c B.y=x -bx+c C.y=-x +bx+c D.y=-x +bx-c
【答案】C
【解析】先将抛物线y=x +bx-c关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=-x -bx+c；
再将所得的抛物线y=-x -bx+c关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=-x +bx+c．
故选：C.
【举一反三1】如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x +1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）
A.y=x -1 B.y=x +6x+5 C.y=x +4x+4 D.y=x +8x+17
【答案】B
【解析】A．y=x -1，先向上平移1个单位得到y=x ，再向上平移1个单位可以得到y=x +1，故A正确；
B．y=x +6x+5=(x+3)2-4，无法经两次简单变换得到y=x +1，故B错误；
C．y=x +4x+4=(x+2)2，先向右平移2个单位得到y=(x+2-2)2=x ，再向上平移1个单位得到y=x +1，故C正确；
D．y=x +8x+17=(x+4)2+1，先向右平移2个单位得到y=(x+4-2)2+1=(x+2)2+1，再向右平移2个单位得到y=x +1，故D正确．
故选：B.
【举一反三2】抛物线y=ax +2ax+c(a＜0)向右平移2个单位后的新图上有两点A(x1，y1)，B(x ，y2)，在此函数图象上，如果x1＜x ＜0．则y1与y2的大小关系是___________．
【答案】y1＜y2
【解析】∵抛物线y=ax +2ax+c(a＜0)的对称轴是x=-=-1，
∴该抛物线向右平移2个单位后的对称轴为x=1．
又∵该抛物线的开口方向向下，∴在x＜1上，y随x的增大而增大，
∴当x1＜x ＜0，y1＜y2的．
【举一反三3】抛物线y=x -2x-3向左平移n个单位(n＞0)，平移后y随x增大而增大的部分为P，直线y=-3x-3向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，则n的范围是________．
【答案】n≥1
【解析】∵抛物线y=x -2x-3=(x-1)2-4，直线y=-3x-3，
抛物线向左平移n个单位后，则解析式为y=(x-1+n)2-4，
则当x＞1-n时，y随x增大而增大，
直线向下平移n个单位后，则解析式为y=-3x-3-n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x=1-n，(x-1+n)2-4≤-3x-3-n，
即(1-n-1+n)2-4≤-3(1-n)-3-n，解得n≥1．
【举一反三4】已知在直角坐标平面内，抛物线y=x +bx+c经过点A(2，0)、B(0，6)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线向下平移几个单位后经过点(4，0)？请通过计算说明．
【答案】解：（1）把A(2，0)，B(0，6)代入y=x +bx+c得，
解得b=-5，c=6，
∴抛物线的表达式为y=x -5x+6.
（2）把x=4代入y=x -5x+6得y=16-20+6=2，∴2-0=2．
故抛物线向下平移2个单位后经过点(4，0)．
