2.4二次函数的应用
【题型1】解决面积问题 3
【题型2】商品利润问题 5
【题型3】固定型抛物线问题 6
【题型4】运动型抛物线问题 7
【知识点1】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 1.（2023 大埔县开学）若正方形的边长为6，边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数解析式为（ ） A．y=（x+6）2B．y=x2+62C．y=x2+6xD．y=x2+12x
2.（2023秋 巧家县校级月考）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A．y=-15x2+210x+1800B．y=（50-x）（90+15x）-30xC．y=-15x2-210x+1800D．y=（20-x）（90-15x）
【知识点2】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1.（2024 宝安区模拟）古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数y=ax2-4x+3，若关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（ ） A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠0D．a≤2且a≠0
【知识点3】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
【题型1】解决面积问题
【典型例题】用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=x m，五边形ABCDE的面积为S m2．则S的最大值为（ ）
A.12 B.12 C.24 D.没有最大值
【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是________________．
【举一反三3】如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80米的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为_____________米．
【举一反三4】工人师傅用8米长的铝合金材料制作一个如图所示的矩形窗框，图中的①、②、③区域都是矩形，且BE=2AE，M，N分别是AD、EF的中点．(说明：图中黑线部分均需要使用铝合金材料制作，铝合金材料宽度忽略不计)．
（1）当矩形窗框ABCD的透光面积是2.25平方米时，求AE的长度；
（2）当AE为多长时，矩形窗框ABCD的透光面积最大？最大面积是多少？
【举一反三5】把一根长80cm的铁丝分成两个部分，分别围成两个正方形．
（1）能否使所围的两个正方形的面积和为250 cm2，并说明理由；
（2）能否使所围的两个正方形的面积和为180 cm2，并说明理由；
（3）怎么分，使围成两个正方形的面积和最小？
【题型2】商品利润问题
【典型例题】某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A.140元 B.150元 C.160元 D.180元
【举一反三1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每月最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊的成本为R(元)，售价每只为P(元)，且R、P与x的关系式分别为R=30x+500，P=170-2x，若可获得最大利润为1950元，则日产量为（ ）
A.25 B.30 C.35 D.40
【举一反三2】某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，则每盆植___________株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植____________株．
【举一反三3】凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18-10)=0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．
（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？
（2）求写出该文具店一次销售x(x＞10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？
【举一反三4】某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
【题型3】固定型抛物线问题
【典型例题】为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示)，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（ ）
A.y=(x+3)2 B.y=(x-3)2 C.y=-(x+3)2 D.y=-(x-3)2
【举一反三1】如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三2】赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=-x2，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.-10m B.-5m C.5m D.10m
【举一反三3】如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB=36 m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为__________m．
【举一反三4】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长OA＝12m，宽OB＝4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．为安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带．
（1）求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【题型4】运动型抛物线问题
【典型例题】在某次足球训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图)．现有四个结论：
①a-b＞0；②a＜-；③-＜a＜0；④0＜b＜-12a．
其中正确的结论是（ ）
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【举一反三1】如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4 m，P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【举一反三2】如图所示，在一场足球赛中，一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m时，球达到最高点，此时球高3 m，将球的运行路线看成是一条抛物线，若球门高为2.44 m，则该球员___________射中球门(填“能”或“不能”)．
【举一反三3】在为期3天的广安市第五届运动会(青少年组)三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线y＝﹣x2+2x+2.6的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为 ．
【举一反三4】足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
（3）已知点C为OB上一点，OC＝2.25米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动n米再射门，足球恰好经过OC区域(含点O和C)，求n的取值范围．2.4二次函数的应用
【题型1】解决面积问题 4
【题型2】商品利润问题 7
【题型3】固定型抛物线问题 10
【题型4】运动型抛物线问题 13
【知识点1】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 1.（2023 大埔县开学）若正方形的边长为6，边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数解析式为（ ） A．y=（x+6）2B．y=x2+62C．y=x2+6xD．y=x2+12x
【答案】D 【分析】首先表示出原边长为6的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y可列出方程． 【解答】解：原边长为6的正方形面积为：6×6=36，
边长增加x后边长变为：x+6，
则面积为：（x+6）2，
∴y=（x+6）2-36=x2+12x.
故选：D． 2.（2023秋 巧家县校级月考）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A．y=-15x2+210x+1800B．y=（50-x）（90+15x）-30xC．y=-15x2-210x+1800D．y=（20-x）（90-15x）
【答案】A 【分析】当每件降价x元时，每件的销售利润为（50-x-30）元，每星期可卖出（90+15x）件，利用每星期售出商品的利润=每件的销售利润×每星期的销售量，即可列出y与x的函数关系式． 【解答】解：当每件降价x元时，每件的销售利润为（50-x-30）元，每星期可卖出（90+15x）件，
根据题意得：y=（50-x-30）（90+15x），
即y=-15x2+210x+1800．
故选：A． 【知识点2】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1.（2024 宝安区模拟）古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数y=ax2-4x+3，若关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（ ） A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠0D．a≤2且a≠0
【答案】C 【分析】由两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围． 【解答】解：由题意得：Δ=（-4）2-4a×2＞0且a≠0，
解得：a＜2且a≠0，
故选：C． 【知识点3】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
【题型1】解决面积问题
【典型例题】用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=x m，五边形ABCDE的面积为S m2．则S的最大值为（ ）
A.12 B.12 C.24 D.没有最大值
【答案】A
【解析】连接EC，作DF⊥EC，垂足为F，
∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°，
∵DE=CD，∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEA=∠ECB=90°，∴四边形EABC为矩形，
∴DE=x m，∴AE=6-x，DF=x，EC=x，S=-x2+6x(0＜x＜6)．
∴当x=4时，S最大=12．
【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得y=πx2，属于二次函数，根据自变量的取值为0＜x≤5，有实际意义的函数在第一象限.
故选：D.
【举一反三2】如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是________________．
【答案】50≤S≤68
【解析】设AF=x，则BF=10-x，
由题意，得S=x2+(10-x)2，S=2x2-20x+100，S=2(x-5)2+50．
∵a=2＞0，∴x=5时，S最小=50．
∵2≤x≤8，当x=2时，S=68，当x=8时，S=68．
∴50≤S≤68．
【举一反三3】如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80米的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为_____________米．
【答案】15
【解析】∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BC=x，BE=a，则AE=2a，∴8a+2x=80，
∴a=-x+10，3a=-x+30，∴y=(-x+30)x=-x2+30x，
∵a=-x+10＞0，∴x＜40，
则y=-x2+30x=-x2+30x=-(x-20)2+300(0＜x＜40)，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米，
当x=20时，a=-x+10=5，∴AB=AE+BE=3a=15(米).
【举一反三4】工人师傅用8米长的铝合金材料制作一个如图所示的矩形窗框，图中的①、②、③区域都是矩形，且BE=2AE，M，N分别是AD、EF的中点．(说明：图中黑线部分均需要使用铝合金材料制作，铝合金材料宽度忽略不计)．
（1）当矩形窗框ABCD的透光面积是2.25平方米时，求AE的长度；
（2）当AE为多长时，矩形窗框ABCD的透光面积最大？最大面积是多少？
【答案】解：（1）∵①、②、③号区域都是矩形，且BE=2AE，设AE=x米，
∴AE=MN=DF=x米，BE=CF=2x米，
∴BC=，∴ 3x=2.25，解得x1=，x2=，
∴AE的长度是米或米.
（2）设矩形ABCD的面积是y平方米，
则y=3x =-7x2+8x，
当x=-=时，y最大=×4=，
答：当AE为时，矩形窗框ABCD的透光面积最大，最大面积是．
【举一反三5】把一根长80cm的铁丝分成两个部分，分别围成两个正方形．
（1）能否使所围的两个正方形的面积和为250 cm2，并说明理由；
（2）能否使所围的两个正方形的面积和为180 cm2，并说明理由；
（3）怎么分，使围成两个正方形的面积和最小？
【答案】解：（1）设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(20-x)cm，
由题意得x2+(20-x)2=250，解得x1=5，x2=15，
当x=5时，4x=20，4(20-x)=60，
当x=15时，4x=60，4(20-x)=20，
答：能，长度分别为20 cm与60 cm.
（2）x2+(20-x)2=180，整理：x2-20x+110=0，
∵b2-4ac=400-440=-40＜0，
∴此方程无解，即不能围成两个正方形的面积和为180 cm2.
（3）设所围面积和为y cm2，
y=x2+(20-x)2=2x2-40x+400=2(x-10)2+200，
当x=10时，y最小为200.
4x=40，4(20-x)=40，
答：分成40cm与40cm，使围成两个正方形的面积和最小为200cm．
【题型2】商品利润问题
【典型例题】某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A.140元 B.150元 C.160元 D.180元
【答案】C
【解析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000．
当x=-=2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x=2时，y=11200；
x=3时，y=11200；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元．
故选：C.
【举一反三1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每月最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊的成本为R(元)，售价每只为P(元)，且R、P与x的关系式分别为R=30x+500，P=170-2x，若可获得最大利润为1950元，则日产量为（ ）
A.25 B.30 C.35 D.40
【答案】C
【解析】设利润是y，y=Px-R，
1950=x(170-2x)-(30x+500)，
1950=170x-2x2-30x-500，
x2-70x+1225=0，即(x-35)2=0，解得x1=x2=35，
∴日产量为35只．
故选：C.
【举一反三2】某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，则每盆植___________株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植____________株．
【答案】7；7或9
【解析】设每盆花苗(假设原来花盆中有3株)增加a(a为偶数)株，盈利为y元，
则根据题意得y=(3-0.5×)(a+3)=-(a-)2+，
∵a为偶数，∴a=4，
∵当a=2时，y=12.5＜13，
当a=4时，y=(2-0.5×)+(4+3)=14＞13，
当a=6时，y=(2-0.5×)+(6+3)=13.5＞13，
∴每盆植7株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植7或9株．
【举一反三3】凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18-10)=0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．
（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？
（2）求写出该文具店一次销售x(x＞10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？
【答案】解：（1）设一次购买x只，则20-0.1(x-10)=16，解得x=50．
答：一次至少买50只，才能以最低价购买.
（2）当10＜x≤50时，y=[20-0.1(x-10)-12]x=-0.1x2+9x，
当x＞50时，y=(16-12)x=4x；
综上所述：y=.
（3）y=-0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5，
①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．
②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．
且当x=46时，y1=202.4，当x=50时，y2=200．y1＞y2．
即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．
当x=45时，最低售价为20-0.1(45-10)=16.5(元)，此时利润最大．
【举一反三4】某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
【答案】解：（1）根据题意，得y=(80＋x)(384－4x)，
整理，得y=4x2＋64x＋30720．
（2）因为y=4x2＋64x＋30720=－4(x－8)2＋30976，
所以当x=8时，y最大值=30976．
即：增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是30976件．
【题型3】固定型抛物线问题
【典型例题】为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示)，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（ ）
A.y=(x+3)2 B.y=(x-3)2 C.y=-(x+3)2 D.y=-(x-3)2
【答案】B
【解析】∵高CH=1cm，BD=2 cm，且B、D关于y轴对称，
∴D点坐标为(1，1)，
∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为(-3，0)，
∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3，0)，
设右边抛物线的解析式为y=a(x-3)2，
把D(1，1)代入得1=a×(1-3)2，解得a=，
∴右边抛物线的解析式为y=(x-3)2．
故选：B.
【举一反三1】如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】∵OD＝13，∴点D的坐标为D(0，13)，
当y＝13时，x2+6＝13，解得x＝±，
∴A(﹣，0)，D(，0)，∴AD＝﹣(﹣)＝7.
故选：B．
【举一反三2】赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=-x2，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.-10m B.-5m C.5m D.10m
【答案】D
【解析】根据题意，当y=-2时，有-2=-x2，解得x=±5，
∴A(-5，-2)，B(5，-2)，∴所有水面宽度AB=2×5=10m．
故选：D.
【举一反三3】如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB=36 m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为__________m．
【答案】48
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C．
设AB与y轴交于点H，∵AB=36，∴AH=BH=18，
由题可知OH=7，CH=9，∴OC=9+7=16，
设该抛物线的解析式为y=ax2+k，
∵顶点C(0，16)，∴抛物线y=ax2+16，
代入点(18，7)，∴7=18×18a+16，∴7=324a+16，∴324a=-9，∴a=-，
∴抛物线：y=-x2+16，
当y=0时，0=-x2+16，∴-x2=-16，
∴x2=16×36=576,∴x=±24，∴E(24，0)，D(-24，0)，
∴OE=OD=24，∴DE=OD+OE=24+24=48.
【举一反三4】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长OA＝12m，宽OB＝4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．为安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带．
（1）求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】解：（1）根据题意得B(0，4)，C(3，)，
把B(0，4)，C(3，)代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
则y＝﹣(x﹣6)2+10，所以D(6，10)，
所以拱顶D到地面OA的距离为10m.
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过.
（3）令y＝8，则﹣(x﹣6)2+10＝8，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2，
则x1﹣x2＝4，
所以两排灯的水平距离最小是4m．
【题型4】运动型抛物线问题
【典型例题】在某次足球训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图)．现有四个结论：
①a-b＞0；②a＜-；③-＜a＜0；④0＜b＜-12a．
其中正确的结论是（ ）
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】D
【解析】∵a＜0，ab异号，b＞0，∴a-b＜0，故此选项①错误；
首先可以确定抛物线过点(12，0)，(0，2.4)代入得144a+12b+c=0，c=2.4，
得b=-12a-，而b=-12a-＞0，解得a＜-，故此选项②正确；
∴综上所述，故此选项③错误；
另外，抛物线的对称轴的横坐标小于6，即-＜6，
a＜0，则b＜-12a，另外，由图象可以看出ax2+bx+c=0有两个根，且满足x1+x2＞0，
则-＞0，而a＜0，所以b＞0，因此0＜b＜-12a，故此选项④正确．
故选：D.
【举一反三1】如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4 m，P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】D
【解析】如图建立坐标系．
抛物线的顶点坐标是(1，4)，
设抛物线的解析式是y=a(x-1)2+4，
把(0，3)代入解析式得a+4=3，解得a=-1．
则抛物线的解析式是y=-(x-1)2+4．
当y=0时，-(x-1)2+4=0，解得x1=3，x2=-1(舍去)．
则水池的最小半径是3 m．
故选：D.
【举一反三2】如图所示，在一场足球赛中，一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m时，球达到最高点，此时球高3 m，将球的运行路线看成是一条抛物线，若球门高为2.44 m，则该球员___________射中球门(填“能”或“不能”)．
【答案】能
【解析】如图，建立直角坐标系，
球飞行的路线为抛物线，顶点(6，3)，起点(0，0)，
设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+3，∴0=a(0-6)2+3，∴a=-；
∴抛物线的解析式为y=-(x-6)2+3，
当x=10时，y=＜2.44，故小王这一脚能射中球门.
【举一反三3】在为期3天的广安市第五届运动会(青少年组)三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线y＝﹣x2+2x+2.6的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为 ．
【答案】3.6
【解析】y＝﹣x2+2x+2.6＝﹣(x2﹣2x)+2.6＝﹣(x﹣1)2+3.6，
∵﹣1＜0，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为3.6，
∴篮球在空中运行的最大高度为3.6m，
【举一反三4】足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
（3）已知点C为OB上一点，OC＝2.25米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动n米再射门，足球恰好经过OC区域(含点O和C)，求n的取值范围．
【答案】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为(2，3)，
设抛物线y＝a(x﹣2)2+3，
把点A(8，0)代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣(x﹣2)2+3.
（2）当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，
∴球不能射进球门.
（3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为y＝﹣(x﹣2﹣n)2+3，
把点(0，2.25)代入得：2.25＝﹣(0﹣2﹣n)2+3，
解得n＝﹣5(舍去)或n＝1，
把点(0，0)代入得：0＝﹣(0﹣2﹣n)2+3，
解得：n＝﹣8(舍去)或n＝4，
即1≤n≤4．
