2.5二次函数与一元二次方程
【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 3
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解 4
【题型3】二次函数与一次函数自变量取值的关系 6
【知识点1】抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2024秋 都安县期末）抛物线y=x2-5x+8与x轴的交点个数为（ ） A．0个B．1个C．2个D．无法确定
【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 1.（2024秋 台江区期中）根据表格中代数式ax2+bx+c=0与x的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围是（ ） x6.176.186.196.20ax2+bx+c-0.03-0.010.020.06
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
2.（2024 兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值： x11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（ ） A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【知识点3】二次函数与不等式（组） 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 1.如图，直线y1=kx+b与抛物线y2=ax2+bx+c交于A（-1，m）、B（4，n）两点，若y1＜y2，则x的取值范围（ ） A．x＜-1B．x＞4C．-1＜x＜4D．x＜-1或x＞4
【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系
【典型例题】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，0)、(x1，0)，且1＜x1＜2，与y轴交于的正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：
①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a-2b+c＞0；④2a-b+1＞0.
其中正确结论个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：
（1）4a+b=0；
（2）9a+c＞3b；
（3）8a+7b+2c＞0；
（4）若点A(-3，y1)，点B(-，y2)，点C(，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
（5）若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．
其中正确的结论有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三2】若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____________．
【举一反三3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象可知：当k__________时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．
【举一反三4】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1，x2=3时，y1=y2．
（1）①求m的值；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值；
（2）若P(a，b1)，Q(3，b2)是函数图象上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围．
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解
【典型例题】下表给出了二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值：
那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是（ ）
A.1.07 B.1.17 C.1.27 D.1.37
【举一反三1】如表是部分二次函数y=ax2+bx-5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程ax2+bx-5=0的一个根在（ ）范围之间．
A.1～1.1 B.1.1～1.2 C.1.2～1.3 D.1.3～1.4
【举一反三2】已知二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（ ）
A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
【举一反三3】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是________________．
【举一反三4】利用函数图象求方程-x2+2x+2=0的实数根（精确到0.1），要先作函数_____________的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7、2.7，所以方程-x2+2x+2=0的实数根为x1≈________，x2≈__________．
【举一反三5】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根（精确到0.1）．
【举一反三6】利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3-x-2=0的解．（结果保留2个有效数字）
【题型3】二次函数与一次函数自变量取值的关系
【典型例题】如图，抛物线y=ax2+c与直线y=3相交于A、B，点A的横坐标为-4，与y轴相交于点C（0，-1），从图象可知，当0≤ax2+c≤3时，自变量x的取值范围是（ ）
A.-4≤x≤3 B.-4≤x≤-2或2≤x≤4 C.-4≤x≤4 D.x≤-2或x≥2
【举一反三1】如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥1 D.x≤-1或x≥3
【举一反三2】已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和-，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A.1＜x＜2 B.x＜-或x＞1 C.-＜x＜2 D.-1＜x＜2
【举一反三3】我们把a、b两个数中较小的数记作min{a，b}，直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为_____________．
【举一反三4】若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是________________．
【举一反三5】根据下列要求，解答相关问题：
（1）请补全以下求不等式-2x2-4x≥0的解集的过程．
①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x，并在下面的坐标系中（见图1）画出二次函数y=-2x2-4x的图象（只画出图象即可）；
②求得界点，标示所需；当y=0时，求得方程-2x2-4x=0的解为_____________，并用锯齿线标示出函数y=-2x2-4x图象中y≥0的部分；
③借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式-2x2-4x≥0的解集为______________．
（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式x2-2x+1＜4的解集．
①构造函数，画出图象；
②求得界点，标示所需；
③借助图象，写出解集．
（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．
【举一反三6】如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（-1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．2.5二次函数与一元二次方程
【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 4
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解 7
【题型3】二次函数与一次函数自变量取值的关系 11
【知识点1】抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2024秋 都安县期末）抛物线y=x2-5x+8与x轴的交点个数为（ ） A．0个B．1个C．2个D．无法确定
【答案】A 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，结合一元二次方程根的判别式即可得答案． 【解答】解：把y=0代入y=x2-5x+8得x2-5x+8=0，
∵b2-4ac=（-5）2-4×8=-7＜0，
∴方程x2-5x+8=0无实数根，
∴抛物线与x轴的交点个数为0个．
故选：A． 【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 1.（2024秋 台江区期中）根据表格中代数式ax2+bx+c=0与x的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围是（ ） x6.176.186.196.20ax2+bx+c-0.03-0.010.020.06
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
【答案】C 【分析】观察表中数据得到当x=6.18时，y=-0.01＜0；当x=6.19时，y=0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2+bx+c=0，所以可确定方程ax2+bx+c=0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19． 【解答】解：∵当x=6.18时，y=-0.01＜0；当x=6.19时，y=0.02＞0，
∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2+bx+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C． 2.（2024 兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值： x11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（ ） A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【答案】C 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【解答】解：观察表格得：方程x2+3x-5=0的一个近似根为1.2，
故选：C． 【知识点3】二次函数与不等式（组） 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 1.如图，直线y1=kx+b与抛物线y2=ax2+bx+c交于A（-1，m）、B（4，n）两点，若y1＜y2，则x的取值范围（ ） A．x＜-1B．x＞4C．-1＜x＜4D．x＜-1或x＞4
【答案】C 【分析】利用函数图象，写出直线y1=kx+b在抛物线y2=ax2+bx+c下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当y1＜y2，则x的取值范围为-1＜x＜4．
故选：C．
【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系
【典型例题】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，0)、(x1，0)，且1＜x1＜2，与y轴交于的正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：
①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a-2b+c＞0；④2a-b+1＞0.
其中正确结论个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】根据题意画出图象如图所示，
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，0)，(x1，0)，且1＜x1＜2，
∵1-(-2)=3，∴对称轴到(-2，0)的距离＞．
∴-＜-，a＜0，∴-a＞-b，∴a＜b＜0，故①正确；
设1＜x1＜1，∵-2×x1＜-2，∴＜-2，∵a＜0，∴c＞-2a，∴2a+c＞0．故②正确；
∵x=-2时，y=0，∴4a-2b+c=0，故③错误；
∵4a-2b+c=0，c＜2，∴4a-2b+2＞0，∴2a-b+1＞0，故④正确，
∴①②④正确．
故选：C.
【举一反三1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：
（1）4a+b=0；
（2）9a+c＞3b；
（3）8a+7b+2c＞0；
（4）若点A(-3，y1)，点B(-，y2)，点C(，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
（5）若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．
其中正确的结论有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】（1）正确．∵-=2，∴4a+b=0，故正确；
（2）错误．∵x=-3时，y＜0，∴9a-3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误；
（3）正确．由图象可知抛物线经过(-1，0)和(5，0)，∴，解得，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a＜0，∴8a+7b+2c＞0，故（3）正确；
（4）错误．∵点A(-3，y1)，点B(-，y2)，点C(，y3)，
∵-2=，2-(-)=，∴＜，∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，
∵a＜0，-3＜-＜2，∴y1＜y2，∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；
（5）正确．∵a＜0，∴(x+1)(x-5)=-＞0，即(x+1)(x-5)＞0，故x＜-1或x＞5，故（5）正确，
∴正确的有3个．
故选：B.
【举一反三2】若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____________．
【答案】-1或2或1
【解析】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，解得a1=-1，a2=2，
当函数为一次函数时，a-1=0，解得a=1．
【举一反三3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象可知：当k__________时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．
【答案】＜2
【解析】由二次函数和一元二次方程的关系可知y的最大值即为k的最大值，因此当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．
【举一反三4】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1，x2=3时，y1=y2．
（1）①求m的值；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值；
（2）若P(a，b1)，Q(3，b2)是函数图象上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围．
【答案】解：（1）①∵x1=1，x2=3时，y1=y2，
∴1+m+n=9+3m+n，∴m=-4.
②∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ=m2-4n=0，即16-4n=0，∴n=4.
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当P(a，b1)，Q(3，b2)在对称轴的右侧，则a＞3时，b1＞b2；
当P(a，b1)，Q(3，b2)在对称轴的两侧，
而当x1=1，x2=3时，y1=y2，则a＜1时，b1＞b2．
∴实数a的取值范围为a＜1或a＞3．
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解
【典型例题】下表给出了二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值：
那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是（ ）
A.1.07 B.1.17 C.1.27 D.1.37
【答案】C
【解析】∵x=1.2时，y=ax2+bx+c=-0.29；
x=1.3时，y=ax2+bx+c=0.14；
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，且更靠近点（1.3，0），
∴方程ax2+bx+c=0有一个根约为1.27．
故选：C．
【举一反三1】如表是部分二次函数y=ax2+bx-5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程ax2+bx-5=0的一个根在（ ）范围之间．
A.1～1.1 B.1.1～1.2 C.1.2～1.3 D.1.3～1.4
【答案】B
【解析】观察表格可知：当x=1.1时，y=-0.49；当x=1.2时，y=0.04，
∴方程ax2+bx-5=0的一个根在范围是1.1＜x＜1.2．
故选：B．
【举一反三2】已知二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（ ）
A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
【答案】D
【解析】由二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象，得对称轴是x=-1，
x1与x2关于对称轴对称，
1.3-（-1）=-1-x2，
解得x2=-3.3．
故选：D.
【举一反三3】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是________________．
【答案】-1＜x2＜0
【解析】由图象可知x=2时，y＜0；x=3时，y＞0；
由于直线x=1是它的对称轴，
则由二次函数图象的对称性可知：x=0时，y＜0；x=-1时，y＞0；
所以另一个根x2的取值范围为-1＜x2＜0．
【举一反三4】利用函数图象求方程-x2+2x+2=0的实数根（精确到0.1），要先作函数_____________的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7、2.7，所以方程-x2+2x+2=0的实数根为x1≈________，x2≈__________．
【答案】y=-2x2+2x+2，-0.7，2.7
【解析】由函数图象求方程-x2+2x+2=0的实数根（精确到0.1），要先作函数y=-2x2+2x+2的图象，如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7、2.7，所以方程-x2+2x+2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.
【举一反三5】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根（精确到0.1）．
【答案】解：方程x2-2x-1=0根是函数y=x2-2x-1与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y=x2-2x-1的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在-1和0之间，另一个在2和3之间．
先求-1和0之间的根，
当x=-0.4时，y=-0.04；当x=-0.5时，y=0.25；
因此，x=-0.4（或x=-0.5）是方程的一个近似根，
同理，x=2.4（或x=2.5）是方程的另一个近似根．
【举一反三6】利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3-x-2=0的解．（结果保留2个有效数字）
【答案】解：（1）方法：在直角坐标系中画出抛物线y=x2-1和直线y=2x，其交点的横坐标就是方程的解．
（2）在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的近似解为x≈1.5．
【题型3】二次函数与一次函数自变量取值的关系
【典型例题】如图，抛物线y=ax2+c与直线y=3相交于A、B，点A的横坐标为-4，与y轴相交于点C（0，-1），从图象可知，当0≤ax2+c≤3时，自变量x的取值范围是（ ）
A.-4≤x≤3 B.-4≤x≤-2或2≤x≤4 C.-4≤x≤4 D.x≤-2或x≥2
【答案】B
【解析】抛物线y=ax2+c与直线y=3相交于A、B，点A的横坐标为-4，
则A（-4，3），由y轴相交于点C（0，-1），
则将A，C代入抛物线y=ax2+c得，解得，
故抛物线解析式为y=x2-1，
当y=3，则3=x2-1，解得x1=4，x2=-4，故B（4，3），
当y=0，则0=x2-1，解得x3=2，x2=-2，
故当0≤ax2+c≤3时，自变量x的取值范围是-4≤x≤-2或2≤x≤4．
故选：B.
【举一反三1】如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥1 D.x≤-1或x≥3
【答案】D
【解析】由图可知，x≤-1或x≥3时，y≤1．
故选：D.
【举一反三2】已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和-，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A.1＜x＜2 B.x＜-或x＞1 C.-＜x＜2 D.-1＜x＜2
【答案】A
【解析】∵由函数图象可知，当-1＜x＜2时，ax2+bx+c＜0；
当x＞1时，mx+n＜ax2+bx+c，∴不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．
故选：A.
【举一反三3】我们把a、b两个数中较小的数记作min{a，b}，直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为_____________．
【答案】2-2或-或-1
【解析】根据题意，x2-1＜-x+1，即x2+x-2＜0，
解得-2＜x＜1，故当-2＜x＜1时，y=x2-1；
当x≤-2或x≥1时，y=-x+1；
函数图象如下：
由图象可知，∵直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点，且k＜0，
①直线y=kx-k-2经过点（-2，3）时，3=-2k-k-2，k=-，
此时直线y=-x-，与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点．
②直线y=kx-k-2与函数y=x2-1相切时，由消去y得x2-kx+k+1=0，
∵Δ=0，k＜0，∴k2-4k-4=0，∴k=2-2（或2+2舍弃），
此时直线y=（2-2）x-4+2与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点．
直线y=kx-k-2和直线y=-x+1平行，k=-1，
直线为y=-x-1与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点．
综上，k=2-2或-或-1．
【举一反三4】若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是________________．
【答案】3＜x＜7
【解析】如图所示：
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（7，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是3＜x＜7．
【举一反三5】根据下列要求，解答相关问题：
（1）请补全以下求不等式-2x2-4x≥0的解集的过程．
①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x，并在下面的坐标系中（见图1）画出二次函数y=-2x2-4x的图象（只画出图象即可）；
②求得界点，标示所需；当y=0时，求得方程-2x2-4x=0的解为_____________，并用锯齿线标示出函数y=-2x2-4x图象中y≥0的部分；
③借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式-2x2-4x≥0的解集为______________．
（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式x2-2x+1＜4的解集．
①构造函数，画出图象；
②求得界点，标示所需；
③借助图象，写出解集．
（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．
【答案】解：（1）y=-2x2-4x=-2x（x+2），
则该抛物线与x轴交点的坐标分别是（0，0），（-2，0），
且抛物线开口方向向下，所以其大致图象如图（1）所示：
根据图示知，不等式-2x2-4x≥0的解集为-2≤x≤0．
（2）①构造函数y=x2-2x+1，画出图象，如图（2）所示.
②当y=4时，方程x2-2x+1=4的解为x1=-1，x2=3.
③由图（2）知，不等式x2-2x+1＜4的解集是-1＜x＜3.
（3）当b2-4ac＞0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是x＞或x＜．
当b2-4ac=0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是x≠-；
当b2-4ac＜0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是全体实数．
【举一反三6】如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（-1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
【答案】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（-1，0），∴0=1+m，∴m=-1，
∴抛物线解析式为y=（x+2）2-1=x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），
∵对称轴x=-2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（-4，3），
∵y=kx+b经过点A，B，∴，解得，
∴一次函数解析式为y=-x-1.
（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤-4或x≥-1．
