3.3垂径定理
【题型1】垂径定理与勾股定理综合求边长 4
【题型2】垂径定理与坐标系综合 6
【题型3】垂径定理的应用 9
【知识点1】垂径定理 （1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1.（2024秋 丰台区期末）如图，OA是⊙O的半径，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若OA=5，AB=8，则OC的长为（ ） A．2B．3C．4D．5
【答案】B 【分析】根据垂径定理即可求得AC的长，在直角△AOC中．利用勾股定理即可求得OC的长． 【解答】解：∵OC⊥AB，AB=8，
∴AC=AB=4，
在直角△AOC中，OA=5，
∴OC===3．
故选：B． 2.（2025 宣州区校级开学）已知圆的半径为5，圆中弦长为6，则圆心到弦的距离是（ ） A．5B．4C．6D．8
【答案】B 【分析】过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长． 【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OD⊥AB，AB=6，
∴，
∵OB=5，
∴．
故选：B． 【知识点2】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1.（2024秋 蓬江区期末）如图，筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具．圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN长为6m,半径为4m,则圆心O到弦MN所在直线的距离为（ ） A．4mB．5mC．mD．m
【答案】D 【分析】过点O作OC⊥MN于点C，根据垂径定理求出MC=MN=3m,再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过点O作OC⊥MN于点C，
∴MC=MN=3m,
在Rt△OCM中，OM=4m,
∴OC===（m），
即圆心O到弦MN所在直线的距离为m,
故选：D．
【题型1】垂径定理与勾股定理综合求边长
【典型例题】如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1，AB=10，则CD的值是（ ）
A.13 B.20 C.26 D.28
【答案】C
【解析】如图，连接OA，
设圆的半径为x,则OE=x-1，
由垂径定理可得AB⊥CD，AE=BE=AB=5，
Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，
x2=25+（x-1）2，
解得：x=13，
∴CD=26，
故选：C．
【举一反三1】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，点M在弦AB上，且AM＝2，则线段OM的长是（ ）
A. B.4 C. D.5
【答案】C
【解析】过O点ON⊥AB于N点，连接AO，如图，
∵ON⊥AB，AB＝6，∴AN=NB=，
∵⊙O的半径为5，即AO＝5，
在Rt△AON中，ON=，
∵AM＝2，AN＝3，∴NM＝AN﹣AM＝1，
在Rt△MON中，OM=．
【举一反三2】如图，在⊙O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交⊙O于点D，则CD长的最大值为 ．
【答案】2
【解析】∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝2，
即CD的最大值为2，
故答案为：2．
【举一反三3】如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，若OC＝2 cm，OE＝ cm，求弦AB的长．
【答案】解：连接OB，如图所示：
∵半径OC过弦AB的中点E，OC＝2 cm，
∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，
∴BE＝＝＝（cm），
∴AB＝2BE＝2（cm）．
【题型2】垂径定理与坐标系综合
【典型例题】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6）
【答案】D
【解析】过A作AB⊥NM于B，连接AM，
∵AB过A，∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3），N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：AB＝=＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6）.
【举一反三1】如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A.-3 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解析】过A作AD⊥BC于D，连接AB，
∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），
∴AB=5，BC=10-2=8，OB=2，
∵AD⊥BC，AD过圆心A，
∴CD=BD=4，
由勾股定理得：AD===3，
∴点A的横坐标是3，
故选：B．
【举一反三2】如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A.-3 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解析】过A作AD⊥BC于D，连接AB，
∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），
∴AB=5，BC=10-2=8，OB=2，
∵AD⊥BC，AD过圆心A，
∴CD=BD=4，
由勾股定理得：AD===3，
∴点A的横坐标是3，
故选：B．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中直线y＝与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为（ ）
A.2 B.2 C.3 D.
【答案】B
【解析】过O作OM⊥直线AB与M，直线AB交y轴于C，
y＝x+，
当x＝0时，y＝，
当y＝0时，x+＝0，解得：x＝﹣，
所以OC＝，OA＝，
∵tan∠CAO＝＝，
∴∠CAO＝30°，
∵OM⊥AC，
∴∠OMA＝90°，
∴OM＝OA＝，
由勾股定理得：AM＝＝＝1，
∵OM⊥AB，OM过圆心O，
∴AM＝BM＝1，
∴AB＝AM+BM＝2．
【题型3】垂径定理的应用
【典型例题】把半径为5 cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8 cm，则EF的长为（ ）
A.8 cm B.7 cm C.5 cm D.4 cm
【答案】A
【解析】如图，设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，
由题意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5 cm，
∵CD＝8 cm，∴MN＝8 cm，
∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），
∵MN⊥AD，∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，
∴MF=，
∴EF＝2FM＝8 cm．
【举一反三1】如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的A，B两点，并使AB与车轮内圆相切于点D，已知O为车轮外圆和内圆的圆心，连接OD并延长交外圆于点C．测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则车轮的外圆半径是（ ）
A.10 cm B.30 cm C.50 cm D.60 cm
【答案】C
【解析】如图，连接OA，
∵CD＝10 cm，AB＝60 cm，
∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝30 cm，
∴设半径为r，则OD＝r﹣10，
根据题意得：r2＝（r﹣10）2+302，
解得：r＝50．
∴这个车轮的外圆半径长为50 cm．
【举一反三2】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝5，水面宽AB＝6，某天下雨后，水面宽度变为8，则此时排水管水面上升了 ．
【答案】1或7
【解析】过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，如图所示：
则AE＝BE＝AB＝3，OF⊥CD，
∴CF＝DF＝CD，
∵OA＝5，
∴OE＝＝＝4，
∵CD＝2CF＝8，
∴CF＝4，
∵OC＝OA＝5，
∴OF＝＝＝3，
当水面没过圆心O时，EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1，
当水面超过圆心O时，EF＝OE+OF＝4+3＝7，
即水管水面上升了1或7．
【举一反三3】如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和矩形ABCD组成，且点B， C也在所在的圆上，已知AB＝4 m，M是BC的中点，此时隧道的最高点P离地面BC的距离MP＝8 m，则该道路的路面宽BC＝ m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
【答案】8 m （2+2）m
【解析】连接PM，作AB的垂直平分线OG，交PM于点O，交AB于点G，
则点O是圆心，连接OB，
∴OM＝BG＝AB＝2 m，
∵MP＝8 m，
∴圆的半径为8﹣2＝6 m，
∴BM＝ m，
∴BC＝2BM＝8 m，
连接PA、OE交于点N，作AH⊥PM于点H，EQ⊥BC于点Q，交OG于点K，
∵MP＝8 m，MH＝AB＝4 m，
∴PH＝8﹣4＝4 m，
∵AH＝BM＝4 m，
∴PA＝m，
∵E是的中点，
∴OE垂直平分AP，
∴PN＝AP＝2 m，
∴ON＝ m，
∵EQ⊥BC，PM⊥BC，
∴EQ∥PM，
∴∠OEK＝∠EOP，
在△EOK和△OPN中，
∴△EOK≌△OPN（AAS），
∴EK＝ON＝2 m，
∴EQ＝EK+KQ＝（2+2）m．
【举一反三4】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【答案】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即A′E2＝342﹣302，
解得A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．3.3垂径定理
【题型1】垂径定理与勾股定理综合求边长 2
【题型2】垂径定理与坐标系综合 3
【题型3】垂径定理的应用 4
【知识点1】垂径定理 （1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1.（2024秋 丰台区期末）如图，OA是⊙O的半径，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若OA=5，AB=8，则OC的长为（ ） A．2B．3C．4D．5
2.（2025 宣州区校级开学）已知圆的半径为5，圆中弦长为6，则圆心到弦的距离是（ ） A．5B．4C．6D．8
【知识点2】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1.（2024秋 蓬江区期末）如图，筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具．圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN长为6m,半径为4m,则圆心O到弦MN所在直线的距离为（ ） A．4mB．5mC．mD．m
【题型1】垂径定理与勾股定理综合求边长
【典型例题】如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1，AB=10，则CD的值是（ ）
A.13 B.20 C.26 D.28
【举一反三1】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，点M在弦AB上，且AM＝2，则线段OM的长是（ ）
A. B.4 C. D.5
【举一反三2】如图，在⊙O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交⊙O于点D，则CD长的最大值为 ．
【举一反三3】如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，若OC＝2 cm，OE＝ cm，求弦AB的长．
【题型2】垂径定理与坐标系综合
【典型例题】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6）
【举一反三1】如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A.-3 B.3 C.4 D.6
【举一反三2】如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A.-3 B.3 C.4 D.6
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中直线y＝与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为（ ）
A.2 B.2 C.3 D.
【题型3】垂径定理的应用
【典型例题】把半径为5 cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8 cm，则EF的长为（ ）
A.8 cm B.7 cm C.5 cm D.4 cm
【举一反三1】如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的A，B两点，并使AB与车轮内圆相切于点D，已知O为车轮外圆和内圆的圆心，连接OD并延长交外圆于点C．测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则车轮的外圆半径是（ ）
A.10 cm B.30 cm C.50 cm D.60 cm
【举一反三2】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝5，水面宽AB＝6，某天下雨后，水面宽度变为8，则此时排水管水面上升了 ．
【举一反三3】如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和矩形ABCD组成，且点B， C也在所在的圆上，已知AB＝4 m，M是BC的中点，此时隧道的最高点P离地面BC的距离MP＝8 m，则该道路的路面宽BC＝ m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
【举一反三4】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
