3.4圆周角与圆心角的关系
【题型1】圆周角定理 4
【题型2】圆周角定理的推论1 7
【题型3】圆周角定理的推论2 10
【题型4】圆周角定理的推论3 14
【知识点1】圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 1.（2025春 沙坪坝区校级月考）如图，AD是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在CD上，连接OP，若∠PCB=130°，则∠BPO=（ ） A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】D 【分析】先连接OB，OC，OP，得到△AOB、△BOC均是等边三角形，求得∠PCO=70°，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得∠BOP=100°，然后根据等边对等角即可求解． 【解答】解：连接OB，OC，OP，如图：
∵AD是半圆O的直径，
∴∠ADO=180°，
由条件可知∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，
由题可得：OA=OB=OC=OD=OP=r,
∴△AOB、△BOC均是等边三角形，
∴∠BCO=60°，
∵∠PCB=130°，
∴∠PCO=∠PCB-∠BCO=130°-60°=70°，
∵OC=OP，
∴∠PCO=∠CPO=70°，
∴∠COP=180°-∠PCO-∠CPO=180°-70°-70°=40°，
∴∠BOP=∠COP+∠BOC=100°，
∵OB=OP，
∴，
故选：D． 2.（2025 定西模拟）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠BAC=52°，则∠BOC等于（ ） A．52°B．128°C．104°D．114°
【答案】C 【分析】由圆周角定理得到∠BAC=∠BOC，即可求出∠BOC的度数． 【解答】解：∵∠BAC=∠BOC，∠BAC=52°，
∴∠BOC=104°．
故选：C． 【知识点2】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 1.（2024秋 北仑区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ADC=120°，∠ABC的度数是（ ） A．150°B．120°C．60°D．30°
【答案】C 【分析】由圆内接四边形的性质推出∠ABC+∠ADC=180°，即可求出∠ABC的度数． 【解答】解∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°．
故选：C． 【知识点3】相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA PB=PC PD（相交弦定理）______（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．______ 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA PB（相交弦定理推论）．
【题型1】圆周角定理
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，AC，∠CAB＝30°，OC＝12，则弦CD的长为（ ）
A.6 B. C.12 D.
【答案】D
【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD，
∵∠CAB＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，
在Rt△OCE中，OC＝12，∠EOC＝60°，
∴CE＝OC×sin60°＝12×＝6，
∴CD＝2CE＝12．
故选：D．
【举一反三1】如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，若∠ACE＝25°，∠BDE＝15°，则圆心角∠AOB的大小为（ ）
A.90° B.85° C.80° D.40°
【答案】C
【解析】连接OE，
∵∠ACE＝25°，∠BDE＝15°，
∴∠AOE＝50°，∠BOE＝30°，
∴∠AOB＝80°．
故选：C．
【举一反三2】如图，点A，B，C在半径为R的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，已知OE＝2，则R＝ ．
【答案】4
【解析】连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴∠BOE＝∠AOB＝60°，
在Rt△OEB中，OE＝2，
∴OB＝＝＝4，
∴R＝4，
故答案为：4．
【举一反三3】如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C为上的一点，连接AB，AC，OC，∠BAO＝25°．
（1）若C为的中点，求∠BOC的度数；
（2）若AC∥OB，求∠BAC和∠BOC的度数．
【答案】解：（1）∵OA＝OB，∠BAO＝25°，
∴∠B＝∠BAO＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠B﹣∠BAO＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∵C为的中点，
∴，
∴．
（2）∵OB∥AC，∠B＝25°，
∴∠BAC＝∠B＝25°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝50°．
【题型2】圆周角定理的推论1
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A.14° B.28° C.56° D.无法确定
【答案】B
【解析】∵AB为直径，弦CD⊥AB，∴，
∴∠ABD＝∠CEA＝28°，
故选：B．
【举一反三1】如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且=，∠A＝40°，则∠CEB的度数为（ ）
A.50° B.80° C.70° D.90°
【答案】B
【解析】∵=，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°，
故选：B．
【举一反三2】如图，在⊙O中，=，∠B＝70°，则∠BAC＝ ．
【答案】40°
【解析】∵在⊙O中，=，
∴∠C＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，
故答案为：40°．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，
∵，∴∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD，
∵CD＝4，
∴CE＝，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
∵OE＝1，∴OC2，
解得：OC＝3（负数舍去），
∴⊙O的半径为3．
【举一反三4】如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．
【答案】（1）证明：∵B，C是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接CD，AD，
∵∠BDC＝25°，，
∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°，
∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，
∴∠BEC＝∠AED＝130°．
【题型3】圆周角定理的推论2
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（ ）
A.120° B.110° C.100° D.90°
【答案】B
【解析】连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠AED＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+20°＝110°．
故选：B．
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A.36° B.45° C.54° D.72°
【答案】C
【解析】如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，
∴∠ADC＝∠ABC＝54°，
故选：C．
【举一反三2】如图，用直角曲尺可以检查半圆形的工件是否合格，其中的数学依据是 ．
【答案】90°圆周角所对的弦是直径
【解析】直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的道理是：90°圆周角所对的弦是直径．
故答案为：90°圆周角所对的弦是直径．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙O上一点，且AD＝AC，延长CD交⊙O于E，连CB．
（1）求证：∠CAB＝2∠BCD；
（2）若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠A+90°﹣∠BCD+90°﹣∠BCD＝180°，
∴∠A＝2∠BCD；
（2）解：连接OC、OE，如图，
由（1）得∠A＝2∠BCE＝2×15°＝30°，
∵∠BOE＝2∠BCE＝2×15°＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A＝60°，
∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝60°+30°＝90°，
而，
∴．
【举一反三4】如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠C；
（2）若AC平分∠OAE，求的值．
【答案】（1）证明：∵OA⊥BE，
∴，
∴∠ABE＝∠C；
（2）解：∵AC平分∠OAE，
∴∠OAC＝∠EAC，
∵∠EAC＝∠EBC，
∴∠OAC＝∠EBC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∴∠EBC＝∠C，
∴BF＝CF，
由（1）∠ABE＝∠C，
∴∠ABE＝∠C＝∠EBC，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠C+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
∴AF＝，
∴AF＝，
即．
【题型4】圆周角定理的推论3
【典型例题】如图，A、B、C、D是⊙O上的不同的四个点，BD是⊙O的直径，弦AB、CD相交于点E．若∠C＝45°，则sinB的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由圆周角定理得：∠B＝∠C＝45°，
∴sinB＝sin45°＝，
故选：C．
【举一反三1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是直径，∠C＝75°，则∠A的度数为（ ）
A.90° B.75° C.140° D.105°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝75°，
∴∠A180°﹣75°＝105°，
故选：D．
【举一反三2】如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝ °．
【答案】116
【解析】连接AC、CE，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠CAE+∠D＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，
∵AC＝AE，
∴，
∴，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣64°＝116°，
故答案为：116．
【举一反三3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AE是⊙O的直径，连接BE，若AE⊥BC，∠ADC＝2∠AEB，则∠ABC＝ °．
【答案】60
【解析】∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠AEB，
∵∠ADC＝2∠AEB，
∴∠ADC＝2∠ABC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝60°．
故答案为：60．
【举一反三4】如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ADC，∠ABD＝∠CAD．
（1）求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AB交AD的延长线于点F．若AC＝AB，DF＝3，求圆的半径．
【答案】解：（1）∵∠ABD＝∠CAD，
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2∠ABD+2∠ADB＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；
（2）由（1）知∠BAD＝90°，
∴∠CAD+∠BAE＝90°，BD为直径，
∵∠ABD＝∠CAD，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵BD为直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，
∵AC＝AB，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠CDF＝∠ABC＝60°，
∵CF∥AB，
∴∠BAD+∠AFC＝180°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠FCD＝30°，
∴CD＝2DF，
∵DF＝3，
∴CD＝6，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝30°，
∴BD＝2CD＝12，
即圆的直径为12，
所以圆的半径为6.3.4圆周角与圆心角的关系
【题型1】圆周角定理 3
【题型2】圆周角定理的推论1 4
【题型3】圆周角定理的推论2 5
【题型4】圆周角定理的推论3 7
【知识点1】圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 1.（2025春 沙坪坝区校级月考）如图，AD是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在CD上，连接OP，若∠PCB=130°，则∠BPO=（ ） A．25°B．30°C．35°D．40°
2.（2025 定西模拟）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠BAC=52°，则∠BOC等于（ ） A．52°B．128°C．104°D．114°
【知识点2】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 1.（2024秋 北仑区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ADC=120°，∠ABC的度数是（ ） A．150°B．120°C．60°D．30°
【知识点3】相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA PB=PC PD（相交弦定理）______（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．______ 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA PB（相交弦定理推论）．
【题型1】圆周角定理
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，AC，∠CAB＝30°，OC＝12，则弦CD的长为（ ）
A.6 B. C.12 D.
【举一反三1】如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，若∠ACE＝25°，∠BDE＝15°，则圆心角∠AOB的大小为（ ）
A.90° B.85° C.80° D.40°
【举一反三2】如图，点A，B，C在半径为R的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，已知OE＝2，则R＝ ．
【举一反三3】如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C为上的一点，连接AB，AC，OC，∠BAO＝25°．
（1）若C为的中点，求∠BOC的度数；
（2）若AC∥OB，求∠BAC和∠BOC的度数．
【题型2】圆周角定理的推论1
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A.14° B.28° C.56° D.无法确定
【举一反三1】如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且=，∠A＝40°，则∠CEB的度数为（ ）
A.50° B.80° C.70° D.90°
【举一反三2】如图，在⊙O中，=，∠B＝70°，则∠BAC＝ ．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
【举一反三4】如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．
【题型3】圆周角定理的推论2
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（ ）
A.120° B.110° C.100° D.90°
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A.36° B.45° C.54° D.72°
【举一反三2】如图，用直角曲尺可以检查半圆形的工件是否合格，其中的数学依据是 ．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙O上一点，且AD＝AC，延长CD交⊙O于E，连CB．
（1）求证：∠CAB＝2∠BCD；
（2）若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的长．
【举一反三4】如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠C；
（2）若AC平分∠OAE，求的值．
【题型4】圆周角定理的推论3
【典型例题】如图，A、B、C、D是⊙O上的不同的四个点，BD是⊙O的直径，弦AB、CD相交于点E．若∠C＝45°，则sinB的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是直径，∠C＝75°，则∠A的度数为（ ）
A.90° B.75° C.140° D.105°
【举一反三2】如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝ °．
【举一反三3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AE是⊙O的直径，连接BE，若AE⊥BC，∠ADC＝2∠AEB，则∠ABC＝ °．
【举一反三4】如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ADC，∠ABD＝∠CAD．
（1）求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AB交AD的延长线于点F．若AC＝AB，DF＝3，求圆的半径．
