3.6直线和圆的位置关系
【题型1】直线和圆的位置关系 6
【题型2】切线的性质 7
【题型3】切线性质与勾股定理综合 8
【题型4】切线的判定 10
【题型5】切线的性质与判定的综合 11
【题型6】三角形的内心及其性质 12
【题型7】与三角形内切圆相关的计算或证明 14
【知识点1】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交 d＜r
②直线l和⊙O相切 d=r
③直线l和⊙O相离 d＞r． 1.（2024秋 渝北区校级期中）已知圆心A到直线m的距离为d,⊙A的半径为r,若d、r是方程x2-7x+12=0的两个根，则直线m和⊙A的位置关系是（ ） A．相切B．相离C．相交D．相离或相交
【知识点2】切线的性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 1.（2025春 高新区校级月考）如图，射线PA，PB切⊙O于点A，B，直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，若△PDE的周长是12cm,则PA的长是（ ） A．6cmB．3cmC．24cmD．12cm
【知识点3】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 1.（2024秋 赣榆县校级月考）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（ ） A．5个B．4个C．3个D．2个
2.（2024 岳阳）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ） A．①②B．①②③C．①④D．①②④
【知识点4】切线的判定与性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点5】弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC（∠PCA为弦切角）． 【知识点6】切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA PB（切割线定理）
（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD PC=PA PB（切割线定理推论）（割线定理）
由上可知：PT2=PA PB=PC PD． 1.（2024海淀区模拟）如图，割线PAB交⊙O于A、B两点，且PA：AB=2：1，PO交⊙O于C，PC=3，OC=2，则PA的长为（ ） A．B．C．D．
2.（2024绍兴）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，则PD的长是（ ） A．3B．7.5C．5D．5.5
【知识点7】三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 1.（2024 海港区一模）抛物线y=a（x-1）（x-3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧），A、B两点与抛物线的顶点构成的三角形，当内心与外心重合时，此时抛物线顶点记为点C．若抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大时，求a的取值范围．甲求得；乙求得．下列说法正确的是（ ） A．甲对乙错B．甲错乙对C．二人答案合在一起才正确D．二人答案合在一起也不正确
2.（2024秋 丰县校级月考）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等C．三角形有且只有一个内切圆D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等
【题型1】直线和圆的位置关系
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A.点B在⊙A内
B.直线BC与⊙A相离
C.点C在⊙A上
D.直线BC与⊙A相切
【举一反三1】如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A.以PA为半径的圆
B.以PB为半径的圆
C.以PC为半径的圆
D.以PD为半径的圆
【举一反三2】已知某直线到圆心的距离为5 cm，圆的周长为10π cm，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
【举一反三3】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6 cm，线段OA＝10 cm，线段OB＝6 cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
【举一反三4】在直角坐标系中，点P的坐标是(3，)，圆P的半径为3，下列说法正确的是（ ）
A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 ；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 ．
【举一反三6】直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【举一反三7】已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 ．
【题型2】切线的性质
【典型例题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（ ）
A.30° B.35° C.40° D.50°
【举一反三1】如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（ ）
A.25° B.20° C.30° D.35°
【举一反三2】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是上一点，若∠APB＝40°，则∠ACB的度数是（ ）
A.110° B.100° C.140° D.80°
【举一反三3】如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 ．
【举一反三4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，且=，过D点的切线与BC的延长线交于E点．证明：∠ADB＝∠CDE．
【举一反三5】如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，AB＝BE，PD切⊙O于点D，交EB于点C，连接AE，点D在AE上．求证：BE⊥PC．
【题型3】切线性质与勾股定理综合
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（ ）
A.4 B.2 C.8 D.4
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，DB＝AD，连接AC，若AB＝4，则AC的长度为（ ）
A. B. C.4 D.
【举一反三2】如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC＝90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，若AC＝10，则AE的长是 ．
【举一反三3】如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的半径是________cm．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．
（1）求证：DF⊥BC；
（2）已知DE＝6，BE＝3，求⊙O的半径．
【题型4】切线的判定
【典型例题】如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是（ ）
A.OA2+PA2＝OP2
B.PA⊥OA
C.∠P＝30°，∠O＝60°
D.OP＝2OA
【举一反三1】下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【举一反三2】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60°
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为____________秒．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．
【举一反三5】如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点．求证：AC是⊙O的切线．
【题型5】切线的性质与判定的综合
【典型例题】如图所示，⊙O与边长为4 cm的正方形ABCD的边CD相切，且A、B两点在⊙O上，则圆的半径长是（ ）
A. cm B. cm C.2 cm D.1 cm
【举一反三1】如图，已知AB是半⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠A＝20°，则∠D＝（ ）
A.20° B.40° C.50° D.60°
【举一反三2】如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为 ．
【举一反三3】如图，一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？
【题型6】三角形的内心及其性质
【典型例题】正三角形的内切圆半径为1，则该正三角形的外接圆半径是（ ）
A. B. C.2 D.2.5
【举一反三1】已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（ ）
A.中心 B.内心 C.外心 D.垂心
【举一反三2】已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（ ）
A.中心 B.内心 C.外心 D.垂心
【举一反三3】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝25°，则∠BEC的大小为（ ）
A.100° B.110° C.115° D.120°
【举一反三4】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝ cm．
【举一反三5】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【举一反三6】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【举一反三7】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝ cm．
【题型7】与三角形内切圆相关的计算或证明
【典型例题】如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝4，BD＝6．则△DBC的面积是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【举一反三1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数为（ ）
A.120° B.135° C.145° D.150°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的大小是（ ）
A.35° B.40° C.45° D.50°
【举一反三3】边长为12的正三角形ABC的内切圆的面积为 ．
【举一反三4】如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．
（1）求证：∠BAD＝∠CBD；
（2）求证：BD＝ID；
（3）连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．3.6直线和圆的位置关系
【题型1】直线和圆的位置关系 11
【题型2】切线的性质 14
【题型3】切线性质与勾股定理综合 19
【题型4】切线的判定 23
【题型5】切线的性质与判定的综合 27
【题型6】三角形的内心及其性质 30
【题型7】与三角形内切圆相关的计算或证明 33
【知识点1】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交 d＜r
②直线l和⊙O相切 d=r
③直线l和⊙O相离 d＞r． 1.（2024秋 渝北区校级期中）已知圆心A到直线m的距离为d,⊙A的半径为r,若d、r是方程x2-7x+12=0的两个根，则直线m和⊙A的位置关系是（ ） A．相切B．相离C．相交D．相离或相交
【答案】D 【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是3和4，分d=3，r=4和d=4，r=3判断直线和圆的位置关系． 【解答】解：（x-3）（x-4）=0
∴x1=3，x2=4，
当d=3，r=4时，直线和圆相交，
当d=4，r=3时，直线和圆相离．
故选：D． 【知识点2】切线的性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 1.（2025春 高新区校级月考）如图，射线PA，PB切⊙O于点A，B，直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，若△PDE的周长是12cm,则PA的长是（ ） A．6cmB．3cmC．24cmD．12cm
【答案】A 【分析】由切线长定理得PA=PB，AD=CD，BE=CE，而△PDE的周长是12cm,可推导出PA+PB=PD+DE+PE=12cm,所以2PA=12cm,求得PA=6cm,于是得到问题的答案． 【解答】解：∵射线PA，PB切⊙O于点A，B，
∴PA=PB，
∵直线DE切⊙O于点C，交PA于点D，交PB于点E，
∴AD=CD，BE=CE，
∵△PDE的周长是12cm,
∴PA+PB=PD+AD+BE+PE=PD+CD+CE+PE=PD+DE+PE=12cm,
∴2PA=12cm,
∴PA=6cm,
故选：A． 【知识点3】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 1.（2024秋 赣榆县校级月考）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（ ） A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B 【分析】首先由AB是⊙O的直径，得出AD⊥BC，推出BD=DC，再由OA=OB，推出OD是△ABC的中位线，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切线，然后由DF⊥AC，AD⊥BC，推出△CDE为等腰三角形，从而推出∠A=2∠FDC，CF=EF．最后由假设推出=不正确； 【解答】解：连接OD，AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB=AC，
∴AD是边BC上的中线，
∴BD=DC（正确）；
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线（正确）；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FDC=∠CAD，
又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠A=2∠CAD=2∠FDC（正确）；
∵DF是⊙O的切线，
∴∠FDE=∠CAD=∠FDC，
∴∠C=∠DEC，
∴DC=DE，
又DF⊥AC，
∴CF=EF（正确）；
当∠EAD=∠EDA时，=，此时△ABC为等边三角形，
当△ABC不是等边三角形时，
∠EAD≠∠EDA，
则≠，
∴=（不正确）；
综上，正确结论的序号是①②④⑤，
故选：B． 2.（2024 岳阳）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ） A．①②B．①②③C．①④D．①②④
【答案】D 【分析】根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断． 【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
而AB=CB，
∴AD=DC，所以①正确；
∵AB=CB，
∴∠1=∠2，
而CD=ED，
∴∠3=∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA=DC=DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC=90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
故选：D． 【知识点4】切线的判定与性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点5】弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC（∠PCA为弦切角）． 【知识点6】切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA PB（切割线定理）
（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD PC=PA PB（切割线定理推论）（割线定理）
由上可知：PT2=PA PB=PC PD． 1.（2024海淀区模拟）如图，割线PAB交⊙O于A、B两点，且PA：AB=2：1，PO交⊙O于C，PC=3，OC=2，则PA的长为（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】延长PO交圆于D，根据割线定理列方程求解即可． 【解答】解：设AB=x,则PB=3x,延长PO交圆于D．
∵PA PB=PC PD，PC=3，OC=2，
∴2x 3x=21，
∴x=，
∴PA=2x=．
故选：B． 2.（2024绍兴）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，则PD的长是（ ） A．3B．7.5C．5D．5.5
【答案】B 【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA PB=PC PD即可求得PD的长． 【解答】解：∵PA=3，AB=PC=2，
∴PB=5，
∵PA PB=PC PD，
∴PD=7.5，
故选：B． 【知识点7】三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 1.（2024 海港区一模）抛物线y=a（x-1）（x-3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧），A、B两点与抛物线的顶点构成的三角形，当内心与外心重合时，此时抛物线顶点记为点C．若抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大时，求a的取值范围．甲求得；乙求得．下列说法正确的是（ ） A．甲对乙错B．甲错乙对C．二人答案合在一起才正确D．二人答案合在一起也不正确
【答案】C 【分析】由二次函数解析式得出A（1，0），B（3，0），C（2，-a），由△ABC内心与外心重合，得出△ABC是等边三角形，从而得出C到x轴的距离为，由抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大，即可得出答案． 【解答】解：∵抛物线y=a（x-1）（x-3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧），
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵y=a（x-1）（x-3）=a（x-2）2-a,
∴顶点C（2，-a），
∵A、B两点与抛物线的顶点构成的三角形，内心与外心重合，
∴△ABC是等边三角形，
∴C到x轴的距离为，
∵抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大，
∴，
解得：或，
故选：C． 2.（2024秋 丰县校级月考）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等C．三角形有且只有一个内切圆D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等
【答案】C 【分析】A、根据切线的定义判断；
B、根据同弦或等弦所对的圆周角判断；
C、根据三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点判断；
D、根据三角形的内心的性质判断． 【解答】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
B、在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角不一定相等；
C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个；
D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．
由此可见只有C是正确的．
故选：C．
【题型1】直线和圆的位置关系
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A.点B在⊙A内
B.直线BC与⊙A相离
C.点C在⊙A上
D.直线BC与⊙A相切
【答案】D
【解析】过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意．
故选：D．
【举一反三1】如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A.以PA为半径的圆
B.以PB为半径的圆
C.以PC为半径的圆
D.以PD为半径的圆
【答案】B
【解析】∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．
故选：B．
【举一反三2】已知某直线到圆心的距离为5 cm，圆的周长为10π cm，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
【答案】B
【解析】∵圆的周长为10π cm，
∴圆的半径为5 cm，
∵圆心到直线l的距离为5 cm，
∴d＝r，
∴直线与圆相切，
∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个．
故选：B．
【举一反三3】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6 cm，线段OA＝10 cm，线段OB＝6 cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
【答案】D
【解析】∵⊙O的半径为6 cm，线段OA＝10 cm，线段OB＝6 cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【举一反三4】在直角坐标系中，点P的坐标是(3，)，圆P的半径为3，下列说法正确的是（ ）
A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
【答案】D
【解析】∵P（3，），圆P的半径为3，
∴以P为圆心，以3为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：D．
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 ；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 ．
【答案】0＜r＜；3＜r≤4或r＝
【解析】如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝
∵S△ABC＝，
∴CH＝，
∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，
∴r的取值范围为0＜r＜，
∵⊙C与AB边只有一个公共点，
∴r的取值范围为3＜r≤4或r＝，
故答案为：0＜r＜，3＜r≤4或r＝．
【举一反三6】直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】d＞3
【解析】∵直线l与⊙O相离，⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，
∴d＞3．
【举一反三7】已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 ．
【答案】0≤d≤6
【解析】∵⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为d，⊙O与直线l有公共点，
∴直线l与⊙O相切或相交，
∴0≤d≤6．
【题型2】切线的性质
【典型例题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（ ）
A.30° B.35° C.40° D.50°
【答案】A
【解析】连接OA，OD，如图，
∵∠B＝60°，OA＝OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝∠BAO＝60°，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠DAO＝120°﹣60°＝60°，
又∵OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
又∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
故选：A．
【举一反三1】如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（ ）
A.25° B.20° C.30° D.35°
【答案】C
【解析】∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．
故选：C．
【举一反三2】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是上一点，若∠APB＝40°，则∠ACB的度数是（ ）
A.110° B.100° C.140° D.80°
【答案】A
【解析】连接OA、OB，作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠APB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ADB＝∠AOB＝70°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
【举一反三3】如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 ．
【答案】38°
【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，
∵CB为⊙O的切线，
∴CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90，
∴∠ABD＝∠C＝38°，
∴∠AED＝∠ABD＝38°，
故答案为：38°．
【举一反三4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，且=，过D点的切线与BC的延长线交于E点．证明：∠ADB＝∠CDE．
【答案】证明：连接DO并延长交圆于M，连接MC，
∵过D点的切线与BC的延长线交于E点，
∴∠ODC+∠CDE＝90°，
∵DM是直径，
∴∠MCD＝90°，
∴∠ODC+∠M＝90°，
∴∠M＝∠CDE，
∵，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠DBC＝∠M，
∴∠ADB＝∠CDE．
【举一反三5】如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，AB＝BE，PD切⊙O于点D，交EB于点C，连接AE，点D在AE上．求证：BE⊥PC．
【答案】证明：连接OD，
∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠E，
∴OD∥BE，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∴BE⊥PC．
【题型3】切线性质与勾股定理综合
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（ ）
A.4 B.2 C.8 D.4
【答案】D
【解析】如图，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵BD＝AO＝4，
∴∠D＝30°，CD＝＝＝4，
∴∠COD＝60°，
由圆周角定理得：∠A＝∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D，
∴AC＝CD＝4，
故选：D．
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，DB＝AD，连接AC，若AB＝4，则AC的长度为（ ）
A. B. C.4 D.
【答案】D
【解析】连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵DB＝AD，
∴DB＝AB，
∵AB＝4，
∴BD＝BO＝2，
∴OC＝2，OD＝4，
∴∠D＝30°，CD＝＝＝2，
∴∠DOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠DOC＝30°，
∴∠A＝∠D，
∴AC＝CD＝2．
故选：D．
【举一反三2】如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC＝90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，若AC＝10，则AE的长是 ．
【答案】
【解析】连接OD，如图，
∵直线CE与⊙O相切于点D，∠ABC＝90°，
∴OD⊥CE，CD＝BC＝＝6，
∴∠ODE＝90°，
设AE＝x，则OE＝4+x，BE＝8+x，
在Rt△ODE中，ED＝，
在Rt△BCE中，EC＝，+6＝，
∴x＝，即AE＝．
【举一反三3】如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的半径是________cm．
【答案】3
【解析】连接OA，OB．
∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°，
∵AB＝3 cm，
∴OA＝6 cm，
∴由勾股定理得OB＝3 cm，
∴光盘的半径是3 cm．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．
（1）求证：DF⊥BC；
（2）已知DE＝6，BE＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∴DF⊥BC；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2，即r2+62＝（r+3）2，
解得：r＝4.5，即⊙O的半径为4.5．
【题型4】切线的判定
【典型例题】如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是（ ）
A.OA2+PA2＝OP2
B.PA⊥OA
C.∠P＝30°，∠O＝60°
D.OP＝2OA
【答案】D
【解析】∵OA2+PA2＝OP2，
∴△OAP为直角三角形，
∴OA⊥PA，
∴PA为⊙O的切线，所以A、B选项不符合题意；
∵∠P＝30°，∠O＝60°，
∴∠OAP＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA为⊙O的切线，所以C选项不符合题意；
∵OP＝2OA不能确定∠OAP＝90°，
∴D选项符合题意．
故选：D．
【举一反三1】下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【答案】C
【解析】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，
故A，B，D选项不正确，C选项正确，
故选：C．
【举一反三2】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ）
A.∠E＝∠CFE B.∠E＝∠ECF C.∠ECF＝∠EFC D.∠ECF＝60°
【答案】C
【解析】连接OC，∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠B+∠DFB＝90°，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴∠B+∠EFC＝90°，
∵∠ECF＝∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF＝90°，
∴CE是⊙O的切线．
故选：C．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为____________秒．
【答案】2或10
【解析】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∴∠1＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，且BC＝6，
∴CD＝BD＝BC＝3，
在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝4，
又S△ACD＝AC ED＝AD CD，
即×5×ED＝×4×3，
∴ED＝．
【举一反三5】如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点．求证：AC是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OE，
∵E是的中点，
∴∠OBE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠OEB＝∠CBE．
∴OE∥BC．
∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°．
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴DE⊥AC．
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
【题型5】切线的性质与判定的综合
【典型例题】如图所示，⊙O与边长为4 cm的正方形ABCD的边CD相切，且A、B两点在⊙O上，则圆的半径长是（ ）
A. cm B. cm C.2 cm D.1 cm
【答案】B
【解析】设圆与CD相切于M，连接OA，OM，延长MO交AB于N，
设圆的半径是r cm，
∵⊙O与CD相切，切点是M，
∴半径OM⊥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠DAN＝90°，
∴OM⊥AB，
∴四边形ADMN是矩形，
∴MN＝AD＝4 cm，
∴ON＝（4﹣r）cm，
∵ON⊥AB，
∴AN＝AB＝×4＝2（cm），
∵OA2＝ON2+AN2，
∴r2＝（4﹣r）2+22，
∴r＝，
∴圆的半径长是 cm．
故选：B．
【举一反三1】如图，已知AB是半⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠A＝20°，则∠D＝（ ）
A.20° B.40° C.50° D.60°
【答案】C
【解析】连接OC，
∵∠A＝20°，OA＝OC，
∴∠COD＝40°，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
【举一反三2】如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为 ．
【答案】3
【解析】连接AB，
∵AE是⊙O的切线，
∴半径OA⊥AE，
∵OA⊥CB，
∴BC∥AE，
∵AO⊥BC，
∴∠COD＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ABC＝∠AOC＝30°，
∴∠ABC＝∠OCD，
∴AB∥CE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE＝BC＝3．
故答案为：3．
【举一反三3】如图，一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？
【答案】解：圆心经过的距离就是圆的周长，所以是πd．
答：圆心经过的距离是πd．
【题型6】三角形的内心及其性质
【典型例题】正三角形的内切圆半径为1，则该正三角形的外接圆半径是（ ）
A. B. C.2 D.2.5
【答案】C
【解析】等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍，
所以当正三角形内切圆的半径为1时，它的外接圆的半径为2．
【举一反三1】已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（ ）
A.中心 B.内心 C.外心 D.垂心
【答案】C
【解析】由作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，
∵AB＝AC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点O是等腰三角形AB和BC的垂直平分线的交点，是△ABC的外心．
【举一反三2】已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（ ）
A.中心 B.内心 C.外心 D.垂心
【答案】C
【解析】由作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，
∵AB＝AC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点O是等腰三角形AB和BC的垂直平分线的交点，是△ABC的外心．
【举一反三3】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝25°，则∠BEC的大小为（ ）
A.100° B.110° C.115° D.120°
【答案】C
【解析】在⊙O中，∠CBD＝25°，∴∠CAD＝25°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠CAD＝50°，
∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠BEC＝180°﹣65°＝115°．
【举一反三4】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝ cm．
【答案】2
【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，
设AF＝AE＝x；BD＝BE＝y；CF＝CD＝z，
根据题意得：解得x＝2，
∴AE＝2．
【举一反三5】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【答案】7
【解析】∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
【举一反三6】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为 ．
【答案】7
【解析】∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
【举一反三7】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝ cm．
【答案】2
【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，
设AF＝AE＝x；BD＝BE＝y；CF＝CD＝z，
根据题意得：解得x＝2，
∴AE＝2．
【题型7】与三角形内切圆相关的计算或证明
【典型例题】如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝4，BD＝6．则△DBC的面积是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，
则∠BDH＝60°，
∵BD＝6，
∴DH＝3，BH＝3，
∵CD＝4，
∴△DBC的面积＝CD BH＝＝6．
【举一反三1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数为（ ）
A.120° B.135° C.145° D.150°
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵⊙D是△ABC的内切圆，
∴AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
∴∠DAB=∠DAC=CAB，∠DBA=∠DBC=∠CBA，
∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，
∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-45°=135°，
故选：B.
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的大小是（ ）
A.35° B.40° C.45° D.50°
【答案】A
【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC分别相切于点D，E，
∴BE=BD，AO平分∠BAC，
∴∠BDE=∠BED=（180°-∠B），∠DAO=∠BAC，
∴∠AFD=∠BDE-∠DAO=（180°-∠B）-∠BAC=（180°-∠B-∠BAC），
∵180°-∠B-∠BAC=∠ACB=70°，
∴∠AFD=×70°=35°，
故选：A．
【举一反三3】边长为12的正三角形ABC的内切圆的面积为 ．
【答案】12π
【解析】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝12，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝BD＝6，
作∠ABC的平分线交AD于点O，
∴点O就是△ABC的内切圆的圆心，
∴OA＝OB，
∴OB＝OA＝AD﹣OD＝6﹣OD，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
∴OD2+62＝（6﹣OD）2，
∴OD＝2，
∴△ABC的内切圆的面积为OD2π＝12π．
故答案为：12π．
【举一反三4】如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．
（1）求证：∠BAD＝∠CBD；
（2）求证：BD＝ID；
（3）连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．
【答案】证明：（1）∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD；
（2）如图，连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∴∠BID＝∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，
∵∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠IBD，
∴ID＝BD；
（3）如图，连接BI、CI，DC，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∴BD＝CD＝ID，
∴点D是△BIC的外心．
