27.3位似
【题型1】位似图形的性质 3
【题型2】坐标系中的位似变换 4
【题型3】坐标系中的位似作图 6
【知识点1】几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．______（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．____________（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．______（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 1.（2024春 驿城区期中）如图所示，该图案是经过（ ） A．平移得到的B．旋转或轴对称得到的C．轴对称得到的D．旋转得到的
【知识点2】位似变换 （1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 1.（2025 辽宁一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图， OABC，点A在x轴正半轴上，点B在直线上，当点C的“点积值”为20，点B的“点积值”为50时，点A的坐标为（ ）
A．（4，0）B．（5，0）C．（6，0）D．（8，0）
【知识点3】作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【题型1】位似图形的性质
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形
B.两位似图形的面积之比等于位似比
C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D.位似图形的周长之比等于位似比的平方
【举一反三1】如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A.3 B.4 C.9 D.16
【举一反三2】如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（ ）
A.6 B.8 C.18 D.20
【举一反三3】如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有 对．
【举一反三4】如图，DC∥AB，OA＝2OC，则△OCD与△OAB的位似比是 ．
【举一反三5】如图，△ABC与△ADE是位似图形，试说明DE与BC是否平行．
【题型2】坐标系中的位似变换
【典型例题】在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：1，则点C′的坐标为（ ）
A.（0，0） B.（0，1） C.（1，﹣1） D.（1，0）
【举一反三2】在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C.或 D.或
【举一反三3】如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为,C,D两点的坐标分别为．若线段和线段是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 ．
【举一反三4】如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是 ．
【举一反三5】已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形．
(1)写出点的坐标__________；
(2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为2∶1．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A（，3），则A′的坐标为 ；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 ；
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m的代数式表示）
【题型3】坐标系中的位似作图
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比( )
A.形状不变，图形缩小为原来的一半 B.形状不变，图形放大为原来的2倍 C.整个图形被横向压缩为原来的一半 D.整个图形被纵向压缩为原来的一半
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为（1，3），（2，5）．若△ABC和△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 ．
【举一反三4】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ．
【举一反三5】在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示．
(1)将绕点O顺时针旋转得到，作出，并写出点的坐标 ．
(2)将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比．
【举一反三6】如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)以原点为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为2：1；
(2)点的坐标是___________，的面积是____________．27.3位似
【题型1】位似图形的性质 4
【题型2】坐标系中的位似变换 6
【题型3】坐标系中的位似作图 10
【知识点1】几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．______（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．____________（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．______（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 1.（2024春 驿城区期中）如图所示，该图案是经过（ ） A．平移得到的B．旋转或轴对称得到的C．轴对称得到的D．旋转得到的
【答案】B 【分析】根据旋转和轴对称的性质可得答案． 【解答】解：图案外面是一个圆，里面是均匀分布的三个“花瓣”，
∴图案既可以看成一个“花瓣”绕圆心旋转2次得到的，也可以看成其中一个“花瓣”的对称轴为对称轴通过轴对称得到的，
故选：B． 【知识点2】位似变换 （1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 1.（2025 辽宁一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图， OABC，点A在x轴正半轴上，点B在直线上，当点C的“点积值”为20，点B的“点积值”为50时，点A的坐标为（ ）
A．（4，0）B．（5，0）C．（6，0）D．（8，0）
【答案】C 【分析】根据题意设，通过“点积值”的定义求出点B坐标，根据平行四边形的性质结合“点积值”求出点C的坐标，即可求解点A的坐标． 【解答】解：∵点B在直线上，
∴设，
∵点B的“点积值”为50，
∴，解得：x=±10，
∴B（10，5）或B（-10，-5），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC，
∴设C（c,5）或C（c,-5），
∵点C的“点积值”为20，
∴5c=20或-5c=20，解得：c=±4，
∴BC=OA=6，
∵点A在x轴正半轴上，
∴A（6，0）．
故选：C． 【知识点3】作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【题型1】位似图形的性质
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形
B.两位似图形的面积之比等于位似比
C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D.位似图形的周长之比等于位似比的平方
【答案】C
【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大或缩小后的图形，∴A错误．
∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，
∴B，D错误，正确的是C．
故选：C．
【举一反三1】如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A.3 B.4 C.9 D.16
【答案】C
【解析】
解：∵与位似， ∴与相似，
∵， ∴，
又∵的面积为1， ∴．
故选：C．
【举一反三2】如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（ ）
A.6 B.8 C.18 D.20
【答案】A
【解析】
解：与是位似图形，位似比为，
， 即， ．
故选：A
【举一反三3】如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有 对．
【答案】6
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∴△ABF∽△CEB，△ABC≌△CDA，
∴此图中共有6对相似三角形．
【举一反三4】如图，DC∥AB，OA＝2OC，则△OCD与△OAB的位似比是 ．
【答案】1：2
【解析】∵DC∥AB，∴△OAB∽△OCD，
∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，
∴△OCD与△OAB的位似，
∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA＝1：2．
【举一反三5】如图，△ABC与△ADE是位似图形，试说明DE与BC是否平行．
【答案】
解：BC∥DE．
理由：∵△ABC与△ADE是位似图形，
∴△ABC∽△ADE， ∴∠C=∠AED， ∴BC∥DE．
【题型2】坐标系中的位似变换
【典型例题】在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵△ABC与△A′B′C′的相似比为，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为，
∵位似中心为原点0，
∴A′（2×，3×）或A′（﹣2×，﹣3×），
即A′（3，）或A′（﹣3，﹣）．
故选：C．
【举一反三1】如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：1，则点C′的坐标为（ ）
A.（0，0） B.（0，1） C.（1，﹣1） D.（1，0）
【答案】D
【解析】如图所示：△A′BC′与△ABC位似，相似比为2：1，
点C′的坐标为：（1，0）．
故选：D．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C.或 D.或
【答案】C
【解析】
解：∵以原点为位似中心，把缩小为原来的，点的对应点，
∴或，
∴对应点的坐标是或，
故选：．
【举一反三3】如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为,C,D两点的坐标分别为．若线段和线段是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【解析】
解：连接交于E,则点E为位似中心,
,
∵, , ∴,
∵线段和是位似图形, ∴, ∴,
∴,即, ∴, ∴,
∴位似中心点E的坐标为,
故答案为：．
【举一反三4】如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是 ．
【答案】（﹣2，）
【解析】由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，
又∵B（3，﹣2）
∴B′的坐标是[3×，﹣2×]，即B′的坐标是（﹣2，）．
【举一反三5】已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形．
(1)写出点的坐标__________；
(2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为2∶1．
【答案】
解：（1）如图所示：
点的坐标；
（2）如图所示：
即为所求．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A（，3），则A′的坐标为 ；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 ；
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m的代数式表示）
【答案】解：（1）①∵点B（3，1），B′（6，2），
∴位似比为2，
∴若点A（，3），则A′的坐标（5，6）；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
故答案为（5，6），1：2；
（2）∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2，
∴＝，
而△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积＝4m．
【题型3】坐标系中的位似作图
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：画出图形，如图所示：
故选D．
【举一反三1】如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：连接，，，并延长如图所示，
，
∴的位似图形是，
故选：C．
【举一反三2】如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比( )
A.形状不变，图形缩小为原来的一半 B.形状不变，图形放大为原来的2倍 C.整个图形被横向压缩为原来的一半 D.整个图形被纵向压缩为原来的一半
【答案】D
【解析】
解：∵一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，
∴整个图形被纵向压缩为原来的一半
故选D．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为（1，3），（2，5）．若△ABC和△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 ．
【答案】
（3，4）或（0，4）
【解析】
解：如图，由题意知已知线段与线段AC是对应线段，所以点A和点C的对应点都有两个，对应点的连线交于一点，这一交点即为位似中心，连接位似中心与点B得到直线，由线段AC与已知线段的长度之比为2︰1，知相似比为2︰1．在连线上找到相似比为2︰1的点，从而确定第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．
【举一反三4】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ．
【答案】
（-2,0）或（2,0）
【解析】
解：由位似比为求得：A( 2，4)，B( 4，0)对应点坐标分别为
A′( 1，2)，B′( 2，0)， 或者A′′(1， 2)，B′′(2，0)，
O点是位似中心，所以位置不变，
所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形,
∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）.
【举一反三5】在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示．
(1)将绕点O顺时针旋转得到，作出，并写出点的坐标 ．
(2)将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比．
【答案】
解：（1）如图，即为所求做的三角形；
∴
（2）由题意得：，
如图，即为所要求做的三角形．
与位似，位似中心为原点，相似比为
【举一反三6】如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)以原点为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为2：1；
(2)点的坐标是___________，的面积是____________．
【答案】
解：（1）如图，即为所求作；
（2）点的坐标是， 的面积是，
故答案为：，4．
