28.1锐角三角函数
【题型1】同底数幂的乘法 4
【题型2】幂的乘方与积的乘方 5
【题型3】幂的混合运算 7
【题型4】幂的大小比较 9
【题型5】幂的运算的实际应用 11
【知识点1】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边除以斜边=．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA=∠A的邻边除以斜边=．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 1.（2025 易门县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则tanB的值为（ ） A．B．C．D．
2.（2025 哈尔滨模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=3，则BC的长为（ ） A．3sin35°B．C．3cos35°D．3tan35°
【知识点2】锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 1.（2024秋 怀宁县期末）比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（ ） A．cos10° B．cos20°C．cos30°D．cos40°
2.（2024秋 射洪市期末）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ） A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【知识点3】同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A=1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA cosA． 1.（2024春 巴东县期中）x为锐角，，则cosx的值为（ ） A．B．C．D．
【知识点4】互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA． 1.（2023秋 九台区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（ ） A．B．C．2D．
【知识点5】特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 1.（2024秋 仁寿县校级期末）在△ABC中，∠B、∠C都是锐角，且，则∠A的度数为（ ） A．120°B．100°C．90°D．60°
【知识点6】计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα=0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 1.（2024 烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（ ） A．B．C．D．
2.（2024秋 雁塔区校级期中）用计算器求sin15°、sin25°、sin35°、sin45°、sin55°、sin65°、sin75°、sin85°的值，研究sinα的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若，则（ ） A．30°＜α＜60°B．30°＜α＜90°C．0°＜α＜60°D．60°＜α＜90°
【题型1】直接由定义求正弦值
【典型例题】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinB的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF＝3∶2，则sin∠BAC：sin∠ACB等于( )
A.3∶2 B.2∶3 C.9∶4 D.4∶9
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB＝__________.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB＝5，AC＝4，那么sin∠ADC1的值是__________．
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于点D，求sin∠BCD.
【题型2】利用勾股定理求正弦值
【典型例题】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，
则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝，BC＝2，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.2
【举一反三2】如图，在边长为5的菱形中，对角线，点O为菱形的中心，作，垂足为E，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】直角三角形ABC的面积为24 cm2，直角边AB为6 cm，∠A是锐角，则sinA＝______.
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC∶AC＝5∶12，求sinA的值．
【题型3】在正方形网格中求正弦值
【典型例题】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为( )
A. B. C. D.不能确定
【举一反三2】如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为 ．
【举一反三4】多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角．
[基础掌握]在中，，，．求的面积；
[灵活运用]在中，，，．求的面积；
[迁移提升]如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值．
【题型4】平面直角坐标系中求正弦值
【典型例题】如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于
点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】正比例函数y=kx的图象经过点（3，2），则它与x轴所夹锐角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，的内心在y轴上，点C的坐标为，，直线的表达式为，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】在平面直角坐标系中，过点P(0，2)作直线（b为常数且b<2）的垂线，垂足为点，则sin∠OPQ= ．
【举一反三4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与坐标轴交于C，D两点，连接OB．
(1)求反比例函数的表达式，
(2)连接OA，求的值．
【题型5】根据正弦值确定角的大小
【典型例题】已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是( )
A.60°＜α＜90° B.30°＜α＜90° C.0°＜α＜60° D.0°＜α＜30°
【举一反三2】若锐角α的正弦值为0.58，则( )
A.α＝30° B.α＝45° C.30°＜α＜45° D.45°＜α＜30°
【举一反三3】若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°
【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是________．
【举一反三5】已知，则锐角α的度数是 ．
【举一反三6】已知锐角α满足sin(α＋20°)＝1，则锐角α的度数为
【题型6】正弦值的变化情况
【典型例题】把的三条边的长度都扩大为原来的4倍，则锐角的正弦值（ ）
A.不变 B.扩大为原来的4倍 C.缩小为原来 D.无法确实
【举一反三1】已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是( )
A.0＜n＜ B.0＜n＜ C.0＜n＜ D.0＜n＜
【举一反三2】已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是__________．
【举一反三3】比较大小：sin52°________sin46°.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由．
【题型7】直接由定义求余弦值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝4，BC＝2，则cosB等于( )
A. B. C. D.1
【举一反三1】在中，，，那么的值等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】在Rt△ABC中，，若，，则cosA的值为
A. B. C. D.
【举一反三4】已知在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】在中，，，，那么 ．
【举一反三6】在中，，若，则的值为 ．
【举一反三7】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.若AB＝2，则cosB＝ ，BC＝ ．
【举一反三8】中，∠B=90°，，则 ．
【题型8】利用勾股定理求余弦值
【典型例题】在中，．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.3
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosA的值为（ ）．
A. B. C. D.
【举一反三2】在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，则cosA＝________.
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．
【举一反三4】已知：如图，在中，求的值．
【题型9】在正方形网格中求余弦值
【典型例题】如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，、、三点在正方形网格的格点上，若将绕点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为( )
A.2 B. C. D.
【举一反三3】如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC＝________.
【举一反三4】请按下列要求画图并填空：
（1）平移线段使点平移到点，画出平移后所得的线段；
（2）将线段绕点逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段，并直接写出
的值为 ．
【举一反三5】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出将线段AB沿着直线AC翻折后的对应线段AD；
(2)在图中画出将线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段AE；
(3)连接DE，则cos∠ADE＝ ．
【题型10】平面直角坐标系中求余弦值
【典型例题】如图，菱形边在x轴的正半轴上，且点B的纵坐标为4，点P从点O开始向点A运动，至点A停止，过P点与x轴垂直的直线与菱形另一边交点为M，记，的面积为S，且S与x的函数关系图象如右图，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，点B(0，－4)，则cos∠OAB的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .
【举一反三4】如图，平面直角坐标系中正方形，已知，，则 ．
【举一反三5】如图，点在反比例函数的图象上，点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若过A、B的直线与x轴交于点C，求的值．
【题型11】根据余弦值确定角的大小
【典型例题】若锐角满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】当锐角A的cosA＞时，∠A的值为( )
A.小于45° B.小于30° C.大于45° D.大于30°
【举一反三3】当锐角的时，的值为（ ）
A.小于 B.小于 C.大于 D.大于
【举一反三4】若∠A＝41°，则cosA的大致范围是( )
A.0＜cosA＜ B.＜cosA＜ C.＜cosA＜ D.＜cosA＜1
【举一反三5】已知锐角A与锐角B的余弦值满足cosA＜cosB，则∠A与∠B的大小关系是________．
【举一反三6】已知a为锐角，且则 ．
【举一反三7】若锐角x满足，则x为 ．
【题型12】余弦值的变化情况
【典型例题】在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角余弦值的变化情况是（ ）
A.缩小为原来的 B.扩大为原来的2倍 C.没有变化 D.不能确定
【举一反三1】随着锐角α的增大，cosα的值( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【举一反三2】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（ ）
A.cos10° B.cos20° C.cos30° D.cos40°
【举一反三4】用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ
若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ．
【举一反三5】cos30°________ cos40°(填大小关系)
【举一反三6】若α为锐角，且cosα＝，则m的取值范围是________．
【举一反三7】 （填写＜或＞或＝）
【题型13】直接由定义求正切值
【典型例题】如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在正方形中，是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，那么的正切值是（ ）
A.2 B. C.3 D.
【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为 .
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，，过A作于点D，若．
则tanC的值为 ．
【举一反三4】在中，，，，求，和的值．
【举一反三5】如图，在中，．
(1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，，求的值．
【题型14】利用勾股定理求正切值
【典型例题】在中，是的中线，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在正方体中，的正切值为（ ）
A. B. C.1 D.
【举一反三2】如图，已知正方形的边长为2，如果将线段绕点B旋转后，点D落在的延长线上的点处，那么等于 ．
【举一反三3】用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，
求：的值．
【举一反三4】如图，锐角△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为27cm2.求tan B的值．
【题型15】在正方形网格中求正切值
【典型例题】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（ ）．
A. B.3 C. D.2
【举一反三2】如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都这些小正方形的顶点上，则的值是 ．
【举一反三3】如图，点A、B、C、D在网格中的格点上，与相交于点O，小正方形的边长为1，则等于 ．
【举一反三4】如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺，在给定的方格中按要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中的上作点，使得，
(2)在图2中的上作点，使得．
【举一反三5】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中确定点C，点C在小正方形的顶点上，请你连接CA，CB，BC＝4；
（2）在（1）确定点C后，在网格内确定点D，点D在小正方形的顶点上，请你连接CD，BD，CD∥AB，△CDB的面积为6，直接写出∠CBD的正切值．
【题型16】平面直角坐标系中求正切值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点B(0，－4)，则tan∠OAB的值为( )
A.- B. C. D.-
【举一反三2】如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为（，1），则tanβ等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，已知点A（2，n），B（6，m）是双曲线y＝上的两点，分别过点A，B 作x 轴，y 轴的垂线交于点C，OC 的延长线与AB交于点M，则tan∠MCB＝ ．
【举一反三4】如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于
点，交轴于点，
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求的值．
【举一反三5】如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．
【题型17】根据正切值确定角的大小
【典型例题】已知锐角满足， 则锐用的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知，则锐角α的度数是（ ）
A.60° B.45° C.30° D.75°
【举一反三3】如果∠A是锐角，且，那么（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．
【举一反三6】若∠B为锐角，且tan B＜tan 65°，则∠B________65°(填“＜”或“＞”)．
【举一反三7】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．
【举一反三8】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________．
【题型18】正切值的变化情况
【典型例题】若把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角∠A的正切值( )
A.扩大为原来的5倍 B.不变 C.缩小为原来的5倍 D.不能确定
【举一反三1】在中，各边都扩大3倍，则的正切值（ ）
A.扩大3倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.不能确定
【举一反三2】三角函数之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】 （填“或”）．
【举一反三4】（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（2））利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
，，，．
【题型19】锐角三角函数的定义
【典型例题】在中，，、、所对的边分别是a、b、c．
则下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，则下列结论正确的是( )
A.sinA＝ B.tan A＝ C.cosA＝ D.sinB＝
【举一反三2】如图表示了△ABC在正方形网格纸中的位置，则sinα－cosα的值是( )
A.- B. C. D.1
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin A＝ ，cos A＝ ，
tan A＝ ．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C=，，则的值为 ．
【举一反三5】在中，，分别是，，的对边．
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
【举一反三6】已知，如图Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求sinA和tan A.
【题型20】锐角三角函数值的变化情况
【典型例题】下列三角函数值最大的是( )
A.tan46° B.sin50° C.cos50° D.sin40°
【举一反三1】如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ.正确的结论为( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【举一反三2】下列不等式不成立的是( )
A.sin20°＜sin40°＜sin70°
B.cos20°＜cos40°＜cos70°
C.tan 20°＜tan 40°＜tan70°
D.sin30°＜cos45°＜tan60°
【举一反三3】比较大小： ．
【举一反三4】比较大小： ．
【举一反三5】如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
(1)若，，，试比较、的大小；
(2)若，，，都是锐角，且．
试判断、的大小，并给出证明．
【题型21】求特殊角的三角函数值
【典型例题】的值等于（ ）
A. B. C.1 D.3
【举一反三1】在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（ ）
A. B. C.1 D.
【举一反三2】 .
【举一反三3】2sin45°+tan60°= ．
【举一反三4】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．
（1）求sin120°，cos150°的值；
（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
【举一反三5】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝
(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；
(2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值．
【题型22】由特殊角的三角函数值求角的度数
【典型例题】已知锐角α满足tan（α+20°）=1，则锐角α的度数为（ ）
A.10° B.25° C.40° D.45°
【举一反三1】在中，，，，则为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】 已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若2cosβ－1＝0，则锐角β的度数为____________．
【举一反三4】在中，若与互为相反数，则 .
【举一反三5】求满足下列各式的锐角：
(1)；
(2)．
【举一反三6】在中，，为锐角且，．
(1)求的度数．
(2)求的长．
(3)求的面积．
【题型23】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数
【典型例题】在中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ）
A.45° B.75° C.90° D.105°
【举一反三1】已知有公式：且，
则锐角θ的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在锐角三角形ABC中，若，则∠C等于（ ）
A.60° B.45° C.75° D.105°
【举一反三3】在△ABC中，若=0，且∠B，∠C都是锐角，
则∠A的度数是（ ）
A.15° B.60° C.75° D.30°
【举一反三4】在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，那么∠C的度 数为（ ）
A.75° B.90° C.105° D.120°
【举一反三5】若，则的角度数为 ．
【举一反三6】（1）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝ ；
（2）已知α为锐角，且cos（90°﹣α）＝，则a＝ ；
（3）若tan（α+10°）＝1，则锐角a＝ ．
【举一反三7】在△ABC中，(tan A-)2＋|－cosB|＝0，则∠C的度数为__________．
【题型24】先求三角函数值再求角的度数
【典型例题】等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.120°
【举一反三1】⊙O的半径为4cm，点P和圆心的距离为8cm，则过P点的⊙O的两条切线的夹角是（ ）
A.30° B.60° C.90° D.120°
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）
A.15° B.45° C.30° D.60°
【举一反三3】在中, , ,则等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）
A.15° B.45° C.30° D.60°
【举一反三5】已知在Rt△ABC中，，，则∠B＝ ．
【举一反三6】在直角△ABC中，∠C＝90°，如果b∶a＝3∶，那么∠A＝____________.
【举一反三7】已知在Rt△ABC中，，，则∠B＝ ．
【举一反三8】在△ABC中，∠C＝90°，c＝2，b＝，则∠A＝__________.
【题型25】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典型例题】在中，(2sinA-1)2+=0，则是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.无法确定
【举一反三1】在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝，那么△ABC的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定
【举一反三2】在中，若、满足，
则为 三角形．
【举一反三3】在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cosB恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
【题型26】已知三角函数值求另一个三角函数值
【典型例题】在中，，，则（ ）
A. B. C. D..
【举一反三1】已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】若∠A＋∠B＝90°，且cosB＝，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】已知在中，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知，是锐角，则 .
【举一反三5】在中，，若，则 ．
【举一反三6】 已知是锐角，则 ．
【举一反三7】已知是锐角，且，则 ．
【题型27】特殊角的三角函数值的运算
【典型例题】的值等于
A. B. C. D.1
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA＋cosB的值等于( )
A.1 B. C. D.
【举一反三2】一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα cosβ+cosα sinβ；sin（α﹣β）＝sinα cosβ﹣cosα sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60° cos30°+cos60° sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】计算： ．
【举一反三4】计算：2sin45°＋6tan 30°－2cos30°.
【题型28】用计算器求锐角三角函数值
【典型例题】利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】利用科学计算器计算sin 50°，下列按键顺序正确的是（ ）
A. 2 sin 5 0 = B.2 sin 5 0 = C. 2 5 0 sin = D.2 5 0 sin =
【举一反三2】 (结果保留四个有效数字)．
【举一反三3】使用计算器求下列三角函数值(精确到0.000 1)：
(1)sin71°24′
(2)cos54°21′18″
(3)tan 21°17′23″.
【举一反三4】用计算器求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【题型29】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数
【典型例题】已知，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】如果，那么锐角的度数大约为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知sinα＝0.5，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键( )
A.AC10N B.SHIET C.MODE D.SHIFT
【举一反三3】利用计算器求值：若tanα＝0.5758，则锐角α≈__________.(精确到1′)
【举一反三4】已知tan α＝1.369 0，用计算器求锐角α的值，正确的按键顺序是________．
【举一反三5】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：
（1），；
（2），；
（3），．
【举一反三6】根据条件求锐角：
（1），求；
（2），求；
（3），求．
【题型30】同角三角函数的关系
【典型例题】若α为锐角，且，则为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】已知：则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】化简：若是锐角，那么 .
【举一反三4】化简求值：，其中tanα＝2.
【举一反三5】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求sinA，cosA的值．
【题型31】互余两角的三角函数关系
【典型例题】下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若cos(36°－A)＝，则sin(54°＋A)的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】填空：
sin15°=cos ≈ （精确到0.0001）；
cos63°=sin ≈ （精确到0.0001）；
sin（90°－α）= ， cos（90°－α）= （α为锐角）．
【举一反三3】若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值．
【举一反三4】嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．28.1锐角三角函数
【题型1】直接由定义求正弦值 7
【题型2】利用勾股定理求正弦值 9
【题型3】在正方形网格中求正弦值 11
【题型4】平面直角坐标系中求正弦值 14
【题型5】根据正弦值确定角的大小 17
【题型6】正弦值的变化情况 18
【题型7】直接由定义求余弦值 19
【题型8】利用勾股定理求余弦值 22
【题型9】在正方形网格中求余弦值 23
【题型10】平面直角坐标系中求余弦值 27
【题型11】根据余弦值确定角的大小 30
【题型12】余弦值的变化情况 32
【题型13】直接由定义求正切值 34
【题型14】利用勾股定理求正切值 36
【题型15】在正方形网格中求正切值 39
【题型16】平面直角坐标系中求正切值 42
【题型17】根据正切值确定角的大小 45
【题型18】正切值的变化情况 47
【题型19】锐角三角函数的定义 48
【题型20】锐角三角函数值的变化情况 51
【题型21】求特殊角的三角函数值 53
【题型22】由特殊角的三角函数值求角的度数 55
【题型23】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数 56
【题型24】先求三角函数值再求角的度数 59
【题型25】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 61
【题型26】已知三角函数值求另一个三角函数值 63
【题型27】特殊角的三角函数值的运算 65
【题型28】用计算器求锐角三角函数值 66
【题型29】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数 67
【题型30】同角三角函数的关系 69
【题型31】互余两角的三角函数关系 71
【知识点1】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边除以斜边=．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA=∠A的邻边除以斜边=．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 1.（2025 易门县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则tanB的值为（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】根据勾股定理可得BC的长，再根据正切的定义即可得答案． 【解答】解：由勾股定理，得BC==4，
∴tanB==．
故选：C． 2.（2025 哈尔滨模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=3，则BC的长为（ ） A．3sin35°B．C．3cos35°D．3tan35°
【答案】C 【分析】根据余弦定义可得cosB=，再代入AB=3，可得答案． 【解答】解：∵cos35°==，
∴BC=3cos35°，
故选：C． 【知识点2】锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 1.（2024秋 怀宁县期末）比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（ ） A．cos10° B．cos20°C．cos30°D．cos40°
【答案】A 【分析】直接利用锐角三角函数增减性得出答案． 【解答】解：∵锐角的余弦值随角度增大值越小，
∴cos10°＞cos20°＞cos30°＞cos40°．
故选：A． 2.（2024秋 射洪市期末）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ） A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【答案】C 【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小． 【解答】解：sin58°=cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C． 【知识点3】同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A=1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA cosA． 1.（2024春 巴东县期中）x为锐角，，则cosx的值为（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系：sin2x+cos2x=1解答即可． 【解答】解：∵sin2x+cos2x=1，，
∴cosx===．
故选：B． 【知识点4】互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA． 1.（2023秋 九台区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（ ） A．B．C．2D．
【答案】C 【分析】利用sinB=，分别表示出AB，BC，AC的长，再利用锐角三角函数关系得出tanA的值． 【解答】解：∵∠C=90°，sinB=，
∴设AC=x,AB=3x,则BC=2x,
则tanA===2．
故选：C． 【知识点5】特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 1.（2024秋 仁寿县校级期末）在△ABC中，∠B、∠C都是锐角，且，则∠A的度数为（ ） A．120°B．100°C．90°D．60°
【答案】D 【分析】由题意得，，即，由∠B、∠C都是锐角，可得∠B=∠C=60°，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：由题意得，，
解得，
∵∠B、∠C都是锐角，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=60°，
故选：D． 【知识点6】计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα=0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 1.（2024 烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R-CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M-为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是．
故选：C． 2.（2024秋 雁塔区校级期中）用计算器求sin15°、sin25°、sin35°、sin45°、sin55°、sin65°、sin75°、sin85°的值，研究sinα的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若，则（ ） A．30°＜α＜60°B．30°＜α＜90°C．0°＜α＜60°D．60°＜α＜90°
【答案】A 【分析】先求出个锐角的正弦值，得出sinα的值随锐角α的增大而增大，继而由可得答案． 【解答】解：∵sin15°≈0.2588、sin25°≈0.4226、sin35°≈0.5736、sin45°≈0.7071、sin55°≈0.8192、sin65°≈0.9063、sin75°≈0.9659、sin85°≈0.9962，
∴sinα的值随锐角α的增大而增大，
∵，
∴30°＜α＜60°，
故选：A．
【题型1】直接由定义求正弦值
【典型例题】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinB的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴sinB＝＝.故选A.
【举一反三1】AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF＝3∶2，则sin∠BAC：sin∠ACB等于( )
A.3∶2 B.2∶3 C.9∶4 D.4∶9
【答案】B
【解析】如图所示：∵sin∠BAC＝，sin∠ACB＝，AE∶CF＝3∶2，∴sin∠BAC∶sin∠ACB＝∶＝CF∶AE＝2∶3.故选B.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB＝__________.
【答案】
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB＝5，AC＝4，那么sin∠ADC1的值是__________．
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，∵将△BCD沿着直线BD折叠，∴C1点恰好在斜边AB上，∴∠DC1A＝90°，∴∠ADC1＝∠ABC，∵AB＝5，AC＝4，∴sin∠ADC1＝.故答案为.
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于点D，求sin∠BCD.
【答案】解 ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin∠BCD＝sinA＝＝.
【题型2】利用勾股定理求正弦值
【典型例题】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，
则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设宽为，
∵宽与长的比是， ∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在△ADE和中，
， ∴，
∴， ∴，
设，
在中，， 变形得：，
，，
∴，
故选A．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝，BC＝2，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】解：∵AB＝，BC＝2，
∴AC=， ∴sinB=．
故选A．
【举一反三2】如图，在边长为5的菱形中，对角线，点O为菱形的中心，作，垂足为E，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵四边形是菱形，边长为5，，
在中，由勾股定理得：，
∵， ∴， ∴，
∵， ∴，
故选：C．
【举一反三3】直角三角形ABC的面积为24 cm2，直角边AB为6 cm，∠A是锐角，则sinA＝______.
【答案】
【解析】直角三角形ABC直角边AB为6cm，∠A是锐角，则另一直角边是BC，∠B是直角．由直角三角形ABC的面积为24 cm2得到AB·BC＝24，因而BC＝8；根据勾股定理得到斜边AC＝10，则sinA＝＝＝.
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC∶AC＝5∶12，求sinA的值．
【答案】解 ∵BC∶AC＝5∶12，∴可设BC＝5k，则AC＝12k.∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB＝＝13k，∴sinA＝＝＝.
【题型3】在正方形网格中求正弦值
【典型例题】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由勾股定理，得AC＝＝＝5，sinA＝＝，故选B.
【举一反三1】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为( )
A. B. C. D.不能确定
【答案】B
【解析】如图，连接AC，根据勾股定理可以得到AC＝AB＝，BC＝2.∵()2＋()2＝(2)2.∴AC2＋AB2＝BC2.∴△CAB是等腰直角三角形．∴∠ABC的正弦值为=.故选B.
【举一反三2】如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，设每个小长方形长为2，宽为1，由图形知：AB＝＝5，AC＝＝，过C作CD⊥AB于D，∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AE，∴CD＝，∴sin∠BAC＝＝÷＝，故选A.
【举一反三3】如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为 ．
【答案】
/
【解析】
解：如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，
∵CF∥AB， ∴∠C==∠AEC=，
设小正方形的边长为1，
根据勾股定理可得，，，,
∴，DF=CF， ∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠C=45°， ∴，
∴夹角的正弦值为， 故答案为：．
【举一反三4】多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角．
[基础掌握]在中，，，．求的面积；
[灵活运用]在中，，，．求的面积；
[迁移提升]如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值．
【答案】
解：（1）如图所示，
过点作于点，
∵，，
∴,
∵． ∴的面积为；
（2）如图所示，过点作于点，
∴，
∴，，
∴,
∴的面积为；
（3）∵，
, ,
又∵,
∴．
【题型4】平面直角坐标系中求正弦值
【典型例题】如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于
点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如下图所示，连接BC，
∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根据勾股定理可得：，
又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故选：A．
【举一反三1】正比例函数y=kx的图象经过点（3，2），则它与x轴所夹锐角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意得，点（3，2）到原点的距离，
∴sinα=，
故选B．
【举一反三2】如图，的内心在y轴上，点C的坐标为，，直线的表达式为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据三角形内心的特点知，
已知点、点的坐标，
，，
的内心在轴上，则平分，
可知为直角三角形，，
点在直线上，设点坐标为，
则，，
在中，，则，
解得：，
，．
故选D．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，过点P(0，2)作直线（b为常数且b<2）的垂线，垂足为点，则sin∠OPQ= ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴
由，令，， 令，
在中，
sin∠OPQ
故答案为：
【举一反三4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与坐标轴交于C，D两点，连接OB．
(1)求反比例函数的表达式，
(2)连接OA，求的值．
【答案】解：（1）将代入中，得，
将代入中，则．
∴反比例函数的表达式为．
（2）如图，过点A作于点F，过点O作于点E，
由勾股定理，得，
由一次函数，得点C坐标为，点D坐标为，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【题型5】根据正弦值确定角的大小
【典型例题】已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：当时，，
∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大，
∴；
故选A．
【举一反三1】已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是( )
A.60°＜α＜90° B.30°＜α＜90° C.0°＜α＜60° D.0°＜α＜30°
【答案】D
【解析】由sinα＝0.5，得α＝30°，由锐角的正弦值随锐角的增大而增大，得0°＜α＜30°，故选D.
【举一反三2】若锐角α的正弦值为0.58，则( )
A.α＝30° B.α＝45° C.30°＜α＜45° D.45°＜α＜30°
【答案】C
【解析】∵锐角的正弦值随锐角的增大而增大，且＜sin α＝0.58＜，∴30°＜α＜45°，故选C.
【举一反三3】若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°
【答案】A
【解析】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是________．
【答案】0°＜∠A＜45°
【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵sinA＜，∴0°＜∠A＜45°.
【举一反三5】已知，则锐角α的度数是 ．
【答案】50°
【解析】解：∵，
∴，
∴锐角α的度数是，
故答案为：．
【举一反三6】已知锐角α满足sin(α＋20°)＝1，则锐角α的度数为
【答案】25°/25度
【解析】解：∵sin(α+20°)=1，
∴sin(α+20°)=，
∴α+20°=45°，
∴α=25°，
故答案为：25°．
【题型6】正弦值的变化情况
【典型例题】把的三条边的长度都扩大为原来的4倍，则锐角的正弦值（ ）
A.不变 B.扩大为原来的4倍 C.缩小为原来 D.无法确实
【答案】A
【解析】解：设△ABC中，锐角A所对的直角边为a，斜边为c，
则，
当三边长度扩大为原来的4倍时，
∴锐角的正弦值不变
故选A．
【举一反三1】已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是( )
A.0＜n＜ B.0＜n＜ C.0＜n＜ D.0＜n＜
【答案】A
【解析】根据题意，知0°＜∠B＜45°.又sin45°＝，∴0＜n＜.故选A.
【举一反三2】已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是__________．
【答案】＜m＜
【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin0°＜sinθ＜sin30°，即0＜km＋＜，∴-＜km＜，∴＜m＜.
【举一反三3】比较大小：sin52°________sin46°.
【答案】＞
【解析】∵52°＞46°，∴sin52°＞sin 46°.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由．
【答案】解 在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是随之确定，理由是：sinA＝，∠A确定，∠A对边与斜边的比值是不变的．
【题型7】直接由定义求余弦值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝4，BC＝2，则cosB等于( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴cosB＝＝＝.故选A.
【举一反三1】在中，，，那么的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如图，
在中，，
∵， ∴．
故选：A
【举一反三2】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】cosB＝＝.故选A.
【举一反三3】在Rt△ABC中，，若，，则cosA的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∵
∴cosA==.
故选A
【举一反三4】已知在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵
∴，
故选：A．
【举一反三5】在中，，，，那么 ．
【答案】
【解析】解：如图，，，，
，
故答案为．
【举一反三6】在中，，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵中，，
∴， ∴，
∴，
故答案为：；
【举一反三7】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.若AB＝2，则cosB＝ ，BC＝ ．
【答案】
【解析】解：如图所示：
∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30o， ∴cosB=,
又∵cosB=, ∴BC=.
故答案是：,.
【举一反三8】中，∠B=90°，，则 ．
【答案】0
【解析】解：∵∠B=90°， ∴，
故答案为：0．
【题型8】利用勾股定理求余弦值
【典型例题】在中，．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.3
【答案】C
【解析】解：如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，
由勾股定理可知，则．
故选：C．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosA的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，
∴cosA=
故选A.
【举一反三2】在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，则cosA＝________.
【答案】
【解析】∵52＋122＝132，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，∴cosA＝＝.
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．
【答案】解 ∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，∴MN＝＝，∴cosB＝cos∠AMN＝＝.
【举一反三4】已知：如图，在中，求的值．
【答案】解：在中，
∴，
∴．
【题型9】在正方形网格中求余弦值
【典型例题】如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：连接，如下图：
由题意可得：，
由勾股定理可得：，，
故选：D
【举一反三1】如图，、、三点在正方形网格的格点上，若将绕点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：依题意，
∵， ∴，
∴，
故选：C．
【举一反三2】如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为( )
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，作AC⊥OB于点C，设每个小正方形边长为1，则AC＝2，OC＝1，由勾股定理得AO＝5，则cos∠AOB＝＝＝.故选D.
【举一反三3】如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC＝________.
【答案】
【解析】设每个小正方形边长为1，作AD⊥CB的延长线于点D，在格点三角形ADC中，AD＝2，CD＝4，∴AC＝＝＝2，∴cosC＝＝＝，故答案为.
【举一反三4】请按下列要求画图并填空：
（1）平移线段使点平移到点，画出平移后所得的线段；
（2）将线段绕点逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段，并直接写出
的值为 ．
【答案】解：（1）如图，CD为所求作线段．
（2）如图 ，BE为所求作线段．
过点B作BF⊥CE于F．
在Rt△BCE中，
∵CF=1，BF=4， ∴CB=
∴cos∠BCF=
∴cos∠BCE=
故答案为：
【举一反三5】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出将线段AB沿着直线AC翻折后的对应线段AD；
(2)在图中画出将线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段AE；
(3)连接DE，则cos∠ADE＝ ．
【答案】解：（1）如图，线段AD即为所求．
（2）如图，线段AE即为所求．
（3）如图，过点A作AT⊥DE于T．
∵AE＝AD， ∴DT＝ET＝，
∵AD＝，
．
故答案为：．
【题型10】平面直角坐标系中求余弦值
【典型例题】如图，菱形边在x轴的正半轴上，且点B的纵坐标为4，点P从点O开始向点A运动，至点A停止，过P点与x轴垂直的直线与菱形另一边交点为M，记，的面积为S，且S与x的函数关系图象如右图，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：作于点D，作于点E，
根据题意得，，，，，
∴，，
在中，，，，
∴， 解得， 即，，
∴，
故选：A．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：过作交延长线于，
，，， ，
，，，
，
故选：．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，点B(0，－4)，则cos∠OAB的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意得Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4.由勾股定理可得AB＝5.∴cos∠OAB＝＝.故选B.
【举一反三3】如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .
【答案】
【解析】解：连接CA并延长到圆上一点D，
∵CD为直径， ∴∠COD=∠yOx=90°，即x轴交⊙A于点D，
∵直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），
∴CD=10，CO=5， ∴DO=，
∵∠B=∠CDO， ∴∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值，
∴cos∠OBC=cos∠CDO=．
故答案为
【举一反三4】如图，平面直角坐标系中正方形，已知，，则 ．
【答案】/
【解析】解：如图，的延长线于，则轴，
∵正方形， ∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴， ∴， ∴，
∴，
∵轴，
∴，
故答案为：．
【举一反三5】如图，点在反比例函数的图象上，点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若过A、B的直线与x轴交于点C，求的值．
【答案】解：（1）∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，
因此反比例函数的解析式为：；
（2）设过A，B的直线解析式为，
则， 解得 ， 故直线的解析式为，
当时，， 解得， 即，
于是，
在中，，
∴．
【题型11】根据余弦值确定角的大小
【典型例题】若锐角满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：， 而，
，，
锐角的取值范围为：．
故选：B．
【举一反三1】已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，，，
又∵，余弦函数随角增大而减小，
∴， ．
故选：B．
【举一反三2】当锐角A的cosA＞时，∠A的值为( )
A.小于45° B.小于30° C.大于45° D.大于30°
【答案】A
【解析】根据cos45°＝，锐角的余弦值随角增大而减小，则∠A一定小于45°.故选A.
【举一反三3】当锐角的时，的值为（ ）
A.小于 B.小于 C.大于 D.大于
【答案】A
【解析】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．
故选：A．
【举一反三4】若∠A＝41°，则cosA的大致范围是( )
A.0＜cosA＜ B.＜cosA＜ C.＜cosA＜ D.＜cosA＜1
【答案】C
【解析】∵cos30°＝，cos45°＝，锐角的余弦值随角度的增大而减小，∴＜cosA＜.故选C.
【举一反三5】已知锐角A与锐角B的余弦值满足cosA＜cosB，则∠A与∠B的大小关系是________．
【答案】∠A＞∠B
【解析】∵锐角A与锐角B的余弦值满足cosA＜cos B，∴∠A＞∠B.故答案为∠A＞∠B.
【举一反三6】已知a为锐角，且则 ．
【答案】60°/60度
【解析】解：∵，
∴， ∴．
故答案为：．
【举一反三7】若锐角x满足，则x为 ．
【答案】/40度
【解析】解：，
， 解得：，
故答案为：．
【题型12】余弦值的变化情况
【典型例题】在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角余弦值的变化情况是（ ）
A.缩小为原来的 B.扩大为原来的2倍 C.没有变化 D.不能确定
【答案】C
【解析】
解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍，
的度数没有发生变化，
锐角的余弦值没有变化，
故选：C
【举一反三1】随着锐角α的增大，cosα的值( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【答案】B
【解析】随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选B.
【举一反三2】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：∵ 、都是锐角，且，
∴ ， ∴ ，，．
故选：
【举一反三3】比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（ ）
A.cos10° B.cos20° C.cos30° D.cos40°
【答案】A
【解析】
解：∵，
∴．
故选：A．
【举一反三4】用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ
若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ．
【答案】
β＜γ＜α
【解析】
解：∵cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，
∴cosα＜cosγ＜cosβ，
∴ β＜γ＜α．
【举一反三5】cos30°________ cos40°(填大小关系)
【答案】＞
【解析】∵锐角的余弦值随着角的增大而减小，∴cos 30°＞cos40°.
【举一反三6】若α为锐角，且cosα＝，则m的取值范围是________．
【答案】－＜m＜
【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得－＜m＜，故答案为－＜m＜.
【举一反三7】 （填写＜或＞或＝）
【答案】
＞
【解析】
解：因为余弦函数值的随角度的增大而减小，
所以，
故答案为：＞．
【题型13】直接由定义求正切值
【典型例题】如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：因为第一象限的点P的坐标是（a，b），
所以tan∠POx=．
故选B．
【举一反三1】如图，在正方形中，是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，那么的正切值是（ ）
A.2 B. C.3 D.
【答案】A
【解析】解：由折叠可得，，
正方形中，是边的中点，
， ，，
是的外角， ，
， ，
．
故选：A．
【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为 .
【答案】
【解析】解：，，
，，
， .
故答案为：.
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，，过A作于点D，若．
则tanC的值为 ．
【答案】
【解析】解：， 设，，
，，
，，
， ，，
，
故答案为：．
【举一反三4】在中，，，，求，和的值．
【答案】解： ，
所以， ，
【举一反三5】如图，在中，．
(1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，，求的值．
【答案】解：（1）如图，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，
以为圆心，为半径画圆，作于M，
由角平分线的性质可得：到的距离为圆的半径，
∴是的切线，即，
由作图可得：是的切线，
∴即为所求．
（2）由（1）得：，，，
∵，
∵，，
∴，
∴．
【题型14】利用勾股定理求正切值
【典型例题】在中，是的中线，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：在中，，，
， ，
是的中线， ，
，
故选：B．
【举一反三1】如图，在正方体中，的正切值为（ ）
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】
解：由题意得：，，
设，则，
∴，
故选：A．
【举一反三2】如图，已知正方形的边长为2，如果将线段绕点B旋转后，点D落在的延长线上的点处，那么等于 ．
【答案】
/
【解析】
解：∵正方形的边长为2， ∴，，
∴，，
∵将线段绕点B旋转后，点D落在的延长线上的点处，
∴， ∴
∴；
故答案为：．
【举一反三3】用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，
求：的值．
【答案】
解：构造，其中，，延长到，
使，连接，
则， ，
设则，，
，
，
．
【举一反三4】如图，锐角△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为27cm2.求tan B的值．
【答案】解 过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC＝27，∴×9×AH＝27，∴AH＝6，∵AB＝10，∴BH＝＝＝8，∴tanB＝＝＝.
【题型15】在正方形网格中求正切值
【典型例题】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：连接、， ∵为直径， ∴，
∵， ∴，
在中，∵，
∴，
故选：C．
【举一反三1】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（ ）．
A. B.3 C. D.2
【答案】B
【解析】
解析 设小正方形的边长为1，
由图形可知，， 是等腰直角三角形，．
， ， ， ，
．
故选B．
【举一反三2】如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都这些小正方形的顶点上，则的值是 ．
【答案】
2
【解析】
解：由题意得：AB2=8，AC2=10，BC2=2，
∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠ACB===2，
故答案为：2．
【举一反三3】如图，点A、B、C、D在网格中的格点上，与相交于点O，小正方形的边长为1，则等于 ．
【答案】
3
【解析】
解∶如下图：连接，
∵，， ∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，， ∴， ∴，
∵， ∴， ∴，
∴，
故答案为：3．
【举一反三4】如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺，在给定的方格中按要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中的上作点，使得，
(2)在图2中的上作点，使得．
【答案】
解：（1）如图，点D即为所求，
根据勾股定理得，，，，
∴，，， ∴是直角三角形，
∴；
（2）如图，点E即为所求，
根据勾股定理得，，，，
∴，，， ∴是直角三角形，
∴．
【举一反三5】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中确定点C，点C在小正方形的顶点上，请你连接CA，CB，BC＝4；
（2）在（1）确定点C后，在网格内确定点D，点D在小正方形的顶点上，请你连接CD，BD，CD∥AB，△CDB的面积为6，直接写出∠CBD的正切值．
【答案】
解：（1）BC＝4=，故BC应是4方格的对角线，作图如下；
（2）∵， ∴CD=3，
∵， ∴可确定D点位置如图所示，
∴，
∵作DH⊥BC于点H，
又∵，BC＝4 ， ∴，
∵，
∴
【题型16】平面直角坐标系中求正切值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：如图，过A作轴于点B，
∵A的坐标为， ∴，，
在中， ，
故选：D．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点B(0，－4)，则tan∠OAB的值为( )
A.- B. C. D.-
【答案】C
【解析】∵点A(3,0)，点B(0，－4)，∴OB＝4，OA＝3.∴tan∠OAB＝＝.故选C.
【举一反三2】如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为（，1），则tanβ等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：∵P（，1）， ∴tanβ＝，
故选C．
【举一反三3】如图，已知点A（2，n），B（6，m）是双曲线y＝上的两点，分别过点A，B 作x 轴，y 轴的垂线交于点C，OC 的延长线与AB交于点M，则tan∠MCB＝ ．
【答案】
/0.5
【解析】
解：如图，延长AC交x轴于点D，
把点A(2，n)，B（6，m）分别代入，得n=3，m=1，
∴点A（2，3），B（6，1），
∵分别过点A，B 作x 轴，y 轴的垂线交于点C， ∴C(2，1)， ∴CD=1，OD=2，
∵BC⊥y轴， ∴轴， ∴∠MCB=∠COD，
∴tan∠MCB=tan∠COD=
故答案为．
【举一反三4】如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于
点，交轴于点，
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求的值．
【答案】
解：（1）把，代入，得
，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）把代入得∶，
把代入得∶，
所以D点坐标为，点C的坐标为， 所以，，
所以．
【举一反三5】如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．
【答案】
解：如图，
直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=；
与y轴的交点B为（0，5），即OB=5； 则AB==；
===， ， ．
【题型17】根据正切值确定角的大小
【典型例题】已知锐角满足， 则锐用的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵， ∴， ∴，
故选：．
【举一反三1】如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，，
而， ∴，
故选：C．
【举一反三2】已知，则锐角α的度数是（ ）
A.60° B.45° C.30° D.75°
【答案】A
【解析】解：∵，为锐角， ∴， ∴，
故选：A．
【举一反三3】如果∠A是锐角，且，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵当角度在0°～90°间变化时，
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），
∵∠A是锐角，tan45°=1，tan60°=，1＜＜，
∴45°＜∠A＜60°,
故选C
【举一反三4】如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，，
而， ∴，
故选：C．
【举一反三5】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．
【答案】>
【解析】∵tanA＝0.7，tan30°＝≈0.577，∴∠A>30°,故答案为∠A>30°
【举一反三6】若∠B为锐角，且tan B＜tan 65°，则∠B________65°(填“＜”或“＞”)．
【答案】＜
【解析】∵锐角的正切值随角增大而增大，∴当tan B＜tan65°时，有∠B＜65°.
【举一反三7】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．
【答案】>
【解析】∵tanA＝0.7，tan30°＝≈0.577，∴∠A>30°,故答案为∠A>30°
【举一反三8】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________．
【答案】0°＜∠A＜60°
【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°.
【题型18】正切值的变化情况
【典型例题】若把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角∠A的正切值( )
A.扩大为原来的5倍 B.不变 C.缩小为原来的5倍 D.不能确定
【答案】B
【解析】因为Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切函数值也不变．故选B.
【举一反三1】在中，各边都扩大3倍，则的正切值（ ）
A.扩大3倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.不能确定
【答案】C
【解析】
解：由题意，得，各边都扩大3倍，则角A的正切值不变．
故选：C．
【举一反三2】三角函数之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：∵（），
∴，， ∴，
∵， ∴，
∴，
故选：A．
【举一反三3】 （填“或”）．
【答案】
【解析】
解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，
， ；
故答案为：．
【举一反三4】（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（2））利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
，，，．
【答案】
解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
∴；
．
（2），．
∵，
∴
【题型19】锐角三角函数的定义
【典型例题】在中，，、、所对的边分别是a、b、c．
则下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，
∴， 故选C．
【举一反三1】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，则下列结论正确的是( )
A.sinA＝ B.tan A＝ C.cosA＝ D.sinB＝
【答案】C
【解析】由题意得AB＝＝2，
A.sin A＝＝，故本选项错误；
B.tanA＝＝2，故本选项错误；
C.cosA＝＝，故本选项正确；
D.sin B＝＝，故本选项错误．故选C.
【举一反三2】如图表示了△ABC在正方形网格纸中的位置，则sinα－cosα的值是( )
A.- B. C. D.1
【答案】A
【解析】设每个小正方形边长为1∵AC＝3，BC＝4，∴根据勾股定理得到AB＝5，而sinα＝，cosα＝，∴sinα－cosα＝-.故本题选A.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin A＝ ，cos A＝ ，
tan A＝ ．
【答案】
【解析】略
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C=，，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：如图， 在Rt△ABC中，，
又∵， ∴， ∴设，，
则，
∴.
故答案为：
【举一反三5】在中，，分别是，，的对边．
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
【答案】解：（1）如图所示，，，
∴，
根据特殊角的三角函数可知，；
（2）如图所示，
∵，，即， ∴．
【举一反三6】已知，如图Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求sinA和tan A.
【答案】解 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝10，sinA＝＝＝，tanA＝＝＝.
【题型20】锐角三角函数值的变化情况
【典型例题】下列三角函数值最大的是( )
A.tan46° B.sin50° C.cos50° D.sin40°
【答案】A
【解析】∵tan46°＞tan 45°＞1；而任何锐角的正弦，余弦值都小于1；∴最大的是tan 46°.故选A.
【举一反三1】如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ.正确的结论为( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】A
【解析】根据图形得∠α＞∠β，∴tan α＞tanβ，sinα＞sinβ，cosα＜cosβ.∴①②正确．故选A.
【举一反三2】下列不等式不成立的是( )
A.sin20°＜sin40°＜sin70°
B.cos20°＜cos40°＜cos70°
C.tan 20°＜tan 40°＜tan70°
D.sin30°＜cos45°＜tan60°
【答案】B
【解析】A.锐角的正弦值随角的增大而增大，故A不符合题意；
B.锐角的余弦值随角的增大而减小，故B符合题意；
C.锐角的正切值随角的增大而增大，故D不符合题意；
D.sin 30°＜cos45°＜tan 60°，故D不符合题意，故选B.
【举一反三3】比较大小： ．
【答案】
【解析】
解：根据题意作图如下，
在中，，，
， ， ，
故答案为：．
【举一反三4】比较大小： ．
【答案】
<
【解析】
解：∵cos37°=sin53°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin37°＜sin53°， ∴sin37°＜cos37°，
故答案为：＜．
【举一反三5】如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
(1)若，，，试比较、的大小；
(2)若，，，都是锐角，且．
试判断、的大小，并给出证明．
【答案】
解：（1）在中，，
，
在中，， ，
又， ；
（2）由（1）得，，
， ， ．
【题型21】求特殊角的三角函数值
【典型例题】的值等于（ ）
A. B. C.1 D.3
【答案】B
【解析】解：；
故选：B．
【举一反三1】在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（ ）
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°，
∴∠C=180°-105°-45°=30°， ∴
故选：A
【举一反三2】 .
【答案】
【解析】解：原式．
故答数为：．
【举一反三3】2sin45°+tan60°= ．
【答案】
【解析】解：原式==
故答案为：
【举一反三4】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．
（1）求sin120°，cos150°的值；
（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
【答案】解：（1）由题意得：sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，
cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣；
（2）∵一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，
把代入方程得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，
经检验﹣是4x2﹣1=0的根，故m=0；
②当∠A=120°，∠B=30°时，方程的两根为，，不符合题意；
③∠A=30°，∠B=30°时，方程两根为，，
把代入得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，
经检验不是方程4x2﹣1=0的根，不符合题意，
则m=0，∠A=30°，∠B=120°．
【举一反三5】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝
(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；
(2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值．
【答案】解 (1)cos15°＝cos(45°－30°)=cos45°cos30°＋sin 45°sin30°
＝×＋×＝；
(2)tan15°＝＝÷＝2－.
【题型22】由特殊角的三角函数值求角的度数
【典型例题】已知锐角α满足tan（α+20°）=1，则锐角α的度数为（ ）
A.10° B.25° C.40° D.45°
【答案】B
【解析】解：∵tan45°=1， ∴a+20°=45°， 则a=25°．
故选B．
【举一反三1】在中，，，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，在中，，，，
由图可得：sinA=， 则∠A=60°．
故选C．
【举一反三2】 已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵， ∴， ∴，
故选：B．
【举一反三3】若2cosβ－1＝0，则锐角β的度数为____________．
【答案】60°
【解析】∵2cos β－1＝0，∴cos β＝，∵cos 60°＝，∴∠β＝60°.
【举一反三4】在中，若与互为相反数，则 .
【答案】/105度
【解析】解：由题意得：，
∴，
∴， ∴，
∴；
故答案为．
【举一反三5】求满足下列各式的锐角：
(1)；
(2)．
【答案】解：（1）， ， ；
， ， ， ．
【举一反三6】在中，，为锐角且，．
(1)求的度数．
(2)求的长．
(3)求的面积．
【答案】解：（1）∵为锐角且， ∴；
（2）过点A作于H， ∵， ∴，
∵， ∴， 在中，，
∵， ∴， 即， 解得，
∴；
（3）．
【题型23】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数
【典型例题】在中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ）
A.45° B.75° C.90° D.105°
【答案】D
【解析】解：由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：，，
即，，
都是的内角， ，
，
故选：D．
【举一反三1】已知有公式：且，
则锐角θ的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由公式：可得，
∵，即，
∴， 即， ∴，
故选：D．
【举一反三2】在锐角三角形ABC中，若，则∠C等于（ ）
A.60° B.45° C.75° D.105°
【答案】C
【解析】解：∵， ∴sinA=，cosB=
∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=75°
故选：C
【举一反三3】在△ABC中，若=0，且∠B，∠C都是锐角，
则∠A的度数是（ ）
A.15° B.60° C.75° D.30°
【答案】C
【解析】解：∵=0， ∴sinB﹣=0；﹣cosC=0．
即sinB=；cosC=． ∴∠B=45°，∠C=60°．
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．
故选：C．
【举一反三4】在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，那么∠C的度 数为（ ）
A.75° B.90° C.105° D.120°
【答案】C
【解析】解：∵|sinA-|+（1-tanB）2=0， ∴|sinA-|=0，（1-tanB）2=0，
∴sinA=，tanB=1， ∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C的度数为：180°-30°-45°=105°．
故选C．
【举一反三5】若，则的角度数为 ．
【答案】
【解析】解：∵， ∴， ∴
故答案为：．
【举一反三6】（1）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝ ；
（2）已知α为锐角，且cos（90°﹣α）＝，则a＝ ；
（3）若tan（α+10°）＝1，则锐角a＝ ．
【答案】 30° 20°
【解析】解：（1）∵sinA=， ∴∠A=30°，
∵∠C=90°， ∴∠B=60°， ∴cosB=．
故答案为：；
（2）∵cos（90°-α）=， ∴90°-α=60°， ∴α=30°．
故答案为：30°；
（3）∵tan（α+10°）=1， ∴tan（α+10°）=， ∴α+10°=30°， ∴α=20°．
故答案为：20°．
【举一反三7】在△ABC中，(tan A-)2＋|－cosB|＝0，则∠C的度数为__________．
【答案】75°
【解析】由题意得tan A＝，cos B＝.∠A＝60°，∠B＝45°.∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
【题型24】先求三角函数值再求角的度数
【典型例题】等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.120°
【答案】C
【解析】解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC：AD＝2：， ∴tanB＝＝， ∴∠B＝60°，
∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，
故选：C．
【举一反三1】⊙O的半径为4cm，点P和圆心的距离为8cm，则过P点的⊙O的两条切线的夹角是（ ）
A.30° B.60° C.90° D.120°
【答案】B
【解析】连接OE， ∵PE是圆的切线， ∴OE⊥PE，
∵⊙O的半径为4cm，点P和圆心的距离为8cm，
∴sin∠1＝， ∴∠EPF＝2∠1＝60°，
即这两条切线的夹角为60°，
故选：B．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）
A.15° B.45° C.30° D.60°
【答案】D
【举一反三3】在中, , ,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解:∵,中,
∴, ∴．
故选:C．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）
A.15° B.45° C.30° D.60°
【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanB=， ∴∠B=60°，
故选：D．
【举一反三5】已知在Rt△ABC中，，，则∠B＝ ．
【答案】60°/60度
【解析】解：如图所示：
由图可得：，
∵， ∴， ∴， ∴∠B=60°．
故答案为60．
【举一反三6】在直角△ABC中，∠C＝90°，如果b∶a＝3∶，那么∠A＝____________.
【答案】30°
【解析】在直角△ABC中，∠C＝90°，∵tanA＝a∶b＝，∴∠A＝30°.
【举一反三7】已知在Rt△ABC中，，，则∠B＝ ．
【答案】60°/60度
【解析】解：如图所示：
由图可得：，
∵， ∴， ∴， ∴∠B=60°．
故答案为60．
【举一反三8】在△ABC中，∠C＝90°，c＝2，b＝，则∠A＝__________.
【答案】30°
【解析】如图所示：∵∠C＝90°，c＝2，b＝，∴cosA＝＝，则∠A＝30°.
【题型25】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典型例题】在中，(2sinA-1)2+=0，则是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.无法确定
【答案】C
【解析】
解：∵(2sinA-1)2+=0， ∴2sinA-1=0，cosB-=0，
∴sinA=，cosB=， ∴∠A=30°，∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
故△ABC为直角三角形．
故选C．
【举一反三1】在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝，那么△ABC的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定
【答案】B
【解析】在△ABC中，∵∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，则∠A＝180°－30°－60°＝90°.故△ABC为直角三角形．故选B.
【举一反三2】在中，若、满足，
则为 三角形．
【答案】
直角
【解析】
解：∵， ∴，，
∴，，
∵，， ∴∠A=30°，∠B=60°，
∴， ∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【举一反三3】在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cosB恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
【答案】解 ∵∠A＝60°，∴tan A＝.把x＝代入方程2x2－3mx＋3＝0，得2()2－3m＋3＝0，解得m＝.把m＝代入方程2x2－3mx＋3＝0得2x2－3x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.∴cosB＝，即∠B＝30°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形．
【题型26】已知三角函数值求另一个三角函数值
【典型例题】在中，，，则（ ）
A. B. C. D..
【答案】C
【解析】解：△ABC中，∠C=90°， 则A+B=90°，
又sinA=， 则cosB=．
故选C．
【举一反三1】已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，为锐角， ∴，
∴．
故选：A．
【举一反三2】若∠A＋∠B＝90°，且cosB＝，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得sinA＝cosB＝，故选B.
【举一反三3】已知在中，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵, ∴∠B=60°，
∵∠C=90°， ∴∠A=30°， ∴cosA=
故选C.
【举一反三4】已知，是锐角，则 .
【答案】
【解析】解：，是锐角，
， ．
故答案为：．
【举一反三5】在中，，若，则 ．
【答案】
【解析】解：如图：
∵在中，，， 即，
∴设， ， ∴．
故答案为：．
【举一反三6】 已知是锐角，则 ．
【答案】
【解析】解：， 可设的对边长为，则邻边长为2x
斜边的长为，
故答案为：
【举一反三7】已知是锐角，且，则 ．
【答案】
【解析】解：由cosA=知， 如果设b=5x，则c=13x，结合a2+b2=c2得a=12x；
∴． 故，
【题型27】特殊角的三角函数值的运算
【典型例题】的值等于
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】解：原式．
故选A．
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA＋cosB的值等于( )
A.1 B. C. D.
【答案】A
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，得∠B＝90°－30°＝60°.sinA＋cos B＝sin30°＋cos 60°＝＋＝1，故选A.
【举一反三2】一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα cosβ+cosα sinβ；sin（α﹣β）＝sinα cosβ﹣cosα sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60° cos30°+cos60° sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
＝＝
故选A．
【举一反三3】计算： ．
【答案】/
【解析】解：，
故答案为：．
【举一反三4】计算：2sin45°＋6tan 30°－2cos30°.
【答案】解 原式＝2×＋6×－2×＝＋.
【题型28】用计算器求锐角三角函数值
【典型例题】利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：
故选：A．
【举一反三1】利用科学计算器计算sin 50°，下列按键顺序正确的是（ ）
A. 2 sin 5 0 = B.2 sin 5 0 = C. 2 5 0 sin = D.2 5 0 sin =
【答案】A
【解析】
略
【举一反三2】 (结果保留四个有效数字)．
【答案】
0.8192
【解析】
解：．
故答案为0.8192 ．
【举一反三3】使用计算器求下列三角函数值(精确到0.000 1)：
(1)sin71°24′
(2)cos54°21′18″
(3)tan 21°17′23″.
【答案】解 (1)sin 71°24′＝0.94776≈0.9478；
(2)cos54°21′18″＝0.68276≈0.5828；
(3)tan 21°17′23″＝0.38967≈0.3897.
【举一反三4】用计算器求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】
解：（1）原式＝sin23°5’＋sin23°5’＝2sin23°5’≈2×0.39207≈0.7841；
（2）原式≈0.96829 0.93089≈0.0374；
（3）原式≈0.135722 0.41284＋1.18894＝0.01842 0.41284＋1.18894＝0.79452．
【题型29】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数
【典型例题】已知，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：已知，用计算器求锐角A的大小，
按键顺序“2ndF”，“tan”，“0.85”，“=”．
故选：A
【举一反三1】如果，那么锐角的度数大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：使用键，然后按
∵，∴．
故选C
【举一反三2】已知sinα＝0.5，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键( )
A.AC10N B.SHIET C.MODE D.SHIFT
【答案】D
【解析】本题要求熟练应用计算器．“SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能．故选D.
【举一反三3】利用计算器求值：若tanα＝0.5758，则锐角α≈__________.(精确到1′)
【答案】29°56′
【解析】直接利用计算器计算即可，注意：①把度分秒化为度，②精确度．∵tanα＝0.575 8，∴α≈29.93°≈29°56′.
【举一反三4】已知tan α＝1.369 0，用计算器求锐角α的值，正确的按键顺序是________．
【答案】先按shift键，再按三角函数tan键，再依次输入1.369 0
【解析】先按shift键，再按三角函数tan键，再依次输入1.369 0，就可以出来答案α≈53.85°.
【举一反三5】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：
（1），；
（2），；
（3），．
【答案】解：（1）由计算器可得：，；
（2）由计算器可得：，；
（3）由计算器可得：，
【举一反三6】根据条件求锐角：
（1），求；
（2），求；
（3），求．
【答案】解：（1），按键顺序是显示，
则
，按键顺序是显示，
则
，按键顺序是显示，
则
【题型30】同角三角函数的关系
【典型例题】若α为锐角，且，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由α为锐角，且，得，
，
故选：D．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，∵sinA＝，∴设BC＝5k，AB＝13k，由勾股定理，得AC＝＝12k，∴cos A＝＝＝.故选A.
【举一反三2】已知：则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵sin2α+cos2α=1，， ∴+cos2α=1， ∴cos2α=，
∵α是锐角， ∴cosα=，
故选D．
【举一反三3】化简：若是锐角，那么 .
【答案】
【解析】解： =.
故答案为.
【举一反三4】化简求值：，其中tanα＝2.
【答案】解 ∵tanα＝＝2，
∴sinα＝2cosα，
∴＝＝＝.
【举一反三5】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求sinA，cosA的值．
【答案】解 在Rt△ABC中，tanA＝＝，
所以设BC为12x，AC为5x，
由勾股定理，得AB为13x.
sinA＝＝＝，cosA＝＝＝.
【题型31】互余两角的三角函数关系
【典型例题】下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】若cos(36°－A)＝，则sin(54°＋A)的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：因为，(36°－A)+ (54°＋A)=90°， 所以，sin(54°＋A)= cos(36°－A)=
故选B
【举一反三2】填空：
sin15°=cos ≈ （精确到0.0001）；
cos63°=sin ≈ （精确到0.0001）；
sin（90°－α）= ， cos（90°－α）= （α为锐角）．
【答案】 75° 0.2588 27° 0.4540 cosα sinα
【解析】解：sin15°=cos(90°-15°)=cos75°，由计算器求得：cos75°≈0.2588；
cos63°=sin(90°-63°)= sin27°，由计算器求得：sin27°≈0.4540；
sin（90°－α）= cosα，cos（90°－α）=sinα.
【举一反三3】若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值．
【答案】解 ∵α，β为直角三角形的两个锐角，∴sin β＝cos (90°－β)＝cosα＝.
【举一反三4】嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．
【答案】解：（1）∵，，
∴，结论成立；
（2）成立．理由如下：
在中，，且，
∴，故结论成立；
（3），理由如下：
在中，，，，
∴， ∴．
