2025-2026学年北京版2024八年级上册数学 10.5分式方程（分式方程与实际问题）专题练习 （含解析）

10.5分式方程（分式方程与实际问题）
题型一 列分式方程
1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·北京房山·期中）在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级上·北京昌平·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·北京西城·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ．
5．（21-22八年级下·北京海淀·期中）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格. 设每套《水浒传》连环画的价格为元，则所列方程是 ．
6．（21-22八年级上·北京怀柔·期末）2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x 千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：； ②佳佳：；③富富：；④强强：．其中，正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
题型二 分式方程与行程问题
1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度．
2．（24-25八年级上·北京海淀·期末）秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时．
3．（24-25八年级上·北京丰台·期末）周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由．
4．（24-25八年级上·北京房山·期中）阅读下面材料并解决问题：
材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线——和若铁 路（和田至若羌）正式开通运营．该铁路沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米．有了这条通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”．
材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重．为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降低到原设计速度的，从和田到若羌比原设计时间多用小时．
根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度．
5．（23-24八年级上·北京昌平·期末）第31届世界大学生夏季运动会，于2023年7月28日至8月8日在成都举办.上海的学生小李一家想在此次运动会期间前往成都观赛，可供选择的交通工具有我国自主知识产权的高铁和C919大型民航客机．已知民航客机的平均速度是高铁的3倍，当路程均为1620千米时，搭乘民航客机会比高铁节省4小时，求民航客机和高铁的平均速度．
6．（22-23八年级上·北京海淀·期末）王嘉和张淇两位同学进行100米长跑比赛，王嘉同学在比赛时不小心摔了一跤，浪费了5秒钟．事后，王嘉说：“我俩所用时间的和为60秒．”张淇同学说：“如果不算王嘉摔跤所浪费的时间，他跑完全程的平均速度是我跑完全程平均速度的倍．”据此信息，请你判断哪位同学获胜？两人跑完全程的时间相差多少秒？
题型三 分式方程与工程问题
1 ．（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．
2．（24-25八年级上·北京通州·期中）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量．
3．（23-24八年级上·北京顺义·期末）列方程解应用题：
某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个．
4．（23-24八年级上·北京·期末）某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天．
(1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
(2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？
5．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）某公司一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成．
(1)求乙工程队单独完成该工程所需的天数；
(2)若延期完成，超出工期的时间，公司则每天要损失0.4万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？
题型四 分式方程与经济问题
1．（24-25八年级上·北京大兴·期末）列方程解决实际问题：
2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．
某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？
2．（24-25八年级上·北京·期末）列方程解应用题．
为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的1.5倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是多少．
3．（23-24八年级上·广东广州·期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．
(1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元？
(2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
4．（23-24八年级上·北京东城·期末）列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格．
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数
型
型 3000
(2)请你完整解答本题．
题型五 分式方程与和差倍分问题
1．（24-25八年级上·北京房山·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用，体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳克所需的种植面积是垂柳一天固碳克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，求洋槐一天单位面积固碳量是多少克？
2．（24-25八年级上·北京顺义·期末）为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价．
3．（23-24八年级上·北京平谷·期末）过年包饺子是中国新年传统习俗之一，在中国，饺子不仅仅是一种食物，它还象征着团圆、和谐和幸福．大年三十当天，小美的爸爸、妈妈一起为全家制作美味的饺子，小美的爸爸擀皮，妈妈包饺子，一共制作了80个饺子，小美发现爸爸每分钟擀皮的个数是妈妈包饺子的4倍，爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，请你根据以上信息，求出爸爸每分钟擀皮的个数和妈妈每分钟包饺子的个数．
4．（23-24八年级上·北京丰台·期末）北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息
信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍．
根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量．
5．（2023八年级上·全国·专题练习）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的倍，现公司用万元购进型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆．
(1)求每辆型汽车进价是多少万元？
(2)A型汽车利润率为，型汽车利润率为，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？
题型六 分式方程与古代问题
1．（23-24八年级上·北京通州·期末）列方程解应用题：
《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间.
2．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．

3．（20-21八年级上·辽宁大连·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ．
4．（2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度．
5．（2022·江西萍乡·模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
6．（2022七年级上·江苏·专题练习）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个克罗索．”
(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？
(2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？
题型七 分式方程与几何问题
1．（2024·北京·一模）《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．

2．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）列分式方程解应用题．
当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形（注：）

3．（20-21九年级上·吉林长春·期中）如图，学校要规划改造一块总面积为360平方米的矩形绿化区域ABCD．方案设计时发现，不改变绿化区域总面积，将矩形一边AB的长扩大为原来的2倍时，另一边AC与原来相比较则会减少4米．求原来矩形的边AB的长．
题型一 分式方程与现实问题
1．（24-25九年级下·福建宁德·期中）宁古高速是福建省境内连接宁德市与古田县的一条高速公路，预计将于2025年底建成通车．宁古高速全线通车后，从宁德城区到古田县城将有两条路线可供选择，路线一：走省道，全长大约125千米；路线二：走高速公路，全长大约75千米．走高速公路的平均速度是走省道的1.5倍，行驶时间比走省道节省1.5小时．求通车前宁德城区到古田县城走省道大约需要多长时间？
2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）年春节，随着《哪吒》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“敖丙”手办的售价是每个“哪吒”手办售价的倍，且用元购买“哪吒”手办的数量比用元购买“敖丙”手办的数量多个，求每个“哪吒”手办的售价．
3．（2025·云南·模拟预测）从2025年春晚到两会，具身智能逐步进入大众视野，具身机器人在提高效率，降低成本等方面潜力巨大．仓储物流是当前具身机器人商业化最前沿的领域之一，某智慧物流园快递分拣车间计划采用，两种型号的具身机器人分拣快递，已知型具身机器人比型具身机器人每小时多分拣30件快递，型具身机器人分拣600件快递所用时间与型具身机器人分拣480件快递所用时间相等，则两种具身机器人每小时分别分拣多少件快递？
4．（23-24七年级下·安徽池州·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年在哈尔滨举办，吉祥物物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍．
(1)求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
(2)为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购买的总费用不超过11000元，求最多可以购买“妮妮”多少个？
题型二 分式方程与热点问题
1．（2025·山西·模拟预测）为推动绿色发展，我国大力发展新能源，光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将太阳能直接转变为电能的一种技术．现有一光伏发电厂经技术改良，每天的发电量比原来提高，现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时，求该光伏发电厂原来平均每小时的发电量．
2．（2025·广西玉林·三模）综合与实践
为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示：
参数类型 燃油汽车 新能源汽车
能源类型 燃油 电能
能源容量 油箱容积：升 电池电量：千瓦时
能源价格 油价：元/升 电价：元/千瓦时
续航里程 千米 千米
据调查，燃油汽车的每千米行驶费用比新能源汽车多元，燃油汽车和新能源汽车每年的其它费用分别为元和元．
请按要求完成下列任务：
(1)用含的代数式表示新能源汽车的每千米行驶费用；
(2)分别求出燃油汽车和新能源汽车的每千米行驶费用；
(3)每年行驶里程满足什么条件时，买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
3．（2025·湖南·模拟预测）“低空经济”激活了无人机产业，新型无人机不断面世．某科研公司研发生产了型、型两种新型无人机对外销售，已知型无人机比型无人机的单价少万元，用10万元购买型无人机与用14万元购买型无人机的数量相等．
(1)求型、型无人机的单价各是多少万元；
(2)某商家决定购买型、型无人机共50个，且花费不超过28万元，则至少购买型无人机多少个？
1．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果．
2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度；
（2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案：
优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目．
优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券．
若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？
3．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额
甲 7200
乙 3200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
请你帮助他们补全补货单．
4．（2025·黑龙江牡丹江·一模）某商场购进甲、乙两种手机共50部．已知购进一部甲种手机比购进一部乙种手机进价少0.3万元，用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍．请解答下列问题：
(1)甲、乙两种手机每部进价各是多少元？
(2)若商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，商场有哪几种购进方案？
(3)在（2）的条件下，若甲种手机每部售价1100元，乙种每部手机售价4300元，甲、乙两种手机各有一部样机按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这50部手机获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上手机共2部．请直接写出该商场购进这50部手机中，甲、乙两种手机各几部．
5．（24-25八年级上·北京东城·期末）已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数．
(1)的平方差倒数是______；
(2)是n的平方差倒数，求m的值；
(3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值．
10.5分式方程（分式方程与实际问题）
题型一 列分式方程
1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．根据题意可得出物体B的体积是，分别求出物体A和物体B的密度，再结合A，B两个物体的密度之比为列等式即可．
【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是，
∴物体A的密度为，物体B的密度为．
∵A，B两个物体的密度之比为，
∴．
故选A．
2．（24-25八年级上·北京房山·期中）在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．设A种文创产品的单价为x元，则B种文创产品的单价为元，根据题意，得，解方程即可．
【详解】解：设A种文创产品的单价为x元，则B种文创产品的单价为元，
根据题意，得．
故选：D．
3．（23-24八年级上·北京昌平·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出乙每天做个零件，再根据甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同列出方程即可得．
【详解】解：由题意可知，乙每天做个零件，
则可列方程为，
故选：A．
4．（23-24八年级上·北京西城·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作2.4小时清点完另一半图书”列出方程．
【详解】解：设乙单独清点这批图书需要，
根据题意，得，
故答案为：．
5．（21-22八年级下·北京海淀·期中）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格. 设每套《水浒传》连环画的价格为元，则所列方程是 ．
【答案】
【分析】根据两种连环画单价间的关系，可得出每套《三国演义》连环画的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（21-22八年级上·北京怀柔·期末）2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x 千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：； ②佳佳：；③富富：；④强强：．其中，正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】C
【分析】根据题意设大货车速度为x 千米/小时，则面包车的速度为1.2x 千米/小时，总路程均为600千米，由路程、速度、时间之间的关系及大货车到达四子王旗比面包车多用小时，列出方程即可得．
【详解】解：设大货车速度为x 千米/小时，则面包车的速度为1.2x 千米/小时，总路程均为600千米，
根据题意可得：，
变形为： ，，
∴①④正确，
故选：C．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，熟练运用路程、速度、时间之间的关系是解题关键．
题型二 分式方程与行程问题
1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度．
【答案】300米
【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意设小明乐跑活动后每分钟跑米，则小明乐跑活动前每分钟跑米，列出方程求解即可．
【详解】解：设小明乐跑活动后每分钟跑米，则小明乐跑活动前每分钟跑米，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合实际问题的意义，
答：小明乐跑活动后每分钟跑300米．
2．（24-25八年级上·北京海淀·期末）秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时．
【答案】小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时
【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键．
设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时，由此列式求解即可．
【详解】解：设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时，
可列方程：，
化简得：，
，
解得：，
检验：时，且
∴原分式方程的解为，
∴，
答：小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时．
3．（24-25八年级上·北京丰台·期末）周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由．
【答案】能，理由见详解
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，等量关系式：步行的时间骑行的时间，据此列方程，解方程即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：能，理由如下：
设小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，则有
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义；
小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，
总共所需时间为：
（），
到达钟鼓楼的时间为，
故能在当日上午前到达鼓楼．
4．（24-25八年级上·北京房山·期中）阅读下面材料并解决问题：
材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线——和若铁 路（和田至若羌）正式开通运营．该铁路沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米．有了这条通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”．
材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重．为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降低到原设计速度的，从和田到若羌比原设计时间多用小时．
根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度．
【答案】
【分析】设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程，解方程是解题的关键．
【详解】解：设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，
根据题意，得，
解方程，得，
经检验，是原方程的根．
答：和若铁路的原设计速度是．
5．（23-24八年级上·北京昌平·期末）第31届世界大学生夏季运动会，于2023年7月28日至8月8日在成都举办.上海的学生小李一家想在此次运动会期间前往成都观赛，可供选择的交通工具有我国自主知识产权的高铁和C919大型民航客机．已知民航客机的平均速度是高铁的3倍，当路程均为1620千米时，搭乘民航客机会比高铁节省4小时，求民航客机和高铁的平均速度．
【答案】高铁平均速度为270千米/时，民航平均速度为810千米/时
【分析】本题考查了分式方程的应用，设高铁的平均速度为千米/时，则民航客机的平均速度为千米/时，根据题意列分式方程求解检验，即可得到答案．
【详解】解：设高铁的平均速度为千米/时，则民航客机的平均速度为千米/时，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合实际问题的意义，
当时，，
答：高铁平均速度为270千米/时，民航平均速度为810千米/时．
6．（22-23八年级上·北京海淀·期末）王嘉和张淇两位同学进行100米长跑比赛，王嘉同学在比赛时不小心摔了一跤，浪费了5秒钟．事后，王嘉说：“我俩所用时间的和为60秒．”张淇同学说：“如果不算王嘉摔跤所浪费的时间，他跑完全程的平均速度是我跑完全程平均速度的倍．”据此信息，请你判断哪位同学获胜？两人跑完全程的时间相差多少秒？
【答案】王嘉同学获胜，两人跑完全程的时间相差秒
【分析】设王嘉同学跑完全程的时间是x秒，则张淇同学跑完全程的时间是秒，利用速度=路程÷时间，结合“如果不算王嘉摔跤所浪费的时间，他跑完全程的平均速度是淇淇跑完全程平均速度的倍”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出王嘉同学跑完全程的时间，及张淇同学跑完全程的时间，二者比较做差后，即可求出结论．
【详解】解：设王嘉同学跑完全程的时间是x秒，则张淇同学跑完全程的时间是秒，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
，（秒），
∴王嘉同学获胜，两人跑完全程的时间相差秒．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
题型三 分式方程与工程问题
1 ．（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．
【答案】80吨
【分析】本题考查的是解分式方程的应用，解题的关键是找准等量关键正确列出方程．
设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，
根据题意得：，
方程两边同乘，
得，
解得，
经检验，是分式方程的解；
答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．
2．（24-25八年级上·北京通州·期中）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量．
【答案】60件
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程求解．
设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，
依题意列方程：．
解得：，
经检验是原方程的解且有实际意义
所以原方程的解为
答：人工每人每小时分拣60件快件．
3．（23-24八年级上·北京顺义·期末）列方程解应用题：
某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个．
【答案】A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，根据A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，列出方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个．
4．（23-24八年级上·北京·期末）某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天．
(1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
(2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？
【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室
(2)13天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，利用工作时间工作总量工作效率，可列出关于的分式方程即可，
（2）设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，根据安装总费用不超过22600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
（2）解：设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为13．
答：最多安排甲公司工作13天．
5．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）某公司一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成．
(1)求乙工程队单独完成该工程所需的天数；
(2)若延期完成，超出工期的时间，公司则每天要损失0.4万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？
【答案】(1)25
(2)乙
【分析】（1）设乙队单独完成要x天，则每天完成，根据两队合作4天后又16天完工列方程求解；
（2）由题意知工期为20天，分别计算每队单独完成的费用比较哪个更少．
【详解】（1）解：设乙队单独完成要x天，则每天完成，
根据题意得：，
，
解得，
经检验是原方程的解，
故乙队单独完成要25天；
（2）解：∵两队合作4天，乙队又用了16天如期完工，
∴工期为20天，
甲队单独完成费用为：（万元）；
乙队单独完成费用为：（万元）；
故乙队更实惠
【点睛】本题考查分式方程的运用，做题的关键是要分清等量关系，分式分式方程的根最后要检验．
题型四 分式方程与经济问题
1．（24-25八年级上·北京大兴·期末）列方程解决实际问题：
2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．
某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？
【答案】每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元
【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．
设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解．
【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合实际意义，
∴．
答：每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元．
2．（24-25八年级上·北京·期末）列方程解应用题．
为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的1.5倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是多少．
【答案】第二批跳绳每根的进价是15元
【分析】本题考查了分式方程的应用． 关键是根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量列方程．
设第一批体育用品每件的进价是x元，则第一批进的数量是：件，第二批进的数量是：件，再根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量可得方程．
【详解】解：设第二批跳绳每根的进价是x元．
根据题意，得．
解之，得．
经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．
答：第二批跳绳每根的进价是15元．
3．（23-24八年级上·广东广州·期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．
(1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元？
(2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【答案】(1)一批箱装饮料每箱的进价是200元
(2)每箱饮料至少标价296元
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
（1）设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，根据第二批数量是第一批箱数的倍，列方程求解；
（2）设每箱饮料的标价是y元，根据全部售完后总利润率不低于，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设第一批箱装饮料每箱的进价是元，
依题意列方程得，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
答：第一批箱装饮料每箱的进价是200元．
（2）解：设每箱饮料的标价是y元，
依题意得，
解得：，
答：至少标价296元．
4．（23-24八年级上·北京东城·期末）列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格．
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数
型
型 3000
(2)请你完整解答本题．
【答案】(1)1300；；
(2)每套B型号的“文房四宝”的价格为100元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用：
（1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套；
（2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元，
∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，，
∴每套型号的“文房四宝”的价格为元，
∴购买型号的“文房四宝”套，
故答案为：1300；；；
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
题型五 分式方程与和差倍分问题
1．（24-25八年级上·北京房山·期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用，体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳克所需的种植面积是垂柳一天固碳克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，求洋槐一天单位面积固碳量是多少克？
【答案】洋槐一天单位面积固碳量是克
【分析】题目主要考查分式方程的应用，设洋槐一天单位面积固碳量是x克，则垂柳一天单位面积固碳量为克，根据题意列出方程求解、检验即可．
【详解】解：设洋槐一天单位面积固碳量是x克，则垂柳一天单位面积固碳量为克，
根据题意得：，
解得：，
检验：经检验：是原分式方程的解，
∴洋槐一天单位面积固碳量是克．
2．（24-25八年级上·北京顺义·期末）为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价．
【答案】A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元
【分析】本题考查的是分式方程的应用. 设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元，再利用购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的倍，列方程，解方程即可.
【详解】解：设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元，
依题意，得，
解得，
经检验：是所列方程的解，并且符合实际问题的意义，
所以，
答：A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元．
3．（23-24八年级上·北京平谷·期末）过年包饺子是中国新年传统习俗之一，在中国，饺子不仅仅是一种食物，它还象征着团圆、和谐和幸福．大年三十当天，小美的爸爸、妈妈一起为全家制作美味的饺子，小美的爸爸擀皮，妈妈包饺子，一共制作了80个饺子，小美发现爸爸每分钟擀皮的个数是妈妈包饺子的4倍，爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，请你根据以上信息，求出爸爸每分钟擀皮的个数和妈妈每分钟包饺子的个数．
【答案】妈妈每分钟包饺子3个，则爸爸每分钟擀皮12个．
【分析】此题考查分式方程的应用．设妈妈每分钟包饺子x个，则爸爸每分钟擀皮4x个，根据爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，列出方程求解即可．
【详解】解：设妈妈每分钟包饺子x个，则爸爸每分钟擀皮4x个
由题意知，．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴．
答：妈妈每分钟包饺子3个，则爸爸每分钟擀皮12个．
4．（23-24八年级上·北京丰台·期末）北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息
信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍．
根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量．
【答案】0.575吨
【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通水稻平均每亩产量为吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨，利用试验田比试验田少20亩，可列方程，解方程即可解答，解题的关键是找出正确的等量关系．
【详解】解：设普通水稻平均每亩产量为吨，
则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨．
由题意可得，
．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
．
答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨．
5．（2023八年级上·全国·专题练习）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的倍，现公司用万元购进型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆．
(1)求每辆型汽车进价是多少万元？
(2)A型汽车利润率为，型汽车利润率为，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？
【答案】(1)10万元
(2)171万元
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用；
（1）设每辆B型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，利用数量总价单价，结合用万元购进型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）根据题意列出算式，求出两种汽车利润之和即可．
【详解】（1）解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：每辆型汽车进价是万元；
（2）(万元)，
答：该公司出售完此批汽车后总利润是万元．
题型六 分式方程与古代问题
1．（23-24八年级上·北京通州·期末）列方程解应用题：
《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间.
【答案】天
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程解方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
根据题意得：，
即
两边同时乘以
得
解得，
经检验，是原分式方程的解．
答：规定时间为天．
2．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．

【答案】
【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．
∴，
解得，
经检验是方程的根且符合题意，
∴两图象交点的纵坐标是．
故答案为：
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
3．（20-21八年级上·辽宁大连·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知：x株需要6210文，株的运费一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．
【详解】解：设这批椽的数量为x株，
由题意可得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
4．（2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度．
【答案】
【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为，列式求解即可，掌握分式的运用是解题的关键．
【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为，
∴，
解得，，
检验，当时，原式有意义，
∴中间弦的长度为 ．
5．（2022·江西萍乡·模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
【答案】里
【分析】设善行者走里时就追上了不善行者，根据速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设善行者走里时就追上了不善行者，
根据题意，
解得.
答：善行者走里时追上了不善行者.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
6．（2022七年级上·江苏·专题练习）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个克罗索．”
(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？
(2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？
【答案】(1)第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．
(2)两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样．
【分析】（1）根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求解．
（2）分别计算出单价比较．
【详解】（1）解：设第一个农妇带来x个鸡蛋，第二个妇女带了（100﹣x）个．由题意得：
解得：x＝40，
检验：当x＝40时，x（100﹣x）≠0，符合题意．
100﹣x＝60．
答：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．
（2）解：第一个农妇的鸡蛋价格为：15÷60＝0.25（元），
第二个农妇的鸡蛋价格为：640（元）．
∴两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，理解题意列出方程是求解本题的关键．
题型七 分式方程与几何问题
1．（2024·北京·一模）《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．

【答案】
【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可．
【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得
＝，
解得：．
经检验，是原方程的解且符合实际意义．
答：边衬的宽度为．
2．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）列分式方程解应用题．
当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形（注：）

【答案】边衬的宽度应设置为10厘米
【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设边衬的宽度设置为x厘米，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：边衬的宽度应设置为10厘米．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
3．（20-21九年级上·吉林长春·期中）如图，学校要规划改造一块总面积为360平方米的矩形绿化区域ABCD．方案设计时发现，不改变绿化区域总面积，将矩形一边AB的长扩大为原来的2倍时，另一边AC与原来相比较则会减少4米．求原来矩形的边AB的长．
【答案】45米．
【分析】设原来矩形的边AB的长为x米，再根据另一边AC的变化和矩形的面积公式建立方程，然后解方程即可得．
【详解】设原来矩形的边AB的长为x米，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：原来矩形的边AB的长为45米．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
题型一 分式方程与现实问题
1．（24-25九年级下·福建宁德·期中）宁古高速是福建省境内连接宁德市与古田县的一条高速公路，预计将于2025年底建成通车．宁古高速全线通车后，从宁德城区到古田县城将有两条路线可供选择，路线一：走省道，全长大约125千米；路线二：走高速公路，全长大约75千米．走高速公路的平均速度是走省道的1.5倍，行驶时间比走省道节省1.5小时．求通车前宁德城区到古田县城走省道大约需要多长时间？
【答案】2.5小时
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设通车前宁德至古田走省道大约需要小时，根据走高速公路的平均速度是走省道的1.5倍，行驶时间比走省道节省1.5小时，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设通车前宁德至古田走省道大约需要小时，则
，
解得．
经检验，是所列方程的根．
答：通车前宁德至古田走省道大约需要2.5小时．
2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）年春节，随着《哪吒》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“敖丙”手办的售价是每个“哪吒”手办售价的倍，且用元购买“哪吒”手办的数量比用元购买“敖丙”手办的数量多个，求每个“哪吒”手办的售价．
【答案】每个“哪吒”手办的售价元
【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设每个“哪吒”手办的售价为元，则每个“敖丙”手办的售价为元，根据用元购买“哪吒”手办的数量比用元购买“敖丙”手办的数量多个，列出分式方程，解方程即可得答案．
【详解】解：设每个“哪吒”手办的售价为元，则每个“敖丙”手办的售价为元，根据题意，得
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意．
答：每个“哪吒”手办的售价元．
3．（2025·云南·模拟预测）从2025年春晚到两会，具身智能逐步进入大众视野，具身机器人在提高效率，降低成本等方面潜力巨大．仓储物流是当前具身机器人商业化最前沿的领域之一，某智慧物流园快递分拣车间计划采用，两种型号的具身机器人分拣快递，已知型具身机器人比型具身机器人每小时多分拣30件快递，型具身机器人分拣600件快递所用时间与型具身机器人分拣480件快递所用时间相等，则两种具身机器人每小时分别分拣多少件快递？
【答案】型具身机器人每小时分拣150件快递，型具身机器人每小时分拣120件快递
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据型具身机器人比型具身机器人每小时多分拣30件快递，得型具身机器人每小时分拣件快递，再结合题条件列式进行解方程，即可作答．
【详解】解：设型具身机器人每小时分拣件快递，则型具身机器人每小时分拣件快递，
依题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：型具身机器人每小时分拣150件快递，型具身机器人每小时分拣120件快递．
4．（23-24七年级下·安徽池州·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年在哈尔滨举办，吉祥物物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍．
(1)求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
(2)为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购买的总费用不超过11000元，求最多可以购买“妮妮”多少个？
【答案】(1)购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元；
(2)最多可以购买“妮妮”75个．
【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设购买一个“滨滨”需要元，则一个 “妮妮”需要元，根据“用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍”，进行列式，解出，注意验根，即可作答．
（2）设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”，根据“要求购买的总费用不超过11000元”，进行列式，解出，即可作答．
【详解】（1）解：设购买一个“滨滨”需要元，则一个 “妮妮”需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）.
答：购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元；
（2）解：设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为75.
答：最多可以购买“妮妮”75个
题型二 分式方程与热点问题
1．（2025·山西·模拟预测）为推动绿色发展，我国大力发展新能源，光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将太阳能直接转变为电能的一种技术．现有一光伏发电厂经技术改良，每天的发电量比原来提高，现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时，求该光伏发电厂原来平均每小时的发电量．
【答案】千瓦
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该光伏发电厂原来平均每小时发电千瓦，根据“现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设该光伏发电厂原来平均每小时发电千瓦，
根据题意可得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符号题意，
故该光伏发电厂原来平均每小时的发电量为千瓦．
2．（2025·广西玉林·三模）综合与实践
为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示：
参数类型 燃油汽车 新能源汽车
能源类型 燃油 电能
能源容量 油箱容积：升 电池电量：千瓦时
能源价格 油价：元/升 电价：元/千瓦时
续航里程 千米 千米
据调查，燃油汽车的每千米行驶费用比新能源汽车多元，燃油汽车和新能源汽车每年的其它费用分别为元和元．
请按要求完成下列任务：
(1)用含的代数式表示新能源汽车的每千米行驶费用；
(2)分别求出燃油汽车和新能源汽车的每千米行驶费用；
(3)每年行驶里程满足什么条件时，买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】(1)元；
(2)燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元；
(3)当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用．
根据电池电量：千瓦时，电价：元/千瓦时，续航里程千米，可计算出新能源汽车的每千米行驶费用为元；
根据燃油汽车的每千米行驶费用比新能源汽车多元，可列分式方程，解方程求出，把 的值分别代入、求出燃油汽车和新能源汽车的每千米行驶费用；
新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低，可列不等式，解不等式求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：新能源汽车的每千米行驶费用为：元；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
(元/千米)，(元/千米)，
答：燃油汽车的每千米行驶费用为元，新能源汽车的每千米行驶费用为元；
（3）解：设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源汽车的年费用更低.
3．（2025·湖南·模拟预测）“低空经济”激活了无人机产业，新型无人机不断面世．某科研公司研发生产了型、型两种新型无人机对外销售，已知型无人机比型无人机的单价少万元，用10万元购买型无人机与用14万元购买型无人机的数量相等．
(1)求型、型无人机的单价各是多少万元；
(2)某商家决定购买型、型无人机共50个，且花费不超过28万元，则至少购买型无人机多少个？
【答案】(1)A型无人机的单价为万元，则B型无人机的单价为万元
(2)35个
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设A型无人机的单价为x万元，则B型无人机的单价为万元，根据用10万元购买型无人机与用14万元购买型无人机的数量相等建立方程求解即可；
（2）设购买A型无人机m个，则购买B型无人机个，根据花费不超过28万元建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A型无人机的单价为x万元，则B型无人机的单价为万元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型无人机的单价为万元，则B型无人机的单价为万元；
（2）解：设购买A型无人机m个，则购买B型无人机个，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为35，
答：至少购买型无人机35个．
1．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果．
【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析
【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等．
数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答；
实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：
方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的；
方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的；
方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
∵，
∴方案三的漂洗效果最好，
故答案为： ；；；三；
推广证明理由如下：
方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的；
方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的；
方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
∵，
∴方案三比方案一漂洗效果好；
∵，
当时，，
∴方案三比方案二效果好，
综上所述：方案三漂洗效果最好．
2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度；
（2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案：
优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目．
优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券．
若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？
【答案】（1）慢车的速度为（2）当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用：
（1）设慢车的速度的速度为，根据快车的速度是慢车速度的1.2倍，慢车先行，出发后，快车前行，两车同时到达游览区，列出方程进行求解即可；
（2）根据两种方案分别列出代数式，进行求解判断即可．
【详解】解：（1）设慢车的速度的速度为，由题意，得：
，
解：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
答：慢车的速度为；
（2）按照方案一付费：元；
按照方案二付费：；
当，即：时，两种付费方式费用相同；
当，即：时，按照方案二付费更优惠；
当，即：时，按照方案一付费更优惠；
答：当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费．
3．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额
甲 7200
乙 3200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
请你帮助他们补全补货单．
【答案】甲商品的进价是60元/件，乙商品的进价是40元件；甲商品的进货数量为120件，乙商品的进货数量为80件
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．
设乙商品的进价为元件，则甲商品的进价为元件，根据数量总价单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值；即可得乙商品的进价，从而求得甲商品的进价；进而甲、乙商品的进货数量．
【详解】解：设乙商品的进价为元件，则甲商品的进价为元件，
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解．
∴乙商品的进价是40元件，
甲商品的进价是(元/件)，
甲商品的进货数量：(件)，
乙商品的进货数量：(件)．
答：甲商品的进价是60元/件，乙商品的进价是40元件；甲商品的进货数量为120件，乙商品的进货数量为80件．
4．（2025·黑龙江牡丹江·一模）某商场购进甲、乙两种手机共50部．已知购进一部甲种手机比购进一部乙种手机进价少0.3万元，用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍．请解答下列问题：
(1)甲、乙两种手机每部进价各是多少元？
(2)若商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，商场有哪几种购进方案？
(3)在（2）的条件下，若甲种手机每部售价1100元，乙种每部手机售价4300元，甲、乙两种手机各有一部样机按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这50部手机获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上手机共2部．请直接写出该商场购进这50部手机中，甲、乙两种手机各几部．
【答案】(1)甲种手机进价为每部1000元，乙种手机进价为每部4000元；
(2)有3种进货方案：①甲种手机31部，乙种手机19部；②甲种手机32部，乙种手机18部；③甲种手机33部，乙种手机17部；
(3)购进甲种手机32部，乙种手机18部．
【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程和不等式组是解题的关键：
（1）设甲种手机的进价为每部万元，根据用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍，列出方程进行求解即可；
（2）设购进甲种手机部，根据商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，列出不等式组进行求解即可；
（3）根据（2）种方案，逐一进行计算，判断即可．
【详解】（1）解：设甲种手机的进价为每部万元，则乙种手机的进价为每部万元，由题意，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
万元元，万元元；
答：甲种手机进价为每部1000元，乙种手机进价为每部4000元；
（2）设购进甲种手机部，由题意，得：
，
解得：，
∵为整数，
∴，
∴；
故有3种进货方案：①甲种手机31部，乙种手机19部；②甲种手机32部，乙种手机18部；③甲种手机33部，乙种手机17部；
（3）①购买甲种手机31台，购买乙种手机19台，
（元），不符合题意，舍去；
②购买甲种手机32台，购买乙种手机18台，
（元），符合题意；
③购买甲种手机33台，购买乙种手机17台，
（元），不符合题意，舍去．
综上所述，购买甲种手机32台，购买乙种手机18台．
5．（24-25八年级上·北京东城·期末）已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数．
(1)的平方差倒数是______；
(2)是n的平方差倒数，求m的值；
(3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，直接求解，即可解题；
（2）根据“是n的平方差倒数”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题；
（3）利用因式分解化简求解即可．
【详解】（1）解：，
的平方差倒数是，
故答案为：；
（2）解：由题易得，，
即，
解得，
经检验，是该方程的解，
此时；
（3）解：
，
，
，
，b，n为正整数，
可取的最小值为6，
的最小值为．