第三章概率的进一步认识随堂练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第三章概率的进一步认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，一条毛毛虫要从A处去吃树叶，毛毛虫在交叉路口处选择任何树枝都是等可能的，它吃到树叶的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．“彩缕碧筠粽，香梗白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣烷4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．一颗质地均匀的骰子已连续掷了2018次，其中掷出5点的次数最少，则第2019次一定掷出5点
B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该彩票一定会中奖
C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨
D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
4．做抛掷同一枚啤酒瓶盖的重复试验，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为(　　)
A．22% B．44% C．50% D．56%
5．一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（　　）
A． B． C． D．
6．某鱼塘里养了若干条草鱼、100条鲤鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．可估计该鱼塘中鱼的总数量为（ ）．
A．300 B．200 C．150 D．250
7．如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
10．一次抛两枚硬币，可能出现的情况有：①一枚正面朝上一枚反面朝上；②两枚都是正面朝上；③两枚都是反面朝上．则下列说法正确的是（　　）
A．①与②是等可能的 B．②与③是等可能的 C．①与③是等可能的 D．①、②、③都是等可能的
11．下列说法错误的是（ ）
A．袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，充分摇动后，再从中随机摸出一个球，两次摸到不同颜色的球的概率是
B．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是如果甲、乙两人的手势相同，那么丙获胜，如果甲、乙两人的手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个游戏规则对甲、乙、丙三人是公平的
C．连续抛两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三种结果发生的概率是相同的
D．一个小组的八名同学通过依次抽签（卡片外观一样，抽到不放回）决定一名同学获得元旦奖品，先抽和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平
12．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
13．如图是铺有黑白两色地砖的地面，小明向地面上随意抛一块小石子，小石子落在 色地砖上的可能性大．（填“黑”或“白”，砖缝忽略不计）
14．如图，一个可以自由转动的圆形转盘被分成4个圆心角为60°和1个圆心角为120°的扇形区域，并涂上了相应的颜色，随机转动转盘，转盘停止时，指针恰好落在黄色区域的概率是 ．
15．为防疫情，社区采取以一楼道为单位组织进行核酸检测．小明，小红所住楼道共30人，为加快检测进度，每10人一组，随机分成三组，小明和小红分到同一组检测的概率是 ．
16．如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 m2．
17．如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
三、解答题
18．小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏，三个扇形的圆心角均相等，分别标有数字1，2，3．游戏规则如下：一人转动一次转盘，若两次转盘指针所指的数字之积为偶数，则小明胜；若两次转盘指针所指的数字之积为奇数，则小亮胜．

(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果．
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由，
19．有若干张背面完全相同的卡片，王芬每次随机抽取一张卡片，记录下卡片正面上的字母，然后放回，重复这样的试验800次，记录结果如下表：
试验总次数 100 200 400 500 800
抽取的卡片上为A的次数 54 104 196 255 400
抽取的卡片上为A的频率 0.54 0.52 0.49 m 0.5
(1)填空：表中______
(2)从这些卡片中随机抽取一张，请估计它正面上的字母为A的概率（结果保留一位小数）
20．某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的初中学生人数为______，图中的值为______；
(2)这组数据的平均数为______，众数为______，中位数为______；
(3)若该校共有名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数．
(4)本次调查中体育活动时间最长的人为名女生和一名男生，这名同学将和另一个学校选出的名男生组成一个“运动”小组，若从人中随机指定两人担任正、副组长，请用树状图法或列表法求出这两人恰为一男一女的概率．
21．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息．
八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下：
50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98．
九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下：
84，85，86，88，88，88，88，89．
八、九年级被抽取学生的测试得分统计表
平均数 中位数 众数
八年级 79 84
九年级 79 88
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)上述图表中，___________，___________，___________．
(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由．
(3)本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
22．用列表法求概率．

(1)将一枚均匀的硬币郑两次，两次朝上的面相同的概率是多少？
(2)小明同时转动图中的两个转盘，进行“配紫色”游戏，如果红色和蓝色分别出现在两个转盘上，那就说明可以配成紫色，求小明配出紫色的概率．
23．旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样．
A B C 过道 D F
(1)“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________；
(2)试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率．
24．如图①所示，可以自由转动的转盘被三等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
(1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为________；
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用图②中游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
《第三章概率的进一步认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B B A C A A B
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】结合图形画出树状图，由树状图知蚂蚁到达两个树杈后有3种等可能结果，其中吃到树叶的可能都是1种情况，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：画树状图可得：
由树状图可得，等可能的结果共有6种，其中毛毛虫吃到树叶的可能有2种，则吃到树叶的概率为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，解题的关键是根据树状图得出对应情况下所有等可能结果数．
2．D
【分析】粽子总共有11个，其中甜粽有6个，根据概率公式即可求出答案.
【详解】由题意可得：粽子总数为11个，其中6个为甜粽，
所以选到甜粽的概率为：，
故选：D.
【点睛】本题考查了概率的基本运算，熟练掌握公式是关键.
3．D
【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
【详解】解：A、一颗质地均匀的骰子已连续抛投了201８次，其中抛掷出5点的次数最少，则第201９次可能抛掷出5点，故A错误；
B、某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票可能会中奖，故B错误；
C、天气预报说明天下雨的概率是50%，明天可能下雨，故C错误；
D、抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小．
4．B
【详解】试题解析：∵凸面向上”的频率约为0.44，
∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为0.44=44%，
故选B．
5．B
【分析】根据概率的求法，在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=，列式求解即可．
【详解】∵一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，
∴摸到白球的概率为，
∴摸到白球的频率为：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了概率的求法，熟悉掌握概率的计算方法是解题的关键．
6．A
【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．
【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，
设有草鱼x条，根据题意得：
＝0.5，
解得：x＝150，
该鱼塘中鱼的总数量为(条)，
故选：A．
【点睛】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼出现的频率可以计算出鱼的数量．
7．C
【分析】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式是解题的关键．
先求出三角形的面积，然后用概率公式计算．
【详解】解：正方形面积，
三角形的面积 ，
则落在内部的概率是．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
列表可得出所有等可能的结果数以及摸到一个红球和一个绿球的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
红 红 绿
红 （红，红） （红，绿）
红 （红，红） （红，绿）
绿 （绿，红） （绿，红）
共有6种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个绿球的结果有4种，
∴摸到一个红球和一个绿球的概率为．
故选：A．
9．A
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
【详解】解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①正确；
② ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②错误；
③ ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③正确；
D、 ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④错误．
故选：A．
【点睛】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
10．B
【分析】分别算出①②③三种情况的概率，即可得出可能性的大小．
【详解】解：①一次抛两枚硬币，共有四种情况，一枚正面朝上一枚反面朝上的概率为；
②两枚都是正面朝上的概率为；
③两枚都是反面朝上的概率为．
可以知道②与③是等可能的．
故选B．
11．C
【分析】利用列表法或树状图法分别计算出所求的概率，即可得答案．
【详解】A.两次摸球所有可能出现的结果，用表列举如下：
∵有9种等可能的结果，两次摸球颜色不同有4种，
∴两次摸球颜色不同的概率为．故该选项正确；
B.甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率也为，所以这个游戏规则对三人是公平的．故该选项正确；
C.设正面朝上为A，反面朝上为B，画树状图如下：

∴P（两枚正面朝上）（两枚反面朝上），
P（―枚正面朝上，一枚反面朝上）．故该选项错误；
D.等可能事件，每人抽签获奖的概率均为．故该选项正确，
故选C．
【点睛】本题考查了概率的意义、游戏的公平性；概率=所求情况数与总情况数之比；熟练掌握概率公式是解题关键．
12．A
【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据正方形的性质∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a，再利用四边形BEOF为正方形易得CF＝OF＝BF＝a，则S正方形BEOF＝a2，设正方形MNGH的边长为x，易得CM＝AN＝MN＝x，即3x＝a，解得x＝x，则S正方形MNGH＝a2，然后根据几何概率的意义，用两个小正方形的面积和除以正方形ABCD的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的概率．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a，
∵四边形BEOF为正方形，
∴CF＝OF＝BF，
∴S正方形BEOF＝（a）2＝a2，
设正方形MNGH的边长为x，
∵△ANG和△CMH都是等腰直角三角形，
∴CM＝AN＝MN＝x，
∴3x＝a，解得x＝a，
∴S正方形MNGH＝＝a2，
∴小鸟不落在花圃上的概率＝1﹣＝
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键.
13．白
【分析】本题考查了可能性大小的判断．由图可知，总共有块方砖，且白色方砖有块，黑色方砖有块，即可判断．
【详解】解：总共有块方砖，且白色方砖有块，黑色方砖有块，
小石子落在黑色地砖上的可能性为，小石子落在白色地砖上的可能性为，
，
小石子落在白色地砖上的可能性大，
故答案为：白．
14．
【分析】根据黄色所占的面积与圆的面积的比，计算概率即可；
【详解】解：∵黄色所占的总圆心角为120°+60°=180°，
∴黄色所占的面积为半圆的面积，
∴指针恰好落在黄色区域的概率是，
故答案为：；
【点睛】本题考查了几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．
15．
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果数，其中小明和小红被分到同一组的结果数为3个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
共有9个等可能的结果数，其中小明和小红被分到同一组的结果数为3个，
∴小明和小红被分到同一组的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．2.4
【分析】由概率估计图案在整副画中所占比例，再求出图案的面积.
【详解】估计宣传画上世界杯图案的面积约为3×2×0.4=2.4m2．
故答案为2.4
【点睛】本题考核知识点：几何概率. 解题关键点：由几何概率估计图案在整副画中所占比例.
17．
【分析】直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可；
【详解】设每个小正方形格子的长度都是1，
∴ 黑色区域的面积=6，游戏板的面积=16，
所以击中黑色区域的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．
18．(1)见解析
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查画树状图或列表法表示事件的等可能性，简单概率计算．
（1）根据题意列表法表示即可；
（2）根据（1）中列表计算出现的概率是否一致来判断是否公平即可．
【详解】（1）解：根据题意，列表如下：

由表格可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同．
（2）解：不公平，理由如下：
由（1）中表格可知，两次转盘指针所指数字之积为偶数的有5种，积为奇数的有4种，则小明胜的概率是，小亮胜的概率是．
，
这个游戏不公平．
19．(1)
(2)从这些卡片中随机抽取一张，估计它正面上的字母为A的概率为
【分析】（1）根据频率=频数÷实验次数，计算频率m的值即可；
（2）用频率估计概率，其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率，本题中正面上的字母为A的频率都在左右，估计正面上的字母为A的概率为．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵正面上的字母为A的频率都在左右，
∴从这些卡片中随机抽取一张，估计它正面上的字母为A的概率为．
【点睛】本题考查了频率的计算公式及利用频率估计概率，熟练掌握频率计算公式及利用频率估计概率的方法是解答本题的关键．频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率．
20．(1)40，25
(2)，，
(3)人
(4)．
【分析】（）用样本中“”的人数除以它的百分比即可求出调查人数，进而求出“”所占的百分比，即可确定的值；
（）根据加权平均数、中位数、众数的定义，分别求出即可；
（）求出大于的学生所占的百分比，即可求出答案；
（）画出树状图，根据树状图即可求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数、众数，用样本估计总体，用树状图或列表法求概率，通过统计图获取必要的信息是解题的关键．
【详解】（1）解：本次接受调查的初中学生人数为，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）平均数为
∵所占的百分比最多，
∴众数为；
∵本次接受调查的初中学生人数为人，
∴把数据从小到大排序后，中位数为第和第位的平均数，
∴中位数为；
故答案为：，，；
（3），
答：估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数为人；
（4）男生用，女生用表示，
画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中两人恰为一男一女的有种，
∴两人恰为一男一女的概率．
21．(1)84，，40
(2)九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据频数除以样本容量等于百分比，中位数，众数的定义解答即可；
（2）利用中位数进行决策解答即可；
（3）画树状图，求解即可．
【详解】（1）解：∵84出现了4次，最多，
∴众数为，
∵A等级有：(人)，B等级有(人)，C等级有(人)，D等级有8人且成绩为84，85，86，88，88，88，88，89．
∵中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，
∴中位数是，
根据题意，得，
故．
故答案为：84，，40．
（2）解：我认为九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．
理由如下：八、九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数也大于八年级成绩的众数，
九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．
（3）解：根据题意，有女生2名，男生2名．
画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种，
故一男一女的的概率是
【点睛】本题考查了百分比的计算，中位数，众数的计算和应用，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；注意此题要求采用列表法求解．求出符合题意的情况数占总情况数的多少即可；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）解：列表得：
（正，反） （反，反）
（正，正） （反，正）
∴一共有4种等可能情况，两次都是一正一反的有2种情况，
∴两次都是一正一反的概率是
（2）列表得：
（红，棕） （白，棕） （黄，棕）
（红，黑） （白，黑） （黄，黑）
（红，蓝） （白，蓝） （黄，蓝）
（红，绿） （白，红） （黄，红）
∴一共有12种情况，小明配出紫色（红色和蓝色）的有一种，
∴小明配出紫色的概率为
【点睛】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查事件的分类，树状图求概率：
（1）根据事件的分类进行判断，概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：“分给李某座位A”是随机事件；
分给李某座位有5种等可能情况，其中分给李某座位A的概率为；
（2）根据题意画树状图如下：

共有种等可能情况，其中相邻座位的情况数有种，
∴分给李某和张某相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率是．
24．（1）；（2）该游戏不公平．
【分析】(1)、根据概率的计算法则得出概率；(2)、根据题意进行列表，然后分别得出小明获胜和小华获胜的概率，从而得出答案.
【详解】(1)、根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为；
(2)、列表得：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=，
∵＞，
∴该游戏不公平．
考点：概率的计算
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