第一章特殊平行四边形随堂练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第一章特殊平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．四边相等的四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法判定
2．矩形的两边长分别是和，则它的对角线长是（ ）
A． B． C． D．6
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ）

A．OA=OB B．BD平分∠ABC C．AD⊥CD D．
4．如图，在矩形中，对角线和相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．正方形面积为，则对角线的长为（ ）
A．6 B． C．9 D．
7．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（ ）
A．AF=BC
B．四边形ACDE是矩形
C．图中与△ABC全等的三角形有4个
D．图中有4个等腰三角形
8．如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（ ）
A．（-2018，3） B．（-2018，3）
C．（-2020，3） D．（-2020，-3）
9．如图所示，把一张长方形纸片沿折叠后，点分别落在，的位置．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则(　　)
A． B． C． D．
11．如图，在菱形CDEF中，CD=6，∠DCF=120°，动点Q从点D出发以1个单位长度秒的速度沿DE方向向点E运动，同时动点P从点F出发沿FD方向向点D运动，它们同时到达目的地，则运动到多少秒时，QP=QO （ ）
A． B．3 C． 或 3 D．3或
12．如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
13．如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ．
14．如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B= °．
15．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为 ．
16．如图，四边形是菱形，点是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为 ．
17．如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
18．如图是矩形，，求这个矩形的周长和对角线的长．
19．已知：如图，在中，，D，E，F分别是的中点．求证：．
20．将两个正方形按如图所示摆放（、、三点共线），连接、、，已知大正方形的边长为4，求阴影部分的面积.
21．已知：如图，E是菱形ABCD内一点，，垂足为点F，且，联结AE．
(1)求证：菱形ABCD是正方形；
(2)当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的上．
22．如图，在中，于点E，延长至F点使，连接，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
23．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．
(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；
(2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长．
24．如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形ADCF的周长．
《第一章特殊平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C D B D D C C
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】本题考查的是菱形的判定，根据菱形的判定方法可得答案.
【详解】解：四边相等的四边形一定是菱形.
故选：B
2．B
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意，直角边分别为和，对角线为斜边，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：依题意，对角线长为，
故选：B．
3．B
【分析】根据矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
A、OA=OB，可判定四边形ABCD是矩形，故该选项错误；
B、∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，故该选项正确；
C、AD⊥CD，可判定四边形ABCD是矩形，故该选项错误；
D、由可得，可判定四边形ABCD是矩形，故该选项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的各判定及菱形的判定．
4．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质．根据矩形的对角线相等，可得．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质逐一判断即可，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵四边形是矩形，
∴，原选项说法正确，不符合题意；
、∵四边形是矩形，
∴，原选项说法正确，不符合题意；
、∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，原选项说法正确，不符合题意；
、∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴与不一定相等，原选项说法错误，符合题意；
故选：．
6．B
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．
【详解】设对角线长是x．则有
x2=36，
解得：x=6．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．
7．D
【详解】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，
∴AE=CD，AD=CE，
∵点B、A、E在同一条直线上，
∴AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，
∴△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，
∴图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；
∵BC=CE，
∴△BCE是等腰三角形，
∵四边形ACDE是矩形，
∴AF=EF=CF=DF，
∴△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，
∴图中有5个等腰三角形，故D错误；
故选D．
考点：1.平行四边形的性质；2.折叠的性质；3.等腰三角形的判定和性质
8．D
【解析】略
9．C
【分析】本题考查折叠求角度，涉及邻补角、对称性质和直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握对称性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
由对称的性质可知，
∴，
由对称的性质可知，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接，根据正方形的性质可证得，从而得出，，再证为等腰直角三角形，得出，．
【详解】如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，
又∵，
∴，
，，
，
，
即，
∴是等腰直角三角形，
，
，
故选：C．
11．C
【分析】分点P与点O重合和不重合两种情况求解．
【详解】在菱形CDEF中，，，
在中，，
点P的运动速度为：．
①当点P与点O重合时，，此时，；
②如图：当时，过点Q作于H，
，
∵在中，，，
∴
，
，
解得：．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
12．B
【分析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.
【详解】连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，
∵正方形的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点在上且，
∴AE=3，
∴DE=，
∴的周长=5+1=6，
故选：B.
【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算，依据对称性得到连接DE交AC于点F是的周长有最小值的思路是解题的关键.
13．
【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
根据矩形性质得，根据得为等边三角形，则，由此为等边三角形，则，进而得，然后在中由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点，
，
，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
．
故答案：．
14．30°．
【详解】解：∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，又CD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=30°．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和等边三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
15．3
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,
∴∠DAC＝∠CAB＝30°,
∴PE＝AP;
∵∠DAF＝60°,
∴∠ADF＝30°,
∴AF＝AD＝×6＝3;
∴DF＝3;
∵AP+PD＝PE+PD,
∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,
PE+DP的值最小，最小值为DF的长,
∴AP+PD的最小值为3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.
16．48
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答．
【详解】如图所示：
∵菱形的两条对角线的长分别为12和16，
菱形的面积，
∵是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
∴，四边形四边形，
四边形四边形，
∴阴影部分的面积，
故答案为：48．
【点睛】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键．
17．6
【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
18．矩形的周长为12，
【分析】连接，利用矩形周长公式和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，，
∴，这个矩形的周长为，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟知矩形的性质是解题的关键．
19．见解析
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理解答即可．
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】证明：，E是的中点，
．
，F分别是的中点，
是的中位线，
，
．
20．8
【分析】根据题中的条件，因为阴影部分的高和底无法直接得到，所以要求阴影部分的面积可以用整体的面积减去部分的面积求得. 但是我们只能知道大正方形的边长，所以可设小正方形的边长为a，最近通过化简计算，可以消掉a.
【详解】设小正方形的边长为a，则DE=4+a，
故答案为8
【点睛】本题解题关键是，只知道大正方形的边长时，不知道小正方的边长时，此时要大胆的去设小正方形的边长为一个代数a，再通过整体面积减部分面积得到阴影部分的面积，进行化简，最终可以消除a.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由菱形的性质得到BC=CD，根据HL定理证明Rt△BEC≌Rt△CFD得到∠BCE=∠CDF，进而证明∠BCD=90°即可得证；
（2）连结AF、DE，先利用线段垂直平分线的性质证得CD=DE=DA，再根据等腰三角形的性质证得∠AEB=∠AEF=135°，证明△AEB≌△AEF（SAS）得到AB=AF即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA，
∵，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
在Rt△BEC和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CFD（HL），
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠DCF=90°，即∠BCD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：连结AF、DE，
∵F为CE的中点，DF⊥CE，
∴DF垂直平分CE，
∴CD=DE=DA，
∴∠AED=（180°-∠ADE）=90°-∠ADE，
∠DEC=（180°-∠EDC）=90°-∠EDC，
∴∠AEF=∠AED+∠DEC=90°-∠ADE+90°-∠EDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=180°-×90°=135°，
∵∠BEC=90°，
∴∠AEB=360°-90°-135°=135°，
∴∠AEB=∠AEF，
∵Rt△BEC≌Rt△CFD，
∴BE=CF=EF，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（SAS），
∴AB=AF，
∴点F在以AB为半径的上．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、圆的定义等知识，综合性强，难度适中，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的判断，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理．
（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可；
（2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法即可．
【详解】（1）证明：在中，于点，延长至点使
∴
即
在中，且
∴且．
∴四边形是平行四边形
∵，
∴
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的面积
∴．
23．(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理求出BF，CF的长，设EF=DE=x，则CE=4-x，得出22+（4-x）2=x2，解方程即可得解；
（2）设EC=3x，则FC=4x，得出EF=DE=5x，设AF=AD=y，则BF=y-4x，在Rt△ABF中，得出（8x）2+（y-4x）2=y2，则y=10x，得出（10x）2+（5x）2=（）2，解出x的值，求出AD和AB的长，则答案可求出．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，
由折叠可知，AD=AF=5，DE=EF，
∴BF==3，
∴FC=BC-BF=5-3=2，
设EF=DE=x，则CE=4-x，
∵CF2+CE2=EF2，
∴22+（4-x）2=x2，
解得：x=，
∴DE=，
∴AE=；
（2）解：∵EC：FC=3：4，
∴设EC=3x，则FC=4x，
∴EF= =5x，
∴DE=5x，
∴AB=CD=8x，
设AF=AD=y，则BF=y-4x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴（8x）2+（y-4x）2=y2，
解得y=10x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
∴（10x）2+（5x）2=（）2，
解得x=或x=-（舍去），
∴AD=10x=2，AB=8x=，
∴矩形ABCD的周长为（2+）×2=．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
24．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）证△AEF≌△DEB得AF=DB，再证出DB=DC即可；
（2）先证明四边形ADCF是菱形，进而求出周长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵点E是AD的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD是BC边上的中线，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵，
∴，
∵AD是BC边上的中线，
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形ADCF为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴，
∴四边形ADCF的周长．
【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等，求周长的关键就在于得到四边形ADCF为菱形．
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