1.2矩形的性质与判定随堂练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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1.2矩形的性质与判定
一、单选题
1．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．矩形和菱形都具有的性质是（　　）
A．邻边相等 B．对边相等
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
3．如图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，矩形铁板的长为a，在左侧截掉一个最大的正方形．若剩余部分的周长为b，则a与b的关系为（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．如图， 对折矩形纸片 ， 使 与 重合， 得到折痕 ， 把纸片展平， 再一次折叠纸片， 使点 落在 上， 并使折痕经过点 ， 得到折痕 ， 同时得到线段 . 若 与 交点为 ， 则
A．1 B．2 C． D．
7．如图，中，E是中点，，过点B作于F，连接，若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
8．矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．四个角相等的四边形是矩形
10．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形ABCD 中，点 E 是AD 的中点，∠EBC 的平分线交CD 于点 F.将 沿EF 折叠，点D恰好落在BE 上点M 处，延长BC，EF 交于点N，有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN 是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF，其中，正确的是(　　).
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
13．如图，小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边分别交于点E，F，已知，则五边形的面积是 　 　 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝　 　.
16．如图，菱形的边长为4，，E为的中点，F为的中点，连接，则的长为　 　．
17．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为　 　.
三、解答题
18．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
19．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
（1）求双曲线；
（2）求的面积．
20．如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接．
（1）求的度数；
（2）取的中点，连接．若，，求的长．
21．已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点B落在边的点D处，已知B点坐标为．求：
（1）求D的坐标；
（2）求E的坐标．
22．中经过两条对角线的交点，分别交，于点，，在对角线上通过作图得到点，，如图1：以点为圆心，以为半径作弧，交于点，．如图2：过点作于点，过点作于点．请判断图1和图2中以点，，，为顶点的四边形的形状，并选择一个加以证明．
23．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G.
图1 图2 图3备用图
（1）如图1，当点E落在边上时，求直线的函数表达式；
（2）如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与、分别交于点H、M，求线段的长度.
（3）如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，点B到直线的距离是否存在最大值 若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由.
24．如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为边上的动点．
（1）将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，且点D，E分别是边的中点，线段_________．
（2）如图2，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，求的长．
参考答案
1．D
2．B
3．D
4．A
5．B
6．B
7．D
8．D
9．D
10．B
11．C
12．B
13．375
14．
15．35°
16．
17．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，
由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm．
在△CEF中，CF＝=4cm，
设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝（x+4）cm．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
19．（1）
（2）1
20．（1）
（2）
21．（1）点坐标为；
（2）点坐标为．
22．解：在平行四边形中，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
由图1作图可得，
∴图1以点F，M，E，N为顶点的四边形为矩形；
由图2作图可得，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴图2以点F，M，E，N为顶点的四边形为平行四边形，
23．（1）解：∵矩形，点，∴，，，∵矩形是由矩形旋转得到，∴，.
在中，，∴，∴，，∴直线表达式为，
设的函数表达式为，由，得，∴，解得，∴得函数表达式为；
（2）解：如图，过点M作与N，连接、，
∵矩形是由矩形旋转得到，∴，，
∴，∵，
∴四边形是知形，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∵，，∴，
∴，∵，∴，∴，
设，在中，，∴；
解得，∴，∴，∴，∴；
（3）解：在矩形旋转过程中，点B到直线的距离存在最大值，这个最大值是，理由如下：当在O的左侧且时，B到直线的距离最大，设于的交点为M，如图：
∵P为的中点，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴点B到直线的距离最大值是.
24．（1）
（2）或
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