1.3正方形的性质与判定随堂练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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1.3正方形的性质与判定
一、单选题
1．如图，正方形ABCD中， AC、BD交于点O，则图中的等腰直角三角形有（　　）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
2．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，平行四边形ABCD，从下列四个条件①，②，③，④中选两个作为补充条件，不能确定平行四边形ABCD为正方形的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
4．如图，正方形中，绕点A逆时针旋转到，旋转角，连接并延长至点F，使，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD边长为10，点M在对角线AC上运动，N为DC上一点，DN＝2，则DM+ MN长的最小值为（　　）
A．8 B．10 C． D．
7．如图，把正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形，和分别交AB于点E，F，在正方形旋转过程中，的大小（　　）．
A．随着旋转角度的增大而增大 B．随着旋转角度的增大而减小
C．不变，都是60° D．不变，都是45°
8．如图，点E、F、G分别是正方形的边、、上的点，连接，，．且，，的度数为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（　　）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10． 如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
11．如图，正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，，连接DE，DF，EF，M为中点，连接DM，CM．若，则（　　）
A． B． C． D．
12．如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，过作，交于，过作于，若，，则下列结论中：
①；②；③，其中结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
13．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为　 　．
14．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是　 　．
15．如图，在正方形中，E，F分别是上一点，，，点M，N分别是和的中点，连接．
（Ⅰ）线段的长为　 　．
（Ⅱ）线段的长为　 　．
16．如图，为等腰直角三角形，，点A坐标为，点坐标为，则点坐标为　 　．
17．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为 　 　．
三、解答题
18．如图，是正方形的对角线，经过旋转后到达的位置 .
（1）指出它的旋转中心；
（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
（3）分别写出点、、的对应点．
19．先画出一个直径是4厘米的圆，再在这个圆中画一个最大的正方形，并计算出正方形的面积．
20．如图，四边形是正方形，延长到点，使，求的度数．
21．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．
22．如图1，O为正方形ABCD对角线的交点，点E，F在正方形边BC，CD上，，连接OE，OF，EF．
（1）求证：；
（2）如图2，若M为CD的中点，N为BC的中点，MN与EF交于点K，请探究点K是否平分EF，说明理由．
23．如图，是正方形对角线上一点，，垂足分别是点、
（1）求证：；
（2）若，，求正方形的边长．
24．如图，四边形 ABCD 为正方形，E 为线段AC 上一点，连结 DE，过点 E作EF⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.
（1）求证：矩形DEFG 是正方形；
（2）若AB=2，CE= ，求 CG的长度；
（3）当线段 DE与正方形ABCD 的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数.
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．A
5．C
6．C
7．D
8．C
9．C
10．B
11．D
12．D
13．1
14．
15．；
16．
17．
18．（1）点
（2）旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度
（3）点、、
19．8平方厘米
20．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥ BC，∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC= 180°．
∵∠CAD=∠DBC，∴∠BAD=∠ABC，∴2∠BAD=180°，∴∠BAD=90° ，∴四边形ABCD是正方形．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC= BD，CO=AC，DO=BD，∴∠COB= ∠ DOC= 90° ，CO=DO．
∵DH∠ CE ，垂足为H，∴∠DHE=90°，∠EDH+∠DEH= 90°．
∵∠ECO+∠DEH=90°，∴∠ECO=∠EDH．
在△ECO和△FDO中
∴△ECO≌△FDO( ASA) ，∴OE=OF．
22．（1）证明：∵O为正方形ABCD对角线的交点，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
同理可得∠OCD=45°，
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴∠BOE=∠COF，
∴∠BOE+∠EOC=∠COF+∠EOC，
∴∠BOC=∠EOF，
∵∠BOC=90°，
∴∠EOF=90°；
（2）解：点K是否平分EF，理由：
过点E作EQ⊥BC交直线MN于点Q，
∵M为CD的中点，N为BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN∥BD，
∴∠MNC=∠DBC=45°，∠NMC=∠BDC=45°，
∴∠ENQ=∠MNC=45°，
∵EQ⊥BC，
∴∠QEN=90°，
∴∠EQN=∠ENQ=45°，
∴EQ=EN，
∵BN= BC= CD=CM，BE=CF，
∴EN=FM，
在△KEQ和△KFM中，
∴△KEQ≌△KFM（AAS），
∴KE=KF，即点K平分EF．
23．（1）证明：连接．
四边形是正方形，，，
，
四边形为矩形．
．
又为正方形的对角线，
．
在和中
，
≌．
．
．
（2）解：过点作于点，
，，
，．
是正方形的对角线，
，
，
，即正方形的边长为．
24．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在△EQF和△EPD中，
∴△EQF≌△EPD(ASA)，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形
（2）解：如图
在Rt△ABC中，，
∵
∴AE=CE.
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知.
（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE=30°，
则∠CDE=90°-30°=60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC=360°-90°- 90°- 60°=120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=30°，如图所示：
∵∠HCF=∠DEF=90°，∠CHF=∠EHD，
∴∠EFC=∠CDE=30°，
综上所述，∠EFC=120°或30°
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