2.1认识一元二次方程随堂练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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2.1认识一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
2．关于的一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是（　　）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．±2
4．下列方程：①，②﹣2=0，③，④中，一元二次方程的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．如果不为零的n是关于x的方程的根，那么的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为
A． B．0 C．1 D．或1
8．方程（m-1）x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程，则有（ ）
A．m=1 B．m=-1 C．m=±1 D．m≠±1
9．方程x2－=(－)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是（）
A． B．－
C． D．
10．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
11．下列说法中，正确的是（ ）
A．形如ax2+bx+c=0的方程叫做一元二次方程
B．方程4x2+3x=6不含常数项
C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项均不能为0
D．（2-x）2=0是一元二次方程
12．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（　　）
A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜
二、填空题
13．当 时，是关于的一元二次方程．
14．若关于x的一元二次方程的一个根是x=1，则m的值是 ．
15．若x＝－1是方程的根，则a＋b＋c＋2022的值为 ．
16．若关于的方程 是一元二次方程，则 ．
17．一般形式：一元二次方程的一般形式是 ；其中a，b，c是已知数，且a≠ .
三、解答题
18．已知关于x的一元二次方程的一个根是3，求a的值．
19．将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
20．把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
21．已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？
22．已知、、是的三条边长，若为关于的一元二次方程的根．
（1）是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
（2）若代数式子有意义，且为方程的根，求的周长．
23．（1）判断下列未知数的值是不是方程2x2+x-1=0的根.
x1=-1，x2=1，x3=.
（2）已知m是方程x2-x-2=0的一个根，求代数式m2-m的值.
24．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值.
《2.1认识一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A A D A B D B
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键．
根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为，
故选：D ．
2．C
【分析】根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可．
【详解】解：一元二次方程的一次项为，
系数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．
3．C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，
∴m2﹣1＝0且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值.
4．A
【分析】根据一元二次方程的定义即可解题.
【详解】解：①，是一元二次方程,
②﹣2=0,不是一元二次方程,分母含有未知数，
③，不是一元二次方程,是二元二次方程,
④,不是一元二次方程,是一元三次方程,
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的概念是解题关键.
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
∴，
故选：．
6．D
【分析】把x=n代入，在等式两边同除以n，即可求解．
【详解】解：把x=n代入，得：，
∵n≠0，
∴，即：=1，
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义以及等式的基本性质，掌握“使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解”是解题的关键．
7．A
【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
【详解】解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选：A．
8．B
【详解】根据一元二次方程的定义，要求 ，解得：m=-1.故选B.
9．D
【分析】把一元二次方程变形为标准形式，再把各项系数相加．
【详解】方程x2－=(－)x化为一般形式为x2－(－)x－=0，系数相加为1－(－)－．
.所以答案选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟悉一元二次方程的变形是本题的解题关键．
10．B
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是一元二次方程0的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．D
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【详解】解：A、形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程叫一元二次方程，故此选项错误；
B、方程4x2+3x=6可变形为4x2+3x-6=0含有常数项，故此选项错误；
C、一元二次方程中，二次项系数不能为0，故此选项错误；
D、（2-x）2=0是一元二次方程，故此选项正确.
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
12．C
【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围．
【详解】解：将代入方程得，
∴x≠0，
∴原方程可化为，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
14．0
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解该方程即可求得m的值．
【详解】解：∵x=1是关于x的一元二次方程得1–1– m=0，
解得，m=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15．2022
【分析】根据x=-1是方程ax2-bx+c=0根，得到a+b+c=0，整体代入即可求得答案．
【详解】解：∵x=-1是方程ax2-bx+c=0根，
∴a+b+c=0，
∴原式=0+2022=2022，
故答案为：2022．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
`
16．3
【分析】根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有x的次数是2，即，系数不等于0，即m+3≠0，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，
解得或，
又因为，
所以，
因此符合题意．
故答案为：．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
17． ax2+bx+c=0 0
【分析】根据一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件即可解答．
【详解】解: 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0.
故答案为(1). ax2+bx+c=0 (2). 0
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
18．
【分析】将代入方程，求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解，是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
19．；4，，22
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．把方程变形为一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：原方程可以化为，
二次项系数是4，
一次项系数是，
常数项是22．
20．二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：，
，
∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
21．2
【详解】解：m(x－1)2＝－3x2＋x，
mx2-2mx+m+3x2-x=0，
(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，
二次项系数为：m+3，一次项系数为：-（2m+1），
由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.
22．（1）是等腰三角形，不是等边三角形，理由详见解析；（2）7
【分析】（1）根据方程的解的定义把代入方程，可得，根据一元二次方程的定义可知，所以不是等边三角形是等腰三角形；
（2）根据二次根式的意义可知，，所以，所以，解方程，结合可求得，所以的周长为．
【详解】（1）是等腰三角形，不是等边三角形；
理由如下：
为方程的根，
，
，
、、是的三条边长
为等腰三角形，
，
，
不是等边三角形；
（2）依题意，得，
，
，
解方程得，；
为方程的根，且，
的值为，
的周长为．
【点睛】主要考查了一元二次方程解的定义，等腰三角形的判定和二次根式的意义；要会利用方程的解和几何图形结合起来，利用数形结合的思想进行解题．
23．（1）x1=-1和x3=是方程的根；（2）2.
【分析】（1）利用方程解的定义找到相等关系．即将未知数分别代入方程式看是否成立．
（2）一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2-m的值．
【详解】解：（1）当x1=-1时，2x2+x-1=2-1-1=0，所以x1=-11是方程2x2+x-1=0的解；
当x2=1时， 2x2+x-1=2+1-1=2，所以x2=1不是方程2x2+x-1=0的解；
当x3=.时，2x2+x-1=+-1=0，所以x3=.是方程2x2+x-1=0的解.
（2）把x=m代入方程x2-x-2=0可得：m2-m-2=0，
即m2-m=2，
故m2-m的值为2．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是熟记定义．
24．0
【分析】将x=-1代入原方程即可求得a、b、c之间的关系，根据二次根式的性质可求出a的值，进而求出c的值，再根据a、b、c之间的关系求出b的值，代入原式求值即可得答案.
【详解】∵a＝＋－2，
∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.
又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a－b＋c＝0，
∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.
∴原式＝＝0.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，本题需注意当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
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