2.2用配方法求解一元二次方程随堂练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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2.2用配方法求解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若方程可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．把方程化成的形式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，应该把方程两边同时（ ）
A．减36 B．加36 C．减9 D．加9
4．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．用配方法解方程时，方程的两边都应加上（　　）
A．3 B．1 C．2 D．5
7．已知x＝a时，多项式的值为﹣4，则x＝﹣a时，该多项式的值为（ ）．
A．0 B．6 C．12 D．18
8．方程4x2－0.3=0的解是( )
A． B．
C． D．
9．若方程x2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的( )
A．1 B．4 C． D．
10．无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
11．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（ ）
A． B．
C． D．
12．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．一元二次方程 的根是 ．
14．一个直角三角形的两条直角边长之比为，斜边长为26，则这个直角三角形的面积为 ．
15．
16．方程的根为 ．
17．若方程(x－a)2＝b的解是x1＝1，x2＝3，则a＝ ，b＝ ．
三、解答题
18．解方程：．
19．选择适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
20．已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
21．阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________；
(2)用配方法因式分解：；
(3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值．
22．用配方法解方程；
23．已知当x=2时，二次三项式的值等于4，那么当x为何值时，这个二次三项式的值是9？
24．解方程：
(1)（用配方法）
(2)（用配方法）
《2.2用配方法求解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B A B C D D B
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】若方程可以直接用开平方法解，则，从而可得答案．
【详解】解：由题意知，．
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握能够用直接开平方法解的一元二次方程的特点是解本题的关键．
2．D
【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法-配方法，本题属于基础题型．
根据配方法写成的形式再代入计算即可求出答案．
【详解】解：方程整理得：，
配方得：，即，
，，
则．
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据题意可知只需要把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上9即可，据此可得答案．
【详解】解：中一次项系数一半的平方为：，
应该把方程两边同时加9，即 ，
故选D．
4．B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】解：，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用直接开平方解一元二次方程成为解题的关键．
直接运用直接开平方解一元二次方程即可．
【详解】解：，
所以，
所以、．
故选：A．
6．B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【详解】解：用配方法解方程时，方程的两边都应加上1．
故选：B．
7．C
【分析】先将代入多项式，进而根据多项式的值为得出，再根据平方的非负性即得，的值，最后代值计算即得．
【详解】∵时，多项式的值为
∴
∴
∴，
∴当时，
∴当时，该多项式的值为12
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式及多项式求值，解题关键是观察式子，确定式子中含有的完全平方式的展开式，熟知完全平方公式．
8．D
【分析】先移项、二次项系数化为1，然后利用数的开方解答．
【详解】解：移项得，4x2=0.3，
系数化1，x2=，
∴x1＝，x2＝ ；
故选D．
【点睛】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
9．D
【详解】因为x2=m，所以x=±，x是有理数，所以m不能取.
故选D.
10．B
【分析】首先判断出：﹣x2+3x+m＝﹣（x﹣3）2+m+，然后根据偶次方的非负性质，可得-（x﹣3）2+m+≤m+，再根据无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，推得m+＜0，据此判断出常数m的取值范围即可．
【详解】解：∵﹣x2+3x+m＝﹣（x2﹣6x+9）+m+＝﹣（x﹣3）2+m+
∵﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2+m+≤m+，
∵无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，
∴m+＜0，
解得m＜﹣．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用，将多项式进行配方是解此题的关键．
11．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答．
【详解】解：，
；
按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．
故选：B
12．D
【分析】利用题干中的方法将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，利用整数或整式的性质对每个结论进行判断即可．
【详解】解：∵为负整数，
为负整数，
故①的结论正确；
∵，
又，
∴，且有最小值2，
∴有最大值3，
∴，
∴②的结论正确；
∵，
∴m＝x＋2，n 6＝ （x＋2），
∴m＝x＋2，n＝4 x．
∴m2＋n2＋mn
＝(m＋n)2 mn
＝36 （ x2＋2x＋8）
＝x2 2x＋28
＝(x 1)2＋27，
∵(x 1)2≥0，
∴m2＋n2＋mn有最小值为27，
∴③的结论正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减法，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键．
13．，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解．
【详解】解：
，，
故答案为：，．
14．120
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，勾股定理的运用．根据比例问题由勾股定理建立方程求出两直角边的长度，再由面积公式就可以求出结论．
【详解】解：设每份为，则两直角边分别为，，由勾股定理，得
，
解得：（舍去），．
两直角边分别为：10，24．
直角三角形的面积为：．
故答案为：120．
15．
【分析】根据完全平方公式：即可得出结论．
【详解】解：
故答案为：；．
【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
16．，
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
∴，
解得，，，
故答案为：，．
17． 2 1
【详解】根据题意得解得a=2，b=1.
故答案为(1). 2；(2). 1.
点睛：本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，把已知的方程的两个解代入到原方程中，即可得到关于a，b的方程组，消元后，则可用直接开平方法解方程求得a的值，再代入以原方程求b.
18．，
【分析】由原方程得到，利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【详解】解：由原方程，得：
，
直接开平方，得：
，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先将常数项移项，然后直接开平方法解一元二次方程；
（2）两边同时除以2，然后根据直接开平方法解一元二次方程；
（3）直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∴，
解得；
（2）解：，
∴，
即，
解得：；
（3）解：，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义．
（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程，
则且．
解得；
（2）解：方程是一元二次方程，
则，
解得．
21．(1)4
(2)
(3)当时，多项式有最大值，最大值为20
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键．
（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可；
（2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：4；
（2）解：
；
（3）解：
，
，
，
，
当时，多项式有最大值，最大值为20．
22．，
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可．
【详解】解：，
，
配方得，
∴
∴
∴，
∴，．
23．或
【详解】试题分析：
先由“当x=2时，二次三项式的值等于4”这一条件解出“m”的值；再把求得的“m”的值代入代数式“”，由这个代数式的值为9列出方程，解方程即可.
试题解析：
把x=2代入方程，
得：，解得：m=2，
把m=2代入中得：，
解此方程得：或.
∴当或时，二次三项式的值是9.
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先化系数为，再根据配方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴
∴，
∴，
解得．
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