2.3用公式法求解一元二次方程随堂练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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2.3用公式法求解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
2．已知方程在□中添加个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是（ ）
A． B． C． D．
3．不解方程，判断下列方程中无实数根的是( )
A．＋4x－1＝0 B．－x＋＝0
C． D．＋x＋1＝0
4．如图，等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边△EDC．若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m＝0的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值范围（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0
7．方程 的判别式定义零，则该方程有 （ ）．
A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；
C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根．
8．对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（　　）
A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④
9．对于实数m、n定义运算“☆”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．若关于x的方程有实数根，则m的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有两个实数根
二、填空题
13．若关于x的方程x2+k=6x(k为常数)没有实数根，则k的取值范围是 .
14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
15．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是 .
16．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，那么方程的根的情况是 ．
17．一元二次方程有两个相等的实数根，点、是一次函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）．
三、解答题
18．解下列方程
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）
19．用公式法解方程：．
20．若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围．
21．定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：．
(1)求关于x的方程的根；
(2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围．
22．m为何值时，方程2(m+1)x2+4mx+2m－1=0．
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根；
(3)有两个相等的实数根； (4)无实数根．
23．解下列方程：
(1) 2(x＋1)2－8＝0;
(2) x2－3x－1＝0(配方法)；
(3) 3x2－5x＋1＝0(公式法)．
24．解方程：
《2.3用公式法求解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C B D B B A D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，利用一元二次方程的判别式判断根的情况是解题的关键．对方程变形为，再利用一元二次方程的判别式判断根的情况即可求解．
【详解】解：，
，
，，，
，
方程没有实数根．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．设□中的数字为，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：设□中添加的数字为，
则方程为，
根据题意得：，且，
解得：，且，
符合题意的只有选项B．
故选：B．
3．D
【分析】根据△与0的大小关系判断根的情况．
【详解】解：A、△＝16＋4＝20＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝1 1＝0，方程有两个相等的实数根；
C、△＝2+16＞0，方程有两个不相等的实数根．
D、△＝1－4＝－3＜0．方程无实数根，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
4．C
【分析】先由根的判别式求出m的取值范围，再求出m的值，再解这个方程x2-15x+7m=0，就可以求出x的值从而得出BC、CD的值，进而可以得出结论．
【详解】解：由题意，得
225﹣28m≥0，
解得：m≤．
∵m为最大的整数，
∴m＝8．
∴x2﹣15x+56＝0，
∴x1＝7，x2＝8．
当BC＝7时，CD＝8，
∴点D在BA的延长线上，如图1．
当BC＝8时，CD＝7，
∴点D在线段BA上，有两种情况，如图2，在D和D′的位置．
∴综上所述，不同D点的位置有3个．
故选C．
【点睛】本题考查根的判别式的运用，一元一次不等式的解法解运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出m的值是解答一元二次方程的关键．
5．B
【分析】根据根的判别式进行计算即可；
【详解】根据一元二次方程得，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根；
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
6．D
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且Δ=（2m-4）2-4m×（m-2）≥0，然后求出m的范围后对各选项进行判断．
【详解】解：根据题意得m≠0且Δ=（2m-4）2-4m×（m-2）≥0，
解得m≤2且m≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．B
【分析】根据方程根的判别式的值等于0，得到方程有两个相等的实数根．
【详解】解: ∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式b2-4ac=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选B.
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；等于0，方程有两个相等的实数根；小于0，方程没有实数根．
8．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案．
【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意；
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意；
③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；
④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意．
正确的结论为②④，
故选：B．
9．A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算法则列出方程，再由根的判别式进行判断即可．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
∴
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
10．D
【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式，然后解关于的不等式，即可求出的范围，再根据选项判断即可．
【详解】解：∵关于的方程有实数根，
∴
∴或，
选项中，只有3满足条件，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
11．C
【分析】方程有实数根，应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程，两种情况进行讨论，当不是一元二次方程时，a-6=0，即a=6；当是一元二次方程时，有实数根，则△≥0，求出a的取值范围，取最大整数即可．
【详解】解：当a-6=0，即a=6时，
方程是-8x+6=0，
解得x=；
当a-6≠0，即a≠6时，
△=（-8）2-4（a-6）×6=208-24a≥0，
解得≈8.6，
取最大整数，即a=8．
故选C．
12．B
【分析】先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．
【详解】解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，
∵a﹣b＝3，
∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，
b＜﹣2，b2﹣4（3+b）= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6)
∵b+2＜0， b-6＜0，
∴(b+2)(b-6) ＞0，
所以，原方程有有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．
13．k＞9
【分析】根据根的判别式得到△=36-4k＜0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得△=36-4k＜0，
解得k＞9．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，首先考虑是一元一次方程的情况，再考虑是一元二次方程时，利用时有实数根得出不等式即可．
【详解】解：当方程是一元一次方程时，可得；
当方程是一元二次方程时，
∵关于x的方程有实数根，
∴，，
∴且，
综上，m的取值范围是，
故答案为：．
16．有两个不相等的实数根
【分析】求出方程对应的判别式，根据三角形三边关系得到，即可得出结论.
【详解】解：一元二次方程对应的判别式，
∵在三角形中，两边之和大于第三边，即，
∴，即，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为有两个不相等的实数根.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
17．＞
【分析】首先根据题意和一元二次方程根的判别式，即可求得m的值，再根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得m=4，
一次函数的解析式为，
，
一次函数的图象中，y随x的增大而减小，
点、是一次函数上的两个点，且，
，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象和性质，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及一次函数的性质是解决本题的关键．
18．(1)，
(2)，
【分析】使用一元二次的解法即可求出答案．
【详解】（1）解：
移项，得，
配方，得，
根据平方根的意义，得
，
即或，
即，
（2）解：，
，，，
，
，
，
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次的解法，本题属基础型．
19．＝，＝
【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
这里a＝2，b＝﹣8，c＝3，
∵，
∴x＝＝＝，
∴＝，＝．
【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，牢记公式是解题关键．
20．且
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△=（6）24k×9≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得
k≠0且△=（6）24k×9≥0，
解得：k≤1且k≠0．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b24ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
21．(1)，
(2)且
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键．
（1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可；
（2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决．
【详解】（1），
，
．
，
，
，
（2）
，
整理得：．
方程有两个实数根，
且，
解得：且
22．(1) m≠-1且m＜1 ;(2) m≠-1且m≤1 ;(3) m=1 ;(4) m＞1.
【分析】(1)当2(m+1)≠0且△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当2(m+1)≠0且△≥0时，方程有两个实数根；
(3)当2(m+1)≠0且△=0时，方程有两个相等的实数根；
(4)当2(m+1)≠0且△＜0时，方程无实数根.
【详解】(1)由题意可知2(m+1)≠0，则m≠-1，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴△=b2-4ac=16m2-8(m+1) (2m－1)=8-8m＞0，
解得m＜1，
综上，当m≠-1且m＜1时，方程有两个不相等的实数根.
(2) 由题意可知2(m+1)≠0，则m≠-1，
∵方程有两实数根，
∴△≥0，
∴△=b2-4ac=16m2-8(m+1) (2m－1)=8-8m≥0，
解得m≤1，
综上，当m≠-1且m≤1时，方程有两个实数根.
(3) 由题意可知2(m+1)≠0，则m≠-1，
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴△=b2-4ac=16m2-8(m+1) (2m－1)=8-8m=0，
解得m=1，
综上，当m=1时，方程有两个相等的实数根.
(4) 由题意可知2(m+1)≠0，则m≠-1，
∵方程方程无实数根，
∴△＜0，
∴△=b2-4ac=16m2-8(m+1) (2m－1)=8-8m＜0，
解得m＞1，
综上，当m＞1时，方程无实数根.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系.
23． (1)x1＝1，x2＝－3；(2)x1＝，x2＝；(3)x1＝，x2＝.
【分析】(1)变形成x2=a的形式，直接开平方解；
(2) 把常数项-1移项后，然后进行配方，最后求出方程的解即可；
(3) 首先找出a，b和c的值，然后利用公式法求出方程的解．
【详解】（1）∵2（x+1）2-8=0，
∴（x+1）2=4，
∴x+1=±2，
∴x1=-3，x2=1；
(2）∵x2-3x-1=0，
∴x2-3x+=1+，
∴,
∴,
∴x1=;
(3) ∵3x2-5x+1=0，
∴a=3，b=-5，c=1，
∴b2-4ac=25-12=13，
∴x=
∴x1=.
【点睛】考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
24．解：原方程化为：x2－4x=1
配方，得x2－4x+4=1+4
整理，得（x－2）2=5
∴x－2=,即，．
【详解】解一元二次方程．根据一元二次方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法．
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