2.4用因式分解法求解一元二次方程随堂练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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2.4用因式分解法求解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．解方程较为合适的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
2．一元二次方程x2－2x＝0的解是(　 　)
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0或x2＝2 D．无实数解
3．方程的解是（　　）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．4或 B．4 C． D．
5．已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（　　）
A．16 B．22 C．24 D．16或22
6．三角形两边长分别为4和5，第三边是方程的根，则三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
7．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
8．关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除 以得 整理得 ∵，， ， ∴， ∴， ∴， 整理得， 配方得 ， ∴， ∴， ∴， 移项得 ， ∴， ∴或， ∴，
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．已知关于的方程的根都是整数，其中是实数，则可取的值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．小虎同学在一次测验中解答的填空题：①若，则；② 方程的解为；③ 若，令，则或-1；④ 经计算整式与的积为，则一元二次方程的所有根是，．则其中答案完全正确的是（ ）
A．① ③ ④ B．② ③ ④ C．③ ④ D．④
11．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2
12． 因式分解结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知△ABC 的一边长为 10，另两边长分别是方程 x2 14 x 48 0 的两个根若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是 ．
14．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x1＝x2＝ ．
15．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是 ．
16．若，则 ．
17．因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）方程右边化为 ；
（2）将方程左边化为两个 的相乘；
（3）分别使各个一次因式 ，得到两个一元一次方程；
（4）解所得的 ；
（5）写出方程的解．
三、解答题
18．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
19．解方程
(1)
(2)（用配方法）
(3)
(4)
20．按照指定方法解下列方程：
(1)（公式法）；
(2)（配方法）；
(3)（因式分解法）．
21．解方程：
(1)；
(2)．
22．（1）；
（2）．
23．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
24．解方程：
(1)；
(2)．
《2.4用因式分解法求解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B B A A D C D
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】用因式分解法中的提公因式进行分解即可解方程；
【详解】解：根据因式分解法得；，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，根据方程判断出最快的解法是解题的关键．
2．C
【分析】根据提公因式法可以解答此方程，本题得以解决.
【详解】，
，
解得：，.
故选：.
【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法.
3．B
【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键．
4．B
【分析】把看成一个整体，化简方程得到，利用因式分解法得出的值，再根据，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用整体思想是解题的关键，本题需注意．
5．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，正确的解一元二次方程是解题的关键．先解一元二次方程，根据三边关系确定第三边的长，进而求得三角形的周长．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∵第三边的长为二次方程的一根，
∴边长4，4，8不能构成三角形，
∴三角形的三边为：4，8，10，
∴三角形的周长为，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边数量关系，根据因式分解法求一元二次方程得，再根据三角形三边数量关系分类讨论，即可求解．
【详解】解：，
因式分解得，，
解得，，
当第三边为时，，能构成三角形，
∴周长为；
当第三边为时，，不能构成三角形，不符合题意，舍去；
∴三角形的周长为13，
故选：A ．
7．A
【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
【详解】解方程，得：或，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选A．
【点睛】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则
8．D
【分析】按照一元二次方程的解法逐项进行判断即可．
【详解】解：A．忽略了这种情况，同时也不符合解一元二次方程的方法，故选项错误，不符合题意；
B．一元二次方程必须是一般形式才能用公式法求解，故选项错误，不符合题意；
C．把一元二次方程的一般形式的常数项移到右边后，配方法应该是两边都加上一次项系数一般的平方，等式两边应该加4，故选项错误，不符合题意；
D．移项后，把方程左边提取公因式进行因式分解，用因式分解法解方程，过程正确，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握各种解法的步骤是解题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的根的概念，因式解法求一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键，根据关于x的方程的根为整数，分类讨论，当时，运用因式分解求一元二次方程的根；当时，解一元二次方程得，，结合题意判定是否符合题意；由此即可求解．
【详解】解：①当时，即和时，
由原方程，得,
解得，，，
∴，，
∴，
整理得，
∴，
∵关于的方程的根是整数，，
∴或或或，
当时，，方程无解；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，或或；
②当时，
解得，，，
当时，方程为，解得，
当时，方程为，解得，
因此，也可以；
综上所述，满足条件的值共有个．
故选：C．
10．D
【分析】对各个方程一一计算看是否是所给答案，由此判断即可．
【详解】①，故①错误；
②，即
，或 ，故②错误；
③若，令
或
，故③错误；
④=（）（）=0
或，故④正确，
故选D.
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法．
11．D
【分析】根据因式分解法，可得答案．
【详解】解：因式分解，得
（x-2）（x+1）=0，
于是，得
x-2=0或x+1=0，
解得x1=-1，x2=2，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
12．D
【详解】根据因式分解的方法，可提公因式（x-3）为：（x-3）（2x-5）.
故选D.
点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.
13．5
【分析】求出方程的解，根据勾股定理的逆定理得出三角形ABC是直角三角形，根据已知得出圆形正好是△ABC的外接圆，即可求出答案．
【详解】解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，
即△ABC的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°
∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，
则该圆形纸片正好是△ABC的外接圆，
∴△ABC的外接圆的半径是AB=5，
故答案为5．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形的外接圆与外心，解一元二次方程的应用．
14．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，即，即，求出k的值，再代入原方程解出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
原方程可化为，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根时，即是解题的关键．
15．3或﹣3
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【详解】当x≥﹣x，即x≥0时，
∴x=x2﹣6，
即x2﹣x﹣6=0，
(x﹣3)(x+2)=0，
解得：x1=3，x2=﹣2(舍去)；
当x＜﹣x，即x＜0时，
∴﹣x=x2﹣6，
即x2+x﹣6=0，
(x+3)(x﹣2)=0，
解得：x3=﹣3，x4=2(舍去)．
故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=3或﹣3．
故答案为：3或﹣3．
【点睛】考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．
16．4
【分析】先设，原方程可化为，解此一元二次方程，再验根即可．
【详解】解：设，原方程可化为，
化为一般式得：，
解得：t=4或t=-2，
∵，
∴t=4，
∴4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程．
17． 0 一次因式 等于0 两个一元一次方程
【解析】略
18．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，；
(5)，；
(6)，；
(7)，；
(8)，
【分析】（1）利用开平方即可求解，（2）、（5）、（6）、（8）利用因式分解法求解即可，（3）、（4）、（7）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：196x2－1 ＝ 0，
移项，得196x2＝ 1，
直接开平方，得14x＝，
x＝，
∴原方程的解为，；
（2）解：，
原方程化为，
，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∵，，，
∴>0，
∴，
，；
（4）解：原方程化为，
∵，，，
∴>0，
∴ ，
∴，；
（5）解：，原方程化为，
因式分解，得，
∴或，
∴，；
（6）解：原方程化为，
∴或，
∴，；
（7）解：原方程化为，
∵，，，
∴>0，
∴，
∴，；
（8）解：原方程化为，
∴或，
∴，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法是解题的关键．
19．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
移项得，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
移项得，
配方得，即，
∴，
∴或，
解得：，；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，配方法，因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（3）解：方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）先运用直接开平方法求得，进而求得x即可；
（2）直接运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
开平方，得，
解得：；
（2）解：，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．
22．（1），；（2），
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法．
23．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）方程左边利用完全平方公式变形，再直接开平方即得出两个一元一次方程，求解即可；
（3）方程整理，再利用因式分解法解方程即可；
（4）将分式方程改为整式方程，再根据公式法求一元二次方程的解，最后检验即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：
整理，得：
∴或
∴；
（3）解：
整理，得：
∴；
（4）解：
方程两边同时乘，得：，
整理，得：
∴，
经检验是原分式方程的根，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查解一元二次方程和解分式方程，掌握解一元二次方程和解分式方程的步骤和方法是解题关键．
24．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用直接开平方法解方程即可．
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
，；
（2）解：
或，
，．
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