2.5一元二次方程的根与系数的关系随堂练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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2.5一元二次方程的根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若一元二次方程的两根是m，n，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的两根，，则下列式子中正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
3．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（ ）
A．1和2 B．和2 C．2和 D．和
4．方程的两个根是2和－4，那么= ，= . （ ）
A．m＝－2，n＝8 B．m＝－2，n＝－8 C．m＝2，n＝8 D．m＝2，n＝－8
5．已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ）
A．或1 B．或3 C． D．3
6．设方程两个根为、，则（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，且这个直角三角形的斜边长是3，则k的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．4或﹣4
9．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
10．以3 和为两根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
11．关于的方程有实数根；则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　）
A． B． C．3 D．
二、填空题
13．已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式 ．
14．已知方程的两根为，那么 ．
15．设是一元二次方程的两个根，，则
16．已知关于的方程的一个根是2，那么＝ ，另一根为 ．
17．已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是 ．
三、解答题
18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
19．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）若此方程的一个根是，求方程的另一根；
（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0（k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值．
23．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
24．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
《2.5一元二次方程的根与系数的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D D A D B D B
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=4，mn=-3，此题得解．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x-3=0的两根是m，n，
∴m+n=4，mn=-3．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
2．B
【解析】略
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程计算即可求出的值，再把的值代入方程，求出另一个根即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
原方程可化为，
设方程的另一个根为，则，
．
故选：B．
4．D
【详解】∵x1+x2=-m=2-4,
∴m=2.
x1·x2=n=2×(-4),
∴n=-8.
故选D.
5．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，可得 ，且 ，从而得到 ，再由，可得 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
∴ ，
解得： ，
∵，
∴，即 ，
解得： 或 ，
∴m的值为3．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
6．A
【分析】，由韦达定理可知，，，代入即可求解．
【详解】
由韦达定理可知，，，
则，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练利用完全平方公式进行变形是解题的关键．
7．D
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1-1，则x12+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
8．B
【详解】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，
∴a+b=﹣，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=﹣7=9，
∴k=8（不合题意，舍去）或-8，
故选B.
9．D
【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可．
【详解】解：∵已知，是方程的两根
∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
10．B
【分析】本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系定理的内容是解此题的关键．
根据根与系数的关系，一元二次方程，有两根、，则，，逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意；
B、∵，，
∴3 和是方程的两根，故本选项符合题意；
C、∵，
∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴3 和不是方程的两根1，故本选项不符合题意；
故选：B．
11．C
【分析】根据，求出的范围，由根与系数关系得：，将的范围代入求解即可．
【详解】解：方程有两个实数根，
，
，
解得：，
，
，
，
．
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟记公式是解题关键．
12．A
【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1 x2=，由α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，可得α+β=，αβ=﹣，再由式子求得（α﹣2）（β﹣2）=αβ﹣2（α+β）+4=﹣﹣2×+4=．
故选：A
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题时灵活运用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=-，x1 x2=，然后根据整式的乘法变形整体代入即可.
13．
【分析】将变形为，根据根与系数的关系可得出、，代入即可求出结论．
【详解】解：，
，
、是一元二次方程的两实数根，
、，
原式，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是将原式合理变形并灵活运用根与系数的关系，．
14．1
【分析】根据韦达定理解答即可．
本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：由、是一元二次方程的两个根，
则，，
∴，
故答案为：1．
15．8
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键．
由根与系数的关系可得，再对变形后，将代入得到关于的一元一次方程求解即可．
【详解】解：、 是一元二次方程的两个根，
，
又，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16． 8, 4
【详解】解：∵方程x2-6x+c=0的一个根为2，设另一个为a，∴2+a=6，2a=c，解得：a=4，c=8，则c=8，方程的另一根是4．故答案为8；4．
17．
【分析】根据众数的概念以及一元二次方程根与系数关系即可得到m，n的值，进而按照中位数的求法求解即可．
【详解】解：一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，
中至少有一个是2，
m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，
，
综上所述，或，
这组数据是2，2，3，5，3，2或2，5，3，2，3，2，则将他们按照从小到大顺序排列为：2，2，2，3，3，5，从而可知这组数据的中位数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查统计中众数与中位数的求解，涉及到一元二次方程根与系数关系，熟练掌握这些知识点求解问题是解题的关键．
18．(1)且；
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，，
再根据已知条件得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，且
∴且；
（2）由题意得，，，
∵，
∴，即，
整理得：，
解得：或（舍），
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；
（1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可得到m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得到，代入，可求m的值．
【详解】（1）解：根据题意得，解得．
故m的取值范围为；
（2）解：根据题意得，
∵，
∴，
解得．
20．（1）5；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）根据根与系数的关系得到，，求出m值，可得另一个根；
（2）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac≥0；
（3）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．
【详解】解：（1）∵方程的一个根是，
∴，，
∴，
解得：m=2，
∴；
所以另一个根为5
（2）b2-4ac
=（m+5）2-20m
=m2-10m+25
=（m-5）2≥0，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（3）原方程可变为（x-m）（x-5）=0，
则方程的两根为x1=m，x2=5，
∴直角三角形三边为2，5，m；
∴m＞0，
①若m为直角三角形的斜边时，则：
∴22+52=m2，
解得：m=（负值舍去），
②若5为直角三角形的斜边时，则：
∴22+m2=52，
解得：m=（负值舍去）．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，利用根的判别式b2-4ac探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透．
21．（1）证明见解析（2）1或﹣1
【分析】(1)根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝(2k－1)2，然后根据非负数的性质，即k的取值得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论；(2)根据求根公式求出方程的根，方程的两个实数根都是整数，求出k的值.
【详解】证明：（1）△=[﹣（4k+1）]2﹣4k（3k+3）=（2k﹣1）2．
∵k为整数，
∴（2k﹣1）2＞0，即△＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0为一元二次方程，
∴k≠0．
∵kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0，即[kx﹣（k+1）]（x﹣3）=0，
∴x1=3，．
∵方程的两个实数根都是整数，且k为整数，
∴k=1或﹣1．
【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键.
22．(1)
(2)
【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点．
（1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值．
【详解】（1）解：∵该方程有两个实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程的两个实数根为，，
∴、，
∴，
解得或．
∵，
∴．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程有两个根得到，列出不等式求解；
（2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由得到，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
即，
∴．
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
解得：或．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出；（2）根据根与系数的关系结合得出．
24．（1） k＞；（2）3．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知＞0，列出关于k的不等式求解可得；
（2）由韦达定理知x1+x2=2k－1，x1x2=k2－2k+2=（k－1）2+1＞0，可以判断出x1＞0，x2＞0．将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．
【详解】解：（1）由题意知＞0，
∴[－（2k－1）]2－4×1×（k2－2k+2）＞0，
整理得：4k－7＞0，
解得：k；
（2）由题意知x1+x2=2k－1，x1x2=k2－2k+2=（k+1）2+1＞0，
∴x1，x2同号．
∵x1+x2=2k－1＞=，
∴x1＞0，x2＞0．
∵|x1|－|x2|，
∴x1－x2，
∴x12－2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2－4x1x2=5，
代入得：（2k－1）2－4（k2－2k+2）=5，
整理，得：4k－12=0，
解得：k=3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．
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