2.6应用一元二次方程随堂练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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2.6应用一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝100
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32﹣x）＝540
3．葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．"桃花流水窅然去，别有天地非人间."桃花园景点2017年三月共接待游客万人，2018年三月比2017年三月旅游人数增加5%，已知2017年三月至2019年三月欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，设2019年三月比2018年三月游客人数增加，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
5．某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到的a元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为，则下列说法符合题意的是为（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高几何？”大意是说：已长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈（1丈=10尺，1尺=10寸），那么门的高为（ ）
A．96寸 B．86寸 C．62寸 D．28寸
7．某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现商家采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销量就会减少10件，那么要使利润为640元，需将售价定为（　　）
A．16元 B．12元 C．16元或12元 D．14元
8．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．从正方形的木板上锯掉一块宽2cm的长方形木条，剩下的部分的面积是48cm2，则这块长方形木板原来的面积是(　　)
A．81cm2 B．81cm2或64cm2 C．64cm2 D．96cm2
11．某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系：
每件售价（元） 130 150 165
每日销售量（件） 70 50 35
商场经理给该件商品定价为x元时，每日盈利可达到1600元。则可列方程为（ ）
A．（x-120）（200-x）=1600 B．x（200-x）=1600 C．（x-120）（180-x）=1600 D．x（180-x）=1600
12．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（ ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．14元
二、填空题
13．李华在淘宝网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每大可销售个，每个盈利元，若每个降价元，则每天可多销售个.如果每天要盈利元，每个应降价 元(要求每个降价幅度不超过元)
14．为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米．
15．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ．
16．如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？
17．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m ，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为 .
三、解答题
18．某种进价为100元的服装，当售价为130元时，每天可售出70件，每涨价1元，日销量就减少5件，若设每件涨价元．
(1)根据题意，填表：
每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元）
涨价前 30 70 ___________
涨价后 ___________ ___________ /
(2)由于所剩服装不多，商家决定涨价，但仍希望每天盈利1815元，则每件应涨价多少元？
19．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数．
20．已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数．
21．（2016春 新昌县校级期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利多少元？
（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？
22．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
(3)如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少m？
23．一瓶100克的纯农药，倒出一定数量后加等量的水搅匀，然后再倒出相同数量的混合液，这时瓶内所剩的混合液中还有纯农药36克，问第一次倒出的纯农药为多少克？第二次倒出的混合液中纯农药多少克？
24．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件（）．
(1)用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为______件
(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元．求该商品的售价．
《2.6应用一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B B A A B D C
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染，根据经过两轮传染后有361人患病，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染．
依题意得，
即．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．C
【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【详解】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
3．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】解：若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为，
故选：D
4．B
【分析】2018年三月共接待游客万人，2019年三月共接待游客万人，又2017年三月至2019年三月欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，则2019年三月共接待游客，列出方程即可.
【详解】018年三月共接待游客万人，2019年三月共接待游客万人，又2017年三月至2019年三月欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，则2019年三月共接待游客，
故方程为：.
故选B.
【点睛】考查一元二次方程的应，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.
5．B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．将值代入等式中检验即可判断．
【详解】解：A．当时， ，不符合题意；
B．当时， ，当时，，符合题意；
C．当时， ，不符合题意；
D．当时， ，不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】设长方形门的宽是x尺，则高为（x+6.8）尺，根据题意得，解得，，（舍），所以门的宽是2.8尺，则门的高为9.6尺，换算单位即可得．
【详解】解：设长方形门的宽是x尺，则高为（x+6.8）尺，
解得，，（舍），
∴门的宽是2.8尺，
则门的高为（尺），
（寸），
即门的高为96寸，
故选A．
【点睛】本题考查了用方程解决实际问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，找出等量关系，掌握这些知识点．
7．A
【分析】设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，解方程求解即可．
【详解】解：设售价为x元，根据题意列方程得
（x-8）（200-×10）=640，
整理得：x2-28x+192=0，
解得x1=12，x2=16．
故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元．
又题意要求采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，
故应将商品的售价定为16元．
故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．
8．B
【分析】利用该药品经过两次降价后的价格=原价×（1一降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
100（1﹣x）2=81．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先分别求出第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元，再根据“第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元”建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元，
∵第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元，
∴可列方程为，
故选：D．
10．C
【分析】根据剩余部分的面积=原来的面积-锯掉的部分的面积建立方程求出其解就可以了．
【详解】解：设这块正方形木板的边长为xcm,则正方形原来的面积为x2cm2,锯掉的部分的面积为2xcm2，由题意，得x2 2x=48，
解得：x1=8,x2= 6(不符合题意,舍去).
则x2=64.
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的概念与运用是解题的关键.
11．A
【分析】从表格中拨给数据可以看出，售价每提高1元，销售量就减少1件，设定价为x元时，则每件的盈利是（x-120）元，可以出售的件数为[70-(x-130)]，盈利1600，依据“利润=每件商品的利润×销售量”列出方程即可．
【详解】设定价为x元时，每件盈利是（x-120）元，销售的件数是[70-(x-130)]件，盈利是（x-120）[70-(x-130)]元，
所以（x-120）[70-(x-130)]=1600，
即，（x-120）（200-x）=1600，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据“利润=每件商品的利润×销售量”的等量关系，列出方程解答即可．
12．D
【详解】设利润为w，由题意得，每天利润为：
w=（2+x）（20–2x）=–2x2+16x+40=–2（x–4）2+72．
所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．
故选D．
13．6
【分析】首先设每个羽毛球拍降价x元，那么就多卖出5x个，根据每天要盈利1700元，可列方程求解．
【详解】解：设每个羽毛球拍降价x元，
由题意得：（40-x）（20+5x）=1700，
即x2-36x+180=0，
解之得：x=6或x=30，
因为 每个降价幅度不超过15元，
所以 x=6符合题意，
故答案是：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是看到降价和销售量的关系，然后根据利润可列方程求解．
14．15
【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程．
【详解】解：根据题意，得．
整理，得．
解得（舍去），．
所以，该正方形空地的边长为15米，
故答案为：15．
15．1
【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解．
【详解】解：设这个数为，则有
，
，
，
解得．
故答案为：．
16．9或12
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论
【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
17．（12-x）（8-x）=77
【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【详解】道路的宽为x米．依题意得：
(12-x)(8-x)=77，
故答案为(12-x)(8-x)=77.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．
18．(1)见解析
(2)3元
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意正确列出代数式和方程是解题的关键．
（1）根据题意用代数式填表即可；
（2）设每件应涨价元，结合（1）中的表格，再根据题意列出方程，解出的值即可解答．
【详解】（1）解：根据题意，填表如下：
每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元）
涨价前 30 70 2100
涨价后 /
（2）解：设每件应涨价元，
由题意得，，
解得：，（舍去），
答：每件应涨价3元．
19．81
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”． 设个位上的数为，则十位上的数为，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为，
依题意，得
整理得：
解得：，（舍去）
所以，，．
答：这个两位数是81．
20．这个数为或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据“一个数的平方与的差等于这个数与的和”列方程求解．找到相等关系是解题的关键．
【详解】解：设这个数为x，则：
，
整理得，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
则这个数为或．
21．(1)14000元;(2)30元
【详解】试题分析：
（1）由题意可知，每箱降价20元时，每箱利润为：（120-20）元，销售量为（100+20×2）箱，两者相乘可得每天获利总额；
（2）这每箱应降价元，则此时每箱获利为（120-）元，销售量为（100+）箱，由二者相乘等于总利润14400可列方程，解方程求得，再结合“每箱获利大于80元”进行检验可得结果.
试题解析：
（1）当每箱降价20元时，由题意可得此时每天可获利润为：
（120-20）×（100+2×20）=14000（元）.
（2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价元，依据题意列方程得：
整理得：，
解得：，
∵ 要求每箱饮料获利大于80元，
∴ .
答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元．
22．(1)
(2)
(3)道路的宽应设计为1米．
【分析】（1）先把方程化为，再利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）先求解根的判别式的值，再利用公式法解方程即可；
（3）把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
【详解】（1）解：
或
解得：
（2）解：
则
所以
（3）解：设道路的宽应为x米，
由题意得，．
整理得：
解得x=1或x=19．
经检验：不符合题意，舍去，取
答：道路的宽应设计为1米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的应用，矩形的定义，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键．
23．x1=40，x2=24
【分析】设每次倒出xg，由题意可得第一次倒出又加等质量的水后农药浓度为，第二次倒出了x，根据倒出两次后还剩36克列出方程求解即可．
【详解】解：设每次倒出xg，由题意可得第一次倒出又加等质量的水后农药浓度为.
第二次倒出了x，
可得方程x+x=100 36，
X2 200x+6400=0，
解得x=160(舍)或x=40，
故每次倒出40g，第一次倒出40×100%=40g，第二次倒出40g，
(100 40)÷10040=24g，
答：第一次倒出的纯农药有40g，第二次倒出混合液中有纯农药24g.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解.
24．(1)
(2)该商品的售价为30元
【分析】（1）由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出2件，即可得出每天售出该工艺品的件数；
（2）根据总利润=每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：∵该商品的售价为x元/件，且当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，
∴每天能售出该工艺品的件数为件．
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得，（不合题意，舍去），
答：该商品的售价为30元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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