3.2用频率估计概率随堂练习（含答案）北师大版数学九年级上册

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3.2用频率估计概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法错误的是（ ）
A．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”铅笔文具盒
B．转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次
D．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次
2．木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．6张 B．8张 C．10张 D．4张
3．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，则当移植8千棵树苗时，成活的数量是（　　）
A．7200棵 B．6800棵 C．6400棵 D．6000棵
4．数学课上老师带领学生做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）

A．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”．
B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花．
C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球．
D．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面．
5．某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
6．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（　　）
A．红球比白球多 B．白球比红球多 C．红球，白球一样多 D．无法估计
7．在一个不透明的口袋中放入除颜色外其余都相同的6个红球和若干个绿球，小颖从中随机摸出一球，记下颜色后，放回，共试验60次，其中记有20个红球，估计袋中有绿球个数为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．40
8．甲、乙两人轮流报数，规定第一个人先说“1”或“1，2”，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数．这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到20，谁就得胜，那么这个游戏（ ）
A．是公平的
B．不公平，偏向先报数者
C．不公平，偏向后报数者
D．无法确定
9．有四张形状、大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张．则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．某研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的养老模式主要有五种，抽样调查的统计结果如图： 那么下列说法不正确的是（ ）
A．选择型养老的频率是 B．选择养老模式的人数最多
C．估计当地个老年人中有人选择型养老 D．样本容量是
11．一个不透明的袋子中装有个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同.若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回,经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于，则小明估计袋子中白球的个数为( )
A． B． C． D．
12．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．某家庭记录使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：，得到频数分布表如下：
日用水量
频数 1 5 13 10 16 5
估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率为 ．
14．一个不透明的袋子中放有若干个红球，为估算其数量，小亮往其中放入10个黑球（除颜色外相同），每次摸出一个小球记录下颜色并放回，试验数据如下表，则袋中原有红色小球的个数约为 ．
试验次数 100 200 300 400
摸出红球 78 161 238 321
15．红星养猪场400头猪的质量（质量均为整数千克）频率分布如下，其中数据不在分点上，从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率是 ．
组别 频数 频率
46 ~ 50 40
51 ~ 55 80
56 ~ 60 160
61 ~ 65 80
66 ~ 70 30
71~ 75 10
16．六一期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外其余都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2附近，由此可以估计纸箱内有红球 个．
17．某航班每次飞行约有100名乘客，若飞机失事的概率为p=0．000 05，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币． 平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取 元保险费才能保证不亏本．
三、解答题
18．下表为某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数n 100 200 500 1 000 2 000 5 000
发芽的粒数m 94 a 475 954 1 906 4 745
发芽频率 0.940 0.955 0.950 b 0.953 0.949
(1)求出a，b的值；
(2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率．（结果精确到0.01）
19．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 177 198
摸到红球的频率
(1)上表中的___________，___________（小数形式）：
(2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到）
(3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率．
20．为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：样本容量为　 　，a＝　 　；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
21．为了能够帮助武汉疫情，某公司通过武汉市慈善总会二维码给武汉捐款，根据捐款情况制成不完整的扇形统计图（图1）、条形统计图（图2）．
图1 图2
（1）根据以上信息可知参加捐款总人数为______，______，捐款金额中位数为______，请补全条形统计图；
（2）若从捐款的人中，随机选一人代表公司去其它公司做捐款宣传，求选中捐款不低于元的人的概率；
（3）若其它公司有几人参与了捐款活动，把新捐款数与原捐款数合并成一组新数据，发现众数发生改变，请求出至少有几人参与捐款．
22．阅读下列材料，回答问题：
任务1：估计不规则封闭图形的面积
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）：
有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600
绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151
（1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______；
A．150 B．230 C．251 D．510
（2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）；
（3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积；
任务2：估计圆周率的大小
（4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示）
23．将牌面数字分别是5，6，7，8的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，甲、乙两人每次同时从桌面上抽出一张牌，并计算摸出的这两个牌面上的数字之和，记录后将牌放回并背面朝上，洗匀后进行重复试验，在试验中出现“和为13”的试验数据如下表：
试验总次数 30 60 90 120 180 240 330 450
“和为13”出现的次数 13 24 30 37 58 82 110 150
“和为13”出现的频率 0.43 0.40 0.31 0.34 0.33
(1)请将表中的数据补充完整；
(2)如果试验维续进行下去，根据上表数据，出现“和为13”的频率可能稳定在 左右．（上述结果均保留两位小数）
24．在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（）学生在数学实验分组做摸球试验：每将个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
(1)按表格数据格式，表中的_______，________；
(2)请估计：当次数很大时，摸到到白球的频率将会接近_________（精确到；
(3)请推算：摸到红球的概率是_________（精确到；
(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
《3.2用频率估计概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A D B A A B D C
题号 11 12
答案 C D
1．A
【分析】根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”铅笔文具盒．
【详解】解：由题表中的信息得，落在“铅笔”区域的频率稳定在0.7左右，根据用频率估计概率，得：
A、转动转盘20次，可能有6次获得“文具盒”铅笔文具盒，故本选项错误，符合题意；
B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故本选项正确，不符合题意；
C、再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，故本选项正确，符合题意；
D、如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，故本选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．A
【分析】根据概率的求法，找准两点：一是全部情况的总数，二是符合条件的情况数目，求解即可；
【详解】解：设木箱中蓝色卡片x个，根据题意可得，
=0.6，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有6张；
故答案为：A．
【点睛】此题考查了用频率估计概率，解题的关键是准确计算．
3．A
【分析】本题考查折线统计图，利用样本的频率估计总体，根据图形可以发现，在0.9附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再求解即可．
【详解】解：由题图可知，移植8千棵树苗时成活的频率为0.9，
所以（棵）．
故选A．
4．D
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案．
【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃的概率为，不符合题意；
C、不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球的概率为，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面的概率为；符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
5．B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案．
【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在0.90附近，
∴可估计这种树苗移植成活的概率约是0.90，
故选：B．
6．A
【详解】根据题意可得5位同学摸到红球的频率为，
由此可得盒子里的红球比白球多．
故选A．
7．A
【分析】利用频率估计概率,可得到摸到红球的概率为,设袋中有绿球x个数,于是根据概率公式得到,然后解方程求出x即可.
【详解】:根据题意,小颖从中随机摸出一球,摸到红球的概率为,
设袋中有绿球x个数,则,解得x=12,
所以可估计袋中有绿球12个.
所以A选项是正确的.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.
8．B
【详解】试题分析：第一个人可以两个两个地说，也可以一个一个地说，还可以有时说一个，有时说两个，但不论第二个人怎样变化，2，5，8，11，14，17，20这些数的主动权都在第一个人手中．
解：因为是第一个人先说，所以主动权在第一个人，他肯定按2，5，8，11，14，17，20报数，故第一个人必胜．
故选B
点评：解答此题需要逆向思维，因为是抢20，故应先从20倒推，20，17，14，11，8，5，2的顺序．
9．D
【详解】题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于不放回实验．
解：设这四个卡片分别为：A，B，C，D，
画树状图得：
∴一共有12种情况，
∵A、-5-2=-7，本项错误；
B、+=2，此项正确；
C、a5-a2≠a3，本项错误；
D、a6 a2=a8，此项正确，
∴抽取的两张卡片上的算式都正确的有BD，DB共2个，
∴抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是=．
故选D．
10．C
【分析】根据统计结果逐项分析即可得到答案.
【详解】A、∵调查的总人数为50+350+200+400+500=1500（人），
∴选择型养老的频率是=，故A正确；
B、根据统计结果知：选择E的养老模式的人数500人最多，故B正确；
C、当地个老年人中选择型养老有=4000（人），故C错误；
D、调查的总人数是1500人，故样本容量是1500，故D正确；
故选：C.
【点睛】此题考查统计图的运用，能正确计算样本容量，部分的数量，部分的频率，能依据样本的概率计算总体的数量，正确理解统计结果进行运算是解题的关键.
11．C
【分析】设袋子中白球有x个，根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：设袋子中白球有x个，由题意可得，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查利用频率算随机事件概率及概率公式，解题的关键是熟练掌握．
12．D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
13．
【分析】分析表中数据，计算50天日用水量少于0.3的频数，由，计算即可．
【详解】解：由表可知，使用后，50天日用水量少于0.3的频数为，
所以估计50天日用水量少于0.3的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查频率的计算，用频率估计概率，根据相关知识点解题是关键．
14．40
【分析】根据图表求出红球概率，设袋中原有红色小球的个数为x，根据概率公式列出算式，然后求解即可．
【详解】解：由图表可得摸到红球概率约为，
设袋中原有红色小球的个数为x，则=0.8，
解得：x=40，
经检验x=40是原方程的解，
答：袋中原有红色小球的个数约为40个．
故答案为：40．
【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1
【详解】试题分析：（1）根据频率的求法，频率＝，计算可得答案，如图所示：
组别 频数 频率
46 ~ 50 40 0.1
51 ~ 55 80 0.2
56 ~ 60 160 0.4
61 ~ 65 80 0.2
66 ~ 70 30 0.075
71~ 75 10 0.025
；
（2）由于试验次数较多，可以用频率估计概率，即求质量在65.5 kg以上的频率即可．
根据表中数据，从中任选一头猪，质量在65 kg以上的概率是＝0.1．
故答案为0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1
点睛：本题考查频率的计算，及在大量反复试验下用频率估计概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
16．200
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．
【详解】设红球的个数为x，根据题意得：
解得：x=200
故答案为：200．
考点：利用频率估计概率．
17．20
【详解】每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，由题意可得一次飞行中飞机失事的概率为P=0.00005，所以赔偿的钱数为40000000×0.00005=2000元，即可得至少应该收取保险费每人 =20元．
18．(1)191，0.954
(2)0.95
【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键．
（1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可；
（2）根据概率与频率的关系解答即可．
【详解】（1）解：，
．
故答案为：191，0.954；
（2）解：随着实验种子数的增加，频率稳定在0.95，
任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是0.95；
故答案为：0.95．
19．(1)78；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了频率估计概率，求解随机事件的概率．
（1）根据表中的数据，结合频数，频率，数据总数之间的关系可得答案；
（2）由频率估计概率可得答案；
（3）设黑球有个，则白球有个；可得，再进一步即可解答．
【详解】（1）解：，；
（2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近，
∴摸到红球的概率估计值是；
（3）解：设黑球有个，则白球有个；
∴，
解得：，
∴摸到黑球的概率为，
答：摸到黑球的概率为．
20．（1）故答案为100，30；（2）见解析；（3）0.45．
【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解.
【详解】解：（1），
所以样本容量为100；
B组的人数为，
所以，则；
故答案为，；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于的人数为，
样本中身高低于的频率为，
所以估计从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
21．（1）50，32，150，条形统计图见解析；（2）；（3）4人．
【分析】（1）用捐款150元频数除以频率，求出捐款总人数为50，用总人数减去已知四组频数，再除以总人数，即可求出m，根据各项数据，补全条形统计图，求出第25、26个数据，即可求出中位数；
（2）求出捐款不低于元人数的频率，用频率估计概率即可；
（3）结合统计图，现众数为16，故至少要4人参与捐款，且捐款数均为150元，才能改变众数．
【详解】解：（1）捐款总人数为；
捐款为100元人数为所占百分比为，
∴m=32；
本次捐款共50人参加，按捐款数从低到高排序，第25、26个数为150,150，
故中位数为，
补全条形统计图如下：
；
（2）；
（3）至少人参与捐款．
原数据众数为元，
若至少增加人，每人捐款元，
则新众数为元和元，
至少增加人．
【点睛】本题考查了条形图与扇形图，中位数，用频率估计概率等知识，综合性较强，根据条形图和扇形图提供的公共信息求出调查的总人数是解题关键．
22．（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）．
【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可；
（2）大量试验时，频率可估计概率；
（3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解；
（4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点)，大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解．
【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在，
∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为，
当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近，
故选：C；
（2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为，
故答案为：；
（3）设封闭图形的面积为，
根据题意得：，
解得：，
即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米；
（4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，
在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下：
有效丢掷绿豆总次数
绿豆落在圆内（含圆的边）的次数
当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，
∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则，
．
23．(1)0.33，0.32，0.33
(2)0.33
【分析】本题考查频数、频率的知识，以及利用频率估计概率，正确理解频率的稳定性是关键；
（1）根据表格数据，直接解答即可；
（2）随着试验次数的增加，“和为13”出现的频率在0.33左右摆动，据此解答即可．
【详解】（1）解：由题知，，
，
；
（2）解：通过观察这组数据可知，随着试验次数的增加，“和为13”出现的频率为0.33．
故答案为：0.33．
24．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据频率频数样本总数分别求得、的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右；
（3）摸到红球的概率为；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【详解】（1），；
故答案为：，；
（2）当次数很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为： ；
（3）摸到红球的概率是；
故答案为： ；
（4）设红球有个，根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为．
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