直线与圆大题专项训练(六大题型)-2025-2026学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）

直线与圆大题专项训练
题型一：直线与圆的位置关系判断与应用
1．已知圆，直线.
(1)证明：直线l总与圆相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时a的值以及最短弦长．
2．已知圆的圆心为，且圆过点，直线.
(1)求圆的标准方程；
(2)判断直线与圆的位置关系，若相交，请求出直线被圆截得的弦长.
3．已知直线：，圆（点为圆心）.
(1)若直线与圆相切，求实数的值；
(2)当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，，并求的面积，如果不相交，请说明理由.
4．已知直线：，圆：，为坐标原点．
(1)若，判断直线与圆的位置关系；
(2)若直线与圆有公共点，求实数的取值范围．
5．已知圆，直线．
(1)判断并证明直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程．
题型二：圆的切线长问题
6．已知圆：
(1)若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程；
(2)从圆外一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求的最小值
7．已知圆，直线．
(1)求圆关于直线对称的圆的标准方程；
(2)是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，求切线长最短时切线的方程．
8．在平面直角坐标系中，过坐标原点的圆（圆心在第一象限）的半径为2，且与轴正半轴交于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)设点是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.
9．已知圆，过直线上一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若四边形的周长为8，求点P的坐标；
(2)求弦长的最小值.
10．已知圆，直线．
(1)若直线l与圆O相切，求m的值；
(2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程．
题型三：圆的切线方程
11．已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且.
(1)求圆的方程；
(2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程.
①；②.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
12．已知圆C：，直线l：．
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当时，过圆C上点作圆的切线交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求的取值范围．
13．已知圆C的圆心在射线（）上，且圆C与直线相切于点A，与y轴相交于M，N（M在N的下方）两点，．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设经过点M的圆C的切线为，经过点N的圆C的切线为，求与的方程．
14．已知圆.
(1)过点向圆引切线，求切线的方程；
(2)记圆与、轴的正半轴分别交于，两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出两公共点所在的直线；若无，说明理由.
题型四：圆的弦长与中点弦
15．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
(3)点是圆上任意一点，求的取值范围.
16．已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.
(1)当时，求的长；
(2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
17．已知圆，直线.
(1)将圆的方程化为标准方程，并求出圆心坐标和半径；
(2)求证：直线恒过定点；
(3)设直线与圆交于两点，且面积为，求的值.
18．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求切线的方程；
(3)设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值.
19．已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程．
题型五：直线与圆有关的最值
20．已知点、、，圆经过、、三点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线与圆交于、两点，求弦长度的最小值.
21．已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上.
(1)求圆的方程；
(2)过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程；
(3)求直线：被圆截得的弦长最小时的方程.
22．圆C过点及原点，且圆心C在直线上．

(1)求圆C的方程：
(2)定点，由圆C外一点P向圆C引切线，切点为Q，且满足．
①求点P的轨迹方程；
②求的最大值．
23．已知圆关于直线对称，且在圆上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
24．已知，，，且，点．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
题型六：直线与圆的实际应用
25．已知圆：过点，圆关于直线对称的圆为圆，设点为点关于的对称点．
(1)求圆的方程；
(2)设为圆上的一个动点，求的最小值；
26．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？
（参考数据，精确0.01m. ）
27．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
28．如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点．
(1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程；
(2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？
29．某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响.
(1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值；
(2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？
30．周口市沙河湾湿地公园内有一直角梯形区域，，，.相关部门欲在 ，两处各建一个景点，将 边建成人行步道（人行步道的宽度忽略不计）.
(1)若分别以 ，为圆心的两个圆都与直线 相切，且这两个圆外切，求 ，两点之间的距离；
(2)若，今欲在人行步道（线段）上设一观景台 ，已知观景台在过 ，两点的圆与直线相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，问观景台设在何处时，观赏和拍摄的效果最佳？
试卷第10页，共11页
试卷第9页，共11页
《直线与圆大题专项训练》参考答案
1．(1)证明见解析
(2)，最短弦长
（分析）（1）求出直线所过的定点后可证直线与圆总相交；
（2）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，利用几何法可求此时弦长.
【解答过程】（1）直线，即，
联立，解得，所以不论a取何值，直线l必过定点，
又，
则在圆内部，故直线与圆总相交.
（2）由，知圆心，半径为.
当直线时，直线被圆截得的弦长最短．
直线l的斜率为，，
由，解得此时直线l的方程是
圆心到直线的距离为，
所以最短弦长是
2．(1)
(2)相交，
（分析）（1）利用圆心到点的距离为半径，求出半径，在用圆的标准形式即可得到圆的标准方程.
（2）根据点到直线距离公式计算出圆心到直线的距离，然后根据直线与圆相交的条件判断即可，再利用弦长公式即可算出弦长
【解答过程】（1）因为圆的圆心为，且圆过点，所以
圆的半.
从而圆的标准方程为.
（2）圆心到直线的距离为，
又圆的半径，即，所以直线与圆相交.
因此直线被圆截得的弦长为
3．(1)，或
(2)是，
（分析）（1）利用圆心到直线的距离等于半径可得答案；
（2）当时，利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得直线与圆相交，再由及求出的面积.
【解答过程】（1）圆，，半径，
若直线与圆相切，则，解得，或；
（2）当时，直线的方程为，
由圆心到直线的距离为，
得直线与圆相交于不同两点，
所以，
所以.
4．(1)直线与圆相离
(2)
（分析）（1）根据,，可求得直线方程，利用圆心到直线的距离和半径关系即可判断；
（2）直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，建立不等式，解出即可.
【解答过程】（1）由题可知，，
若,则，
所以，解得，
此时直线：，
圆心到的距离，所以直线与圆相离．
（2）若与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即，
两边平方，整理得，解得，
所以实数的取值范围为．
5．(1)直线与圆相交，证明见解析；
(2)直线的方程为或.
（分析）（1）由题可得，由得直线恒过定点，
再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系；
（2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.
【解答过程】（1）因为直线的方程为，
所以，
由得，，
所以直线恒过定点，
因为，
所以点在圆内，故直线与圆相交；
（2）因为圆的方程为，
所以点的坐标为，半径为2，
因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故,
所以，故圆心到直线的距离，
直线斜率不存在时，直线的方程为，
因为点到直线的距离为1，
所以直线满足条件，即直线的方程可能为，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，
故直线的方程为或.
6．(1)或或
(2)
（分析）（1）分切线过原点或切线的斜率为两种情况说明，利用点到直线的距离等于半径列方程求解即可；
（2）先利用切线长公式及得到的关系，再代入消去求最值即可.
【解答过程】（1）圆的方程为：，圆心为，半径为，
当圆的切线在轴和轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为，
当切线过原点时，设切线方程为，
则，解得，
当切线斜率为时，设切线方程为，
则，解得或
故所求切线的方程为或或；
（2）由圆的切线长公式可得，
又，得，
整理得，即，
此时，
当且仅当，即时，的最小值.
7．(1)
(2)或
（分析）（1）圆关于直线对称的圆的圆心为，根据点关于直线对称列方程可得的值，从而得对称圆的标准方程；
（2）根据切线长的几何性质从而得切线长最短时点的坐标，设切线方程求解斜率，从而得此时切线方程.
【解答过程】（1）圆的圆心，半径，
记圆关于直线对称的圆的圆心为，则，
解之得，圆的半径为，所以圆N的标准方程为．
（2）P是直线l上的动点，PA是圆M的切线，所以，

易知切线长最短时，也最短，当时，最短，此时，
所以直线PM的方程为：，
联立直线l的方程,则，解得，可得，
设直线PA的方程为：，所以，解之得或，
所以切线PA的方程为或
8．(1)；
(2).
（分析）（1）设圆的标准方程为，由轴上的弦长及半径得圆心坐标，从而得圆方程；
（2）由四边形的面积得面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算可得．
【解答过程】（1）设圆的标准方程为，
由题意得，，
所以，解得，，
圆心得坐标为.
圆的标准方程为.
（2）四边形得面积，
在Rt中，，要使四边形面积最小，则最小即可.
此时，∴，所以，
四边形BCMD面积的最小值为.
9．(1)或
(2)
（分析）（1）根据题意设点，再由四边形的周长为8，得到，再利用直角三角形满足勾股定理，即可求出，即可得到答案；
（2）根据，得四边形的面积为，再利用四边形的面积还等于三角形的面积加上三角形的面积，即可得到，再转化成，再利用点到直线距离最短求出的最小值，即可得到答案.
【解答过程】（1）由题意知，，在直线上，设点，，四边形的周长为8，，，或，即点P为或.
（2），，又，，， 当取最小值时，即取最小值，，，.
10．(1)
(2)．
（分析）根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离 ，即可求出 的值；
根据题意可知 四点共圆，且 为直径，要使切线长最短，即 时最短，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，两圆方程相减即可求得直线 的方程.
【解答过程】（1）（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切，
所以，
解得；
（2）当时，直线，连接，则，
所以O，A，P，B四点共圆，切线长，
故最短当且仅当最短，即时最短，
因为，所以，此时，
所以，
联立得，
故以为直径的圆的方程为，
因为弦即圆O与上述圆的公共弦，
所以弦所在直线方程为．
11．(1)
(2)①或；②
（分析）（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦长与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆的方程.
（2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出该斜率继而得出直线方程.
【解答过程】（1）如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点，
根据点点到直线距离公式：，，
根据勾股定理：，
得圆的方程：
（2）选①：
由（1）可知点在圆外，若切线斜率不存在， ，由图可知为过点P与圆相切的直线的方程；
若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式，
因为直线与圆相切，则，解得，
直线的方程为：，
综上所述过点与圆相切的直线的方程为或.
选②：由（1）可知点在圆上，的直线方程为，
则过点与圆相切的直线与垂直，斜率为
根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式.
12．(1)证明见解析
(2)
（分析）（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识列方程组求解得出直线所过定点坐标，证明定点在圆内即可；
（2）求出点坐标，再计算（为圆心），由加减半径得距离的最大值和最小值，从而得所求范围．
【解答过程】（1）∵直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，故l恒过点A(3，2)．
∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，即点A在圆C内，
∴直线l与圆C恒相交．
（2）圆心是,圆半径为2,因此过的切线方程为x＝0．
又当m＝1时，l：x＋y＝5，
∴联立，得交点P（0，5），
∴，圆半径为2，
∴．
13．(1)
(2)，
（分析）（1）根据圆心在射线（）上可设对应的圆的标准方程，与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径，得到圆心和半径的等量关系，已知弦长，写出弦长的表达式即可求出参数的值
（2）根据（1）可以求出M，N的点坐标，且圆方程已知，根据圆心和切点即可求出切线的斜率，从而确定切线方程
【解答过程】（1）设圆C的标准方程为（其中，），
则其圆心到直线的距离，
所以圆C截y轴所得弦长为，
因为，所以，所以圆C的标准方程为．
（2）在方程中，令，得或，
因为M在N的下方，所以，．
又圆心，所以直线的斜率，所以点处的切线斜率为，
所以的方程为，即．
同理直线CN的斜率，所以点处的切线斜率为，
所以的方程为，即．
14．(1)或
(2)有，
（分析）（1）利用斜率是否存在进行讨论，然后再由点到直线的距离公式求解；
（2）利用动点轨迹方程为圆，通过圆心距与半径关系可得两圆相交，即可得相交弦方程.
【解答过程】（1）由圆可得圆心为原点，半径为，
当切线的斜率不存在时，此时经过点的直线方程与圆相切，满足题意；
当切线的斜率存在时，可设经过点的直线方程，
即，由直线与圆相切可知：
圆心到直线的距离，解得，
所以切线的直线方程为，
整理为：，
综上可得切线的直线方程为或；
（2）由圆的方程可求得交点，
再设动点，根据可得：
，整理得：
即，
所以动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
两圆心距为，
因为，所以两圆相交有两个公共点，
即由两圆方程相减就可得公共弦直线方程：
，
则动点的轨迹与圆有两个公共点，该两公共点所在的直线为
15．(1).
(2)或.
(3).
（分析）（1）先根据直线与圆相切的性质求出圆心坐标，进而得到圆的半径，从而确定圆的标准方程；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况，利用垂径定理求出直线方程；
（3）将看作圆上一点与点连线的斜率，通过直线与圆的位置关系求出斜率的取值范围.
【解答过程】（1）设圆心的坐标为，已知圆与直线相切于点，则直线（）与直线垂直.
直线的斜率，可得直线的斜率，
即，解得，所以圆心.
圆的半径.
则圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离.
根据垂径定理，满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
圆心到直线的距离.
由垂径定理可得，
即，，，解得.
则直线的方程为，即.
综上，直线的一般式方程为或.
（3）设，则，即.
的几何意义是圆上的点与点连线的斜率.
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，即，
.由图形知道，
所以的取值范围是.
16．(1)
(2)存在，
（分析）（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；
（2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离公式即可求解.
【解答过程】（1）因为，所以，直线的方程为，
圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
所以；…
（2）取的中点为，如图，

假设存在弦被点三等分，设，，则，
，解得，
当斜率不存在时，，故斜率存在）
设斜率为，则：，
，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为.
17．(1)标准方程为，圆心，半径
(2)证明见解析
(3)或
（分析）（1）根据圆的一般方程与标准方程的互化即可求解，进而写出圆心坐标和半径；
（2）整理直线的方程为，进而求证即可；
（3）设圆心到直线的距离为，可得，，进而根据面积为列方程可求出或，进而求解即可.
【解答过程】（1）由圆，得，
所以圆心，半径.
（2）由直线，
得，
令，解得，
所以直线恒过定点.
（3）设圆心到直线的距离为，
则，
则，
由，得，解得或，
则或，解得或.
18．(1)
(2)或
(3)
（分析）（1）设，由圆直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解；
（2）当切线斜率不存在时则直线，即可验证直线与圆是否相切，当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解.
（3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解；法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解.
【解答过程】（1）设，由圆与直线相切于点，
得，解得，所以
则圆半径，
所以圆的标准方程为.
（2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为等于半径，
所以直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设切线为，即，
由圆心到切线的距离为得，解得，
则，整理得，
综上，切线方程为或.
（3）法一：当直线无斜率时，，，
当直线斜率为时，，.
当直线斜率存在且不为时，设直线为，即，
则圆心到直线距离，
所以，
因为，用替换上式中的可得.
则
，
当且仅当，即时取等号
综上所述，因为，所以的最大值为.
法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，
则，，
又直线与直线垂直，所以，，
当且仅当时取等，所以的最大值为.
19．(1)；
(2)或．
（分析）（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求参数，进而得到圆心和半径，即可得；
（2）由题设，讨论直线的斜率，并设，应用弦长公式列方程求参数，即可得直线方程.
【解答过程】（1）设圆心为，依题意，
所以，解得或（舍去），
，则，
故圆C的标准方程为；
（2）
由的长度为，则，
①若斜率不存在，则，代入圆得，解得或，显然，符合；
②若斜率存在，设斜率为，则直线，即，
由圆心到直线的距离为，即，所以，
所以，即，
综上，所求直线的方程为或.
20．(1)
(2)
（分析）（1）设圆的一般方程，代入已知三点坐标求解，然后化为标准方程；
（2）确定点在圆内，由圆的性质得时，弦长最小，然后结合勾股定理求得结论.
【解答过程】（1）设圆，
圆过、、三点，
解得
圆的一般方程为，标准方程为：.
（2）由（1）可得，圆心，半径，
点到圆心的距离为，
点在圆内，
设圆心到直线的距离为，则，
结合图形，可知当时，，，
即弦长度的最小值为.
21．(1)
(2)
(3)
（分析）（1）由题可设圆的方程为：，求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得圆的方程；
（2）分析可得是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立即可求解；
（3）求出直线的恒过点，则当时，直线：被圆截得的弦长最小，从而即可求解.
【解答过程】（1）由题可设圆的方程为：，
整理得，其圆心，
因为圆心在直线上，所以，解得：，
所以圆的方程为：.
（2）由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、，则是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程；
由于，，所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，即以为直径的圆的方程为，
联立，则，
所以经过两切点的直线方程为.
（3）由直线：可得：，
令，解得，则直线过定点，
则当时，直线：被圆截得的弦长最小，
由于，所以，即，
则直线的方程为：.

22．(1)
(2)①；②
（分析）（1）由题意可求出圆心和半径，即可求得答案；
（2）①设,连接，利用圆的切线性质以及即可求解；②求出C关于直线的对称点，数形结合，根据的几何意义，即可求解.
【解答过程】（1）由题意知圆C过点及原点，则线段的垂直平分线方程为，
又圆心C在直线上，则联立，解得，则圆心为，
故半径为,
故圆的方程为；
（2）①设,连接，则，

则，而，即得，
即得，
即点P的轨迹方程为；
②设C关于直线的对称点为，

则，解得，即，
故,
当P点位于上时，等号成立，故的最大值为.
23．(1)；
(2)，或.
（分析）（1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.
【解答过程】（1）解：由圆关于直线对称，
即圆心在直线，满足，
即圆，
又因为在圆上，所以，解得，
所以圆的方程为.
（2）解：由，可得，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由由（1）圆心为，可得，因为，
所以当时，面积最大，
此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径，
此时点C到直线l的距离，，
所以可以取到，所以，解得或，
故所求直线l的方程为或.
24．(1)最大值为，最小值为；
(2)最大值为，最小值为0；
(3)最大值，最小值为.
（分析）（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求；
（2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算；
（3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算.
【解答过程】（1）由题意，因为，
所以，
整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆.
所以点到的距离为，
所以的最小值为，最大值为.
（2）设，则 ，
由题意与有交点，
所以，
解得，
所以的最大值为，最小值为0.
（3）设，则
当直线与圆相切时，截距取到最值，
所以，解得或，
所以的最大值为，最小值为.
25．(1)
(2)
（分析）（1）利用MC与直线，中点在直线上，列方程组求得点C坐标，然后可解；
（2）先根据对称性列方程组求点P坐标，然后设点Q坐标，利用坐标表示所求，然后转化为圆上动点到定直线的距离最值问题.
【解答过程】（1）圆的圆心，由圆过点，所以，所以，
设关于直线对称的点，则
解得，所以故圆的方程为．
（2）设，则，解得，所以，
设，则，，，
所以
因为可看成点Q到直线的距离，又Q在圆上，
如图
所以有，即
所以
所以的最小值为．
26．0.68m
（分析）法1，建立坐标系，利用待定系数法确定圆的一般方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少；法2，建立坐标系，利用几何法确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少.
【解答过程】（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系.
设拱桥所在的圆的方程为，则圆过点，
故，解得，
所以拱桥所在圆的方程是.
当时，.
即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82，
正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则，
即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了3m.
所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞.
答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m.
（方法2）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系.
设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为.
桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为.
为直角三角形，依题意得，
解得，，则.
圆的方程为，
当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为，
则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上.
当时，.
即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82，
正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则，
即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了.
所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞.
答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m.
27．(1)
(2)该船没有触礁的危险．
（分析）（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解；
（2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性.
【解答过程】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点,
又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则，
设过O，A，B三点的圆C的方程为，
则,解得，
所以圆C的方程为．
（2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则，
而船D沿着北偏东方向行驶，
则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为，
由（1）知，圆C的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，则，
所以该船没有触礁的危险．
28．(1)
(2)
（分析）（1）分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案.
（2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案.
【解答过程】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，，
设成功点，可得，即，
化简得．
因为点P需在矩形场地内，所以，
故所求轨迹方程为．
（2）当线段与（1）中的圆相切时，，
所以，所以．
若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是．
29．(1)；
(2)小时.
（分析）（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可.
（2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间.
【解答过程】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆，
要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大，
由，，则，知，则最大.
（2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为，
该直线与圆相交的弦长为，
即此人被台风影响持续时间为.

30．(1)，两点之间的距离为： .
(2)观景台设在处时，观赏和拍摄的效果最佳.
（分析）（1）由以，为圆心的两个圆都与直线相切，可知两圆的半径，由两圆外切即可解得，两点之间的距离.
（2）根据题意建立平面直角坐标系，由解得 ，两点的坐标，由已知可设圆的方程为：和切点的坐标，将 ，两点的坐标代入解出圆的方程，从而得出坐标即可.
【解答过程】（1）解：因为分别以，为圆心的两个圆都与直线相切，
所以这两个圆的半径分别为和，又因为两个圆外切，
所以两个圆心，之间的距离为：
故，两点之间的距离为： .
（2）以 为原点，所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系如图所示.
则，，
由，得，
解得.
所以，.
因为观景台在过 ，两点的圆与直线相切的切点处，
所以设过，两点的圆的方程为：，
已知此圆与线段切于点，则，
由，两点在圆上，代入得，
解得或（舍）.
所以圆的方程为：，
所以切点为，即观景台应设在梯形的顶点 处.
所以观景台设在处时，观赏和拍摄的效果最佳.
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