湖北省武汉市部分重点中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（含解析）

湖北省武汉市部分重点中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷
一、单选题
1．设全集，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．8
5．已知关于的不等式解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．对满足的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为全集，集合A，B都是的子集，若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，，则下列结论正确的有（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．定义 ，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若直线与的图象有2个交点，则
C．在区间上单调递增
D．在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为
三、填空题
12．若，，则 ．
13．已知正数a，b满足，则的最小值为 ．
14．若在区间上恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）．
(1)该店从第几年开始盈利？
(2)若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格）
17．已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
18．已知函数，
(1)若在R上有解，求实数的取值范围；
(2)若在区间的最小值为3，求实数的取值；
(3)若，是否存在实数，使得在区间上单调递减，且在上的值域为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
19．已知函数．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围．
(3)若，都有恒成立，求实数的取值范围．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C A A D C BC ACD
题号 11
答案 ACD
1．B
先求出，再求出补集即可.
【详解】全集，则，.
故选：B.
2．D
由特称命题的否定为全称命题即可得.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3．B
求出每个选项中两个函数的定义域，结合函数相等的概念逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
这两个函数的定义域不相同，故A选项中的两个函数不相等；
对于B选项，函数与的定义域均为，
且，故B选项中的两个函数相等；
对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
这两个函数的定义域不相同，故C选项中的两个函数不相等；
对于D选项，对于函数，有，解得或，
即函数的定义域为，
对于函数，有，解得，即函数的定义域为，
这两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不相等.
故选：B.
4．C
分和两种情况讨论求出，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数.
【详解】由题意有：当时，，满足题意，
当时，，所以，
由，所以或，
解得或，
所以数取值集合为，
所以实数取值集合的真子集的个数为，
故选：C.
5．A
分与，结合二次函数性质讨论即可得.
【详解】当时，有，符合题意；
当时，有，解得；
综上可得.
故选：A.
6．A
分析可知方程的解为2，3，且，利用韦达定理可得，代入解不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
可知方程的解为2，3，且，
可得，即，
则不等式即为，
且，可得，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A.
7．D
由得，根据基本不等式“1”的妙用，求解可得，不等式恒成立转化为，解不等式即可求解.
【详解】由得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，即，
不等式恒成立，即，
解得，即实数的取值范围是.
故选：D
8．C
令，题中条件转化为判断在上是增函数，进而再由题意列出不等式组求解即可.
【详解】由对任意，当时，都有，成立，
得.
令，
则在上是增函数.
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
9．BC
根据题干可知，集合中的元素都在集合内，依此分析各选项是否成立即可.
【详解】

由题意画出韦恩图，可得，则，
当时，，
故选：.
10．ACD
利用基本不等式可判断A选项；求得，设，则，利用对勾函数 单调性求出的最小值，可判断B选项；利用重要不等式可判断C选项；由结合基本不等式可判断D选项.
【详解】因为，，，
对于A选项，由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对；
对于B选项，设，则，
因为对勾函数在上单调递减，故当时，取最小值，即，
故的最小值为，B错；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对；
对于D选项，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为，D对.
故选：ACD.
11．ACD
由题可得，代入求值判断A；结合图象可直观判断C，数形结合法判断BD.
【详解】注意到或，.
则，即.
A选项，，故A正确.
B选项，画出函数的图象，如图：
由图可知：若直线与的图象有2个交点，则或，故B错误；
C选项，由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故C正确；
D选项，令，解得；令，解得，
由图象可知：当时，取到最大值为，
当时，取到最小值为，故D正确.
故选：ACD
12．
通过求函数的定义域得到集合、，利用交集的定义可得集合.
【详解】因为，
且，
故.
故答案为：.
13．4
利用基本不等式将方程化成，令，求解关于的一元二次不等式即得.
【详解】因为正实数a，b满足，
又，则，当且仅当时取等号，
设则，代入整理可得，解得或，
因，故，故当时，取得最小值为4.
故答案为：4
14．
根据二次函数图像性质，只需要端点成立，代入解不等式组即可.
【详解】设，
由二次函数图像性质，在区间上恒成立，
只需，
解得，
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）解分式不等式化简集合A，由得，然后分和两种情况分类讨论，根据集合关系列不等式求解即可；
（2）将问题转化为集合是集合的真子集，根据集合关系列不等式求解即可.
【详解】（1），
因为，所以，，
当时，符合，此时有，即；
当时，因为，所以，解得；
综上，
（2）因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
所以或，解得，
所以实数的取值范围为．
16．(1)第二年
(2)万元
（1）由已知条件得出的解析式，解不等式，结合可得出结论；
（2）设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合题意可求出总获利.
【详解】（1）由题可知，
若开始盈利即，所以，解得，
因为，所以第二年开始盈利.
（2）设年平均利润为，则
当且仅当，即时等号成立，
当时，最终获利万元．
17．(1)
(2)在上为减函数，证明见解析
(3)
（1）令，代入计算即可；
（2）根据，结合函数单调性定义证明即可；
（3）由，结合（2）中的结论列不等式组求解即可.
【详解】（1）令，则，故；
（2）在上为减函数，理由如下：
设，
则，
因为，
所以，
所以，即在上为减函数；
（3），所以，
因此
因此，解得，
所以，不等式的解集为.
18．(1)
(2)或
(3)存在；
（1）根据一元二次不等式能成立问题结合判别式运算求解即可；
（2）根据题意讨论函数的单调性，结合最值分析求解即可；
（3）根据题意结合二次函数的单调性可得，再根据值域列式求解即可.
【详解】（1）因为在R上有解，
则，解得或，
所以实数的取值范围是.
（2）因为在区间的最小值为3，且函数的图象开口向上，对称轴为，
①当时，在区间上单调递增，
则，解得；
②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，解得或（舍去），
所以；
③当时，在区间上单调递减，
则，解得（舍去）；
综上所述：或.
（3）若，则的图象开口向上，对称轴为，
因为在区间上单调递减，且在上值域为，
则，且，
可得，解得，
所以存在实数满足题意，.
19．(1)增区间是和
(2)或
(3)
【详解】（1）时，，
时，在上单调递增，在上单调递减，
时，单调递增，
综上，的增区间是和；
（2）方法一：因为，使得
若，即，解得，此时一定符合题意．
若即时：
①当时，此时，
，在上单调递减，在上单调递增，因此，解得或，因此．
②当时，此时图象如图所示：
因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得或（舍去），
综上，或；
方法二：①当时，，此时，因此在上单调递增，
因此，解得，因此．
②当时，，此时，因此在上单调递减，在上单调递增，因此，解得或，因此．
③当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，解得，因此．
④当时，，因此在上单调递增，所以，解得，因此．
⑤当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，解得，因此．
综上，或．
（3）方法一：对任意实数恒成立，因此需在上满足．即，
因为时，且，因此，
所以在上恒成立．
因此，即，解得．
图象如图所示：
①若，在上单调递增， 在上单调递减，
，解得，因此．
②若，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
而，所以符合题意．
综上：．
方法二：对任意实数恒成立，因此需在上满足．
①当时，，在上单调递增，，
因此，解得，舍去．
②当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，因此，解得，因此．
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，因此，解得，因此．
④当时，， 在上单调递增，在上单调递减，
，因此，，因此，
解得，因此 ．
⑤当时，，在上单调递增，，因此，解得，舍去．
综上，．