25.2用列举法求概率（教学课件）（24张ppt） 2025--2026学年人教版九年级数学上册

25.2 用列举法求概率
人教版 数学 九年级上册
1.通过阅读课本正确认识在什么条件下使用画树状图法，理解并掌握用画树状图法求随机事件的概率，发展学生的抽象能力.
2.经历用树状图法求概率的学习，使学生明白在不同情境中分析事件发生的多种可能性，培养学生分析问题和解决问题的能力.
重点
难点
学习目标
现有甲、乙、丙三名同学打乒乓球，想通过“手心、手背”游戏来决定其中哪两个人先打.规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打；若三人手势相同，则重新决定.
那么，你知道通过一次“手心、手背”游戏能决定甲先打乒乓球的概率是多少吗？能用列表法求解吗？
导入新知
在以上试验中，可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法.
例1 同时向空中抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部向上；
（2）两枚硬币全部反面向上；
（3）一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上.
解:列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果,它们是:
正正，正反，反正，反反.
所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等.
(1)所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上(记为事件A)的结果只有1种，即“正正”，所以
P(A)= .
(2) 两枚硬币全部反面向上(记为事件B）的结果也只有1种，即“反反”，所以
P(B)= .
解：
（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形；所以学生赢的概率是
（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是
∵P (学生赢）=P (老师赢）.
∴这个游戏是公平的.
提炼概念
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
注意
直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，求抽取的三条线段能构成三角形的概率.
解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，它们为2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7，共有4种等可能的结果，
其中三条线段能构成三角形的有2种结果，
所以三条线段能构成三角形的概率为
试一试

问题1 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
P(两面都一样) =
P(两面不一样) =
还有别的方法求下列事件的概率吗？
同时掷两枚硬币，共有4种结果，分别是正正，正反，
反正，反反.
二、用列表法求概率
讲授新课
互动探究
解：（1）所有等可能结果为(1,2),(1,3),(2,3).
【题型一】用枚举法求概率
例1 不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1,2,3，三个球除所标数字外其余均相同.从箱子里任意摸两个球，并记下所标数字.
（1）用适当的方法列举出所有等可能结果；
（2）求两个数字的积是偶数的概率.
（2）记两个数字的积是偶数为事件A，则P（A）=????????.
?
????????
?
例2 某校举办的音乐节活动中，来自漫画社团、街舞社团、文学社团的三名表演者准备在同一节目中依次表演，若他们出场先后的机会是均等的，则按照“漫画社团—文学社团—街舞社团”顺序演奏的概率是______.
知识点2：树状图法与列表法的灵活运用
类型一：放回型
例2 一个盒子中装有两个红球，一个蓝球，这些球除颜色外都相同. 甲乙两人进行摸球游戏：甲先从盒中随机摸出一球，记下颜色后放回，摇匀后再由乙从盒中随机摸出一球.
(1) 试用树状图 ( 或列表法 ) 表示两次摸球游戏所有可能的结果；
(2) 如果规定：若能配成紫色 (红色和蓝色配成紫色) 为甲胜，否则为乙胜，这个游戏公平吗? 请说明理由.
(1) 解：先将两个红球分别记为“红1”，“红2”，
然后画树状图如下：
红1
蓝
乙
甲
红2
蓝
红2
红1
开始
红2
蓝
红1
红2
蓝
红1
(2) 解：不公平.
∵由树状图可知共有 9 种等可能的结果，
∴能配成紫色的有 4 种结果，则
∴这个游戏不公平.
A
3.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3.
(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为__________；
(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字．求这两个数字之和是3的倍数的概率．
综合应用
用列表法求概率适用于事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多的概率问题.
在运用列表法求概率时，应注意各种结果出现的可能性相等，要注意列表的顺序，并不重不漏地列出所有可能的结果.
列表法具体步骤
(1)选其中的一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为纵列，列出表格；
(2)运用概率公式P(A)= 计算概率.
探究新知
同时抛掷三枚硬币，求下列事件的概率
（3）至少有两枚硬币正面向上.
（3）至少有两枚硬币正面向上（记为事件C）的结果有4种，则
正
正
正
反正正
正
反正
正
反反
反反正
反正反
正
正
反
反反反
归纳总结
（1）列表法和树状图法的优点是什么?
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某些事件发生的概率.
（2）什么时候使用列表法方便? 什么时候使用树状图法方便?
当试验包含两步时，列表法比较方便（此时也可以用树状图法）；
当试验在三步或三步以上时，用树状图法更方便.
1. 可能出现的结果只有有限个；2. 各种结果出现的可能性大小相等.
注意：用列表法或树状图法求概率的前提:
(3)妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少？
列举出妞妞和爸爸出的手势结果如下：
?
记两人出相同手势为事件A.
综合应用
5.第一个盒中有2个白球、1个黄球，第二个盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个盒中随机取出1个球，求下列事件的概率：
(1)取出的2个球都是黄球；
(2)取出的2个球中1个白球，1个黄球.
2. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放两本，共有 种不同的放法.
1. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为( )
10
C
课堂练习
3. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 7，
6，-2 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.
先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子
里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用
列表或画树状图的方法求下列事件的概率.
(1) 两次取出的小球上的数字相同；
(2) 两次取出的小球上的数字之和大于 10.
6
-2
7