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分课时学案
课题 3.3.2探索与表达规律 单元 第二单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.理解并能运用 “能被 3 整除的数的数字和特征 2.能用代数式表示数字或图形的变化规律 3.感受数学与生活的联系（如零件编号、数字游戏），激发数学探索兴趣，培养严谨的推理习惯。
重点 探索并掌握数字游戏的规律及代数推导方法，理解并运用 “能被 3 整除的数的特征” 学会用代数式表示数字或图形的变化规律，并能验证规律的普遍性。
难点 熟练通过设未知数将具体数字转化为代数式，推导规律的普遍性； 辨析能被 3、6、9 整除的数的规律差异。
教学过程
导入新课 小亮和小丽在玩一个数字游戏。 你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。 你知道小亮是怎样算出来的吗？
新知讲解 思考·交流 设计类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流 设计的数字游戏 请你心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘2，然后加5，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把结果告诉我，我就能知道你心里想的两位数. 请你进行推导： 尝试·思考 （1）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗？ 列举不同三位数并证明： （2）一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律？请说明理由。 列举不同四位数并证明： 拓展 1.判断下列数能否被3整除，并说明理由： 三位数：342、517、906 四位数：2346、7015、9999 （要求：先计算数字和，再用除法验证，体会规律的实用性） 2.判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）如果一个数的各位数字和能被9整除，那么它一定能被3整除； （2）如果一个数能被3整除，那么它的各位数字和一定能被6整除。 回顾·反思: 回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验？
课堂练习 1.某工厂生产的零件编号是五位数“2□345”，请问： （1）方框里填什么数字（0-9），能使这个编号的零件数能被3整除？ （2）若该工厂一天生产了编号从20345到29345的所有零件，其中能被3整除的零件有多少个？ 2.按要求构造符合条件的数，并说明理由： （1）一个四位数，各位数字和为18（至少写2个）； （2）一个六位数，各位数字和为9，且包含数字0（至少写2个）。
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课后作业 基础练习 1.小亮设计的数字游戏：心里想一个两位数，十位数字乘2加3，再乘5加个位数字，结果告诉小亮就能猜出原数。若结果为108，原数是（ ） A. 93 B. 83 C. 90 D. 85 2.下列四位数中，不能被3整除的是（ ） A. 3690 B. 5544 C. 7015 D. 9999 3.用字母表示两位数，按“十位乘3加4，再乘5加个位”的规则运算，结果用代数式表示为（ ） A. B. C. D. 4.按“十位数字乘4加2，再乘5加个位数字”的规则，若结果为137，原两位数是______。 能力提升 5.能被3整除的最大三位数是______，最小四位数是______。 6.关于能被3整除的数的规律，下列说法正确的是（ ） A. 数字和能被6整除的数一定能被3整除 B. 能被3整除的数的数字和一定能被6整除 C. 数字和能被9整除的数不能被3整除 D. 末尾是3的数一定能被3整除 7.一个三位数，各位数字和为12，且能被3整除，这个三位数可以是______（写出一个即可）。 8.数字游戏中，若原数为，运算后结果为，则原数 = 结果 - ______。 9.计算下列各数的数字和，并验证能否被3整除： ①456；②7893；③1234。 拓展练习 10.数字游戏中，结果为156，按“十位乘3加4，再乘5加个位”的规则，求原数。
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3.3.2探索与表达规律
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第三单元
课题 整式及其加减 课时 3.3.2
课标要求 依据义务教育数学课程标准，本课时要求学生能探索具体情境（如数字游戏、数的整除）中的数量关系和变化规律，能用代数式表示这些规律，发展抽象思维和代数推理能力；掌握能被 3 整除的数的特征，体会从特殊到一般的数学思想；能运用所学知识解决简单的实际问题，感受数学与生活的联系，提升数学应用意识。
教材分析 本课时是北师大版七年级上册第三单元 “整式及其加减” 的 3.3.2 “探索与表达规律”，是在学生学习了代数式书写、整式加减的基础上展开的，既是对前面 “用字母表示数” 知识的深化应用，也是后续学习一元一次方程、函数等内容的重要铺垫。教材通过 “数字游戏” 和 “能被 3 整除的数的规律” 两个核心内容，引导学生从具体实例出发，经历 “观察 — 归纳 — 猜想 — 代数验证” 的过程，既体现了数学的抽象性与逻辑性，又通过生活相关的情境（如数字游戏、零件编号）增强数学的应用性，帮助学生体会 “从特殊到一般” 的数学思想。
学情分析 七年级学生此前已掌握用字母表示数、代数式书写及整式加减的基本方法，具备一定的具体运算能力，但抽象思维和逻辑推理能力仍处于发展阶段。学生对 “数字游戏” 这类具象情境兴趣较高，容易通过具体数字验证规律，但将具体数字转化为抽象出“能被3 整除”与 “能被 6、9 整除” 的规律，需要通过对比辨析强化理解，且需要借助具体实例逐步过渡到抽象推导。
教学目标 1.理解并能运用 “能被 3 整除的数的数字和特征 2.能用代数式表示数字或图形的变化规律 3.感受数学与生活的联系（如零件编号、数字游戏），激发数学探索兴趣，培养严谨的推理习惯。
教学重点 探索并掌握数字游戏的规律及代数推导方法，理解并运用 “能被 3 整除的数的特征” 学会用代数式表示数字或图形的变化规律，并能验证规律的普遍性。
教学难点 熟练通过设未知数将具体数字转化为代数式，推导规律的普遍性； 辨析能被 3、6、9 整除的数的规律差异。
教法与学法分析 教法上，采用 “情境导入 — 实例探究 — 启发引导 — 归纳总结” 的模式：以趣味数字游戏创设情境，激发学生兴趣；通过列举具体数字（如不同两位数、三位数）引导学生观察归纳规律，再用代数方法启发推导，突破抽象难点；结合小组讨论、实例验证（如正反例检验整除规律），强化学生对规律的理解。学法上，学生通过 “动手操作（验证数字游戏）— 合作交流（讨论数框规律）— 自主探究（推导整除规律）— 反思总结（梳理经验）” 的过程，主动参与规律探索，体会 “从特殊到一般” 的思想，逐步提升抽象思维和推理能力。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 小亮和小丽在玩一个数字游戏。 你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。 你知道小亮是怎样算出来的吗？ 推导过程：
设心里想的两位数为（为十位数字，为个位数字）。 按照游戏规则计算： 因此，原数 = 结果 - 15。例如：，，与题目结果一致。 【强调：①先让学生用具体数字（如自己想一个两位数）验证游戏，再引导用字母一般化推导，体会“从特殊到一般”的思维，即：先 “玩” 后 “学” ②强调代数式化简的步骤，关注学生对“表示两位数”的理解，突破抽象性难点。】 呈现 “两位数数字游戏” 情境，引导学生先用具体数字验证游戏结果，再通过设两位数为10a+b示范代数推导过程，强调对 “10a+b表示两位数” 的理解。 参与数字游戏，自主用个人想到的两位数验证结果，跟随教师思路尝试理解代数式化简与 “原数 = 结果 - 15” 的推导逻辑。 以 “先玩后学” 的方式激发兴趣，引导学生体会 “从特殊到一般” 的思维，突破用字母表示两位数的抽象性难点。
环节二：新知讲解 思考·交流 设计类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流 设计的数字游戏 请你心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘2，然后加5，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把结果告诉我，我就能知道你心里想的两位数。 道理解释（代数推导） 设心里想的两位数为（为十位数字，为个位数字）。 按照规则运算： 因此，原两位数 = 结果 - 25。 举例验证：若想的数是42，十位4×2+5=13，13×5=65，加个位2得67；67-25=42，与原数一致。 尝试·思考 （1）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗？ 列举不同三位数（如 123、456、702）和四位数（如 1233、5670），让学生计算 “数字和” 并验证能否被 3 整除，引导学生归纳 “数字和能被 3 整除，数就能被 3 整除” 的猜想。 举反例（如 124，数字和 7 不能被 3 整除，124÷3 也余 1），让学生进一步确认规律的普遍性。 分析：三位数情况：设三位数为（），则： 因为能被3整除，所以只要能被3整除，这个三位数就能被3整除。 （2）一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律？请说明理由。 分析：四位数情况：设四位数为（），则： 同理，只要能被3整除，这个四位数就能被3整除。 拓展 1.判断下列数能否被3整除，并说明理由： 三位数：342、517、906 四位数：2346、7015、9999 （要求：先计算数字和，再用除法验证，体会规律的实用性） 解答： 1.342 计算数字和： 判断：9能被3整除，因此342能被3整除 除法验证：，结果为整数，验证成立 2. 517 计算数字和： 判断：13不能被3整除（），因此517不能被3整除 除法验证：，结果不是整数，验证成立 3. 906 计算数字和： 判断：15能被3整除，因此906能被3整除 除法验证：，结果为整数，验证成立 二、四位数判断 1. 2346 计算数字和： 判断：15能被3整除，因此2346能被3整除（课本推导：四位数能否被3整除，同样看数字和，） 除法验证：，结果为整数，验证成立 2. 7015 计算数字和： 判断：13不能被3整除，因此7015不能被3整除 除法验证：，结果不是整数，验证成立 3. 9999 计算数字和： 判断：36能被3整除，因此9999能被3整除 除法验证：，结果为整数，验证成立 2.判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）如果一个数的各位数字和能被9整除，那么它一定能被3整除； （2）如果一个数能被3整除，那么它的各位数字和一定能被6整除。 分析： （1）正确，因为9是3的倍数，能被9整除的数一定能被3整除； （2）错误，如3能被3整除，但数字和1不能被6整除，从而辨析“能被3整除”与“数字和被6整除”的区别，同时拓展能被9整除的规律，建立知识联系） 组织 “设计数字游戏” 的交流活动，引导学生归纳能被 3 整除的数的猜想，通过位值原理推导规律，举反例强化认知。 小组合作设计类似数字游戏并解释道理，计算不同数的数字和验证整除性，参与代数式拆分推导，辨析反例与规律的关系。 深化用字母表达数量关系的能力，让学生理解能被 3 整除规律的数学本质，而非单纯记忆结论。
环节三:延申探究 回顾·反思: 回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验？ ①字母是“万能代表”，能表示多种类型的量：字母可表示具体数量关系、字母可表示公式与运算律、同一问题中，不同字母表示不同量 ②代数式书写有“规矩”，规范写才能不犯错：乘号要“简化”、除法变“分数”、单位标注有讲究 ③整式运算有“口诀”，抓准核心少走弯路：合并同类项、去括号、整式加减 ④用字母找规律，从“具体”到“一般”：三步走找规律、验证规律 ⑤注意字母取值：要符合实际（比如表示“人数”的字母不能是小数或负数），也不能让代数式无意义（比如分数中，和不能为0） ⑥分清单项式的“系数”和“次数”：系数包括前面的符号（如的系数是，不是2）；次数是所有字母指数的和（如的次数是，不是2） ⑦记住是常数：比如是单项式，系数是（不是2），次数是1（因为是数，不是字母） 引导学生回顾本章学习历程，梳理在用字母表示数量关系、代数式书写、整式运算等方面的经验，补充易错点提醒。 自主反思并分享用字母表示不同类型的量、规范书写代数式、找规律等方面的积累，纠正认知偏差。 系统梳理本章核心经验，帮助学生构建 “字母表达与运算” 的知识框架，为后续学习奠定基础。
环节四：巩固内化，拓展延伸 1.某工厂生产的零件编号是五位数“2□345”，请问： （1）方框里填什么数字（0-9），能使这个编号的零件数能被3整除？ （2）若该工厂一天生产了编号从20345到29345的所有零件，其中能被3整除的零件有多少个？ 解答： (1)方框填数：设方框数字为，则数字和为。要使14+x能被3整除，x可取值为1（14+1=15）、4（14+4=18）、7（14+7=21），故方框可填1、4、7。 (2)能被3整除的零件个数：编号范围是20345到29345，共个。每3个连续数中有1个能被3整除，9001÷3=3000余1，故能被3整除的零件有3000个。 2.按要求构造符合条件的数，并说明理由： （1）一个四位数，各位数字和为18（至少写2个）； （2）一个六位数，各位数字和为9，且包含数字0（至少写2个）。 解答： （1）四位数（数字和18）： 3690：数字和，18能被3整除，故该数能被3整除； 5544：数字和，18能被3整除，故该数能被3整除。 （2）六位数（数字和9，含0）： 102323：数字和，9能被3整除，且含数字0，故该数能被3整除； 900000：数字和，9能被3整除，且含数字0，故该数能被3整除。 呈现 “零件编号”“构造符合条件的数” 等实际问题，指导学生运用整除规律和字母表示数的方法分析、解决问题。 独立计算零件编号中方框的可填数字、构造满足数字和条件的数，验证结果的合理性。 将抽象规律与生活场景结合，提升学生运用所学知识解决实际问题的能力，强化规律的实用性。
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ 掌握了能被 3 整除的数的核心规律：一个数能否被 3 整除，关键看其各数位上数字之和是否能被 3 整除，且该规律适用于任意位数的数（三位数、四位数乃至更多位数）。 学会了两种实用技能：一是根据数字和快速判断一个数能否被 3 整除，二是逆向构造符合条件的数（如构造数字和为特定值的数），提升了对数字规律的应用能力。 理解了规律的推导逻辑：通过位值原理（如将三位数拆分为 99a+9b+(a+b+c)），明白规律背后的数学本质，而非单纯记忆结论。 能将规律应用于实际场景：比如解决零件编号、数量统计等生活中的问题，体会到数学与实际的联系。 引导学生从 “知识收获” 和 “数学思想” 两方面总结，梳理能被 3 整除的规律、数字游戏推导方法及归纳、代数推导等思想。 分享本节课在规律掌握、技能提升上的收获，提炼 “从特殊到一般”“举例验证” 等学习方法。 梳理本节课知识脉络，提炼核心数学思想，帮助学生形成清晰的认知结构，巩固学习效果。
板书设计 3.3.2 探索与表达规律（整式的加减）板书设计 一、标题 3.3.2 探索与表达规律（整式的加减应用） 二、板块一：数字游戏——用字母推导规律 游戏规则：心里想两位数→十位×2+3→和×5→加个位→报结果，猜原数 代数推导： 设两位数为（：十位，：个位） 结论：原数 = 结果 - 15 举例验证：结果93→93-15=78；结果27→27-15=12 三、板块二：能被3整除的数的规律 猜想归纳： 正例：123（1+2+3=6）、456（4+5+6=15）→能被3整除； 反例：124（1+2+4=7）→不能被3整除 代数证明： 三位数： 四位数： 规律总结：任意数能否被3整除，看各数位数字和是否能被3整除 四、板块三：核心经验（字母表达与运算） 字母可表示：任意数、数量关系、公式/运算律； 代数式规范：乘号简化（）、除法化分数（）； 关键思想：从特殊到一般、代数验证、举例检验 教案中“数字游戏” “整除规律” “核心经验”三大核心内容分板块呈现，逻辑清晰，帮助学生快速构建本节课知识框架
作业设计 基础练习 1.小亮设计的数字游戏：心里想一个两位数，十位数字乘2加3，再乘5加个位数字，结果告诉小亮就能猜出原数。若结果为108，原数是（ ） 2.下列四位数中，不能被3整除的是（ ） A. 3690 B. 5544 C. 7015 D. 9999 3.用字母表示两位数，按“十位乘3加4，再乘5加个位”的规则运算，结果用代数式表示为（ ） A. B. C. D. 4.按“十位数字乘4加2，再乘5加个位数字”的规则，若结果为137，原两位数是______。 能力提升 5.能被3整除的最大三位数是______，最小四位数是______。 6.关于能被3整除的数的规律，下列说法正确的是（ ） A. 数字和能被6整除的数一定能被3整除 B. 能被3整除的数的数字和一定能被6整除 C. 数字和能被9整除的数不能被3整除 D. 末尾是3的数一定能被3整除 7.一个三位数，各位数字和为12，且能被3整除，这个三位数可以是______（写出一个即可）。 8.数字游戏中，若原数为，运算后结果为，则原数 = 结果 - ______。 9.计算下列各数的数字和，并验证能否被3整除：①456；②7893；③1234。 10.数字游戏中，结果为156，按“十位乘3加4，再乘5加个位”的规则，求原数。
教学反思 本节课以“数字游戏”趣味情境切入，遵循“先玩后学、先实例后推导”的思路，引导学生从具体数字验证过渡到用10a+b表示两位数的代数推导，结合正反例深化能被3整除的数的规律理解，有效落实了“探索与表达规律”的教学目标，也让学生在过程中体会了“从特殊到一般”的数学思想，符合七年级学生抽象思维发展特点。但教学中也发现，部分学生对“用字母表示未知量推导规律”（如设数框中间数为x） 、拆分多位数为含9的倍数与数字和）的抽象过程仍存在理解滞后，且在辨析“能被3整除”与“能被6、9整除”的规律差异时，部分学生易混淆；同时，小组讨论环节中，对学习基础较弱的学生引导不足，导致其参与度较低。后续教学可优化两点：一是增加具象化辅助（如用卡片模拟数框数字变化、用实物演示多位数拆分），降低抽象推导难度；二是设计分层任务（如基础组侧重实例验证、提升组侧重代数推导），并加强对薄弱学生的个别引导，进一步提升教学的针对性和全体学生的参与深度。
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第三章 整式及其加减
3.3.2探索与表达规律
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解并能运用 “能被 3 整除的数的数字和特征
01
感受数学与生活的联系（如零件编号、数字游戏），激发数学探索兴趣，培养严谨的推理习惯。
03
能用代数式表示数字或图形的变化规律
02
02
新知导入
小亮和小丽在玩一个数字游戏。
你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。
02
新知导入
你知道小亮是怎样算出来的吗？
设心里想的两位数为（为十位数字，为个位数字）。
按照游戏规则计算：
因此，原数 = 结果 - 15。例如：，，与题目结果一致。
设计类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流
思考·交流
03
新知讲解
请你心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘2，然后加5，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把结果告诉我，我就能知道你心里想的两位数。
道理解释
设心里想的两位数为（为十位数字，为个位数字）。
按照规则运算：
=
=
因此，原两位数 = 结果 - 25。
举例验证：若想的数是42，十位4×2+5=13，13×5=65，加个位2得67；67-25=42，与原数一致。
03
新知讲解
（1）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗？
尝试·思考
如何用代数来推导呢？
如 123、456、702
03
新知讲解
设三位数为（），则：
因为能被3整除，所以只要能被3整除，这个三位数就能被3整除。
03
新知讲解
设四位数为（），则：
同理，只要能被3整除，这个四位数就能被3整除。
（2）一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律？请说明理由。
03
新知讲解
拓展: 判断下列数能否被3整除，并说明理由：
o 三位数：342、517、906
o 四位数：2346、7015、9999
（要求：先计算数字和，再用除法验证，体会规律的实用性）
03
新知讲解
（1）342：计算数字和：
判断：9能被3整除，因此342能被3整除
除法验证：，结果为整数，验证成立
（2）517：计算数字和：
判断：13不能被3整除（），因此517不能被3整除
除法验证：，结果不是整数，验证成立
（3）906：计算数字和：
判断：15能被3整除，因此906能被3整除
除法验证：，结果为整数，验证成立
03
新知讲解
（4）2346
计算数字和：
判断：15能被3整除，因此2346能被3整除
除法验证：，结果为整数，验证成立
（5）7015
计算数字和：
判断：13不能被3整除，因此7015不能被3整除
除法验证：，结果不是整数，验证成立
（6）9999
计算数字和：
判断：36能被3整除，因此9999能被3整除
除法验证：，结果为整数，验证成立
03
新知讲解
2.判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）如果一个数的各位数字和能被9整除，那么它一定能被3整除；
（2）如果一个数能被3整除，那么它的各位数字和一定能被6整除。
分析：
（1）正确，因为9是3的倍数，能被9整除的数一定能被3整除；
（2）错误，如3能被3整除，但数字和1不能被6整除，从而辨析“能被3整除”与“数字和被6整除”的区别，同时拓展能被9整除的规律，建立知识联系）
03
新知讲解
回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验？
回顾·反思
①字母是“万能代表”，能表示多种类型的量：字母可表示具体数量关系、字母可表示公式与运算律、同一问题中，不同字母表示不同量
②代数式书写有“规矩”，规范写才能不犯错：乘号要“简化”、除法变“分数”、单位标注有讲究
③整式运算有“口诀”，抓准核心少走弯路：合并同类项、去括号、整式加减
03
新知讲解
④用字母找规律，从“具体”到“一般”：三步走找规律、验证规律
⑤注意字母取值：要符合实际（比如表示“人数”的字母不能是小数或负数），也不能让代数式无意义（比如分数中，和不能为0）
⑥分清单项式的“系数”和“次数”：系数包括前面的符号（如的系数是，不是2）；次数是所有字母指数的和（如的次数是，不是2）
⑦记住是常数：比如是单项式，系数是（不是2），次数是1（因为是数，不是字母）
03
新知讲解
04
课堂练习
1.某工厂生产的零件编号是五位数“2□345”，请问：
（1）方框里填什么数字（0-9），能使这个编号的零件数能被3整除？
（2）若该工厂一天生产了编号从20345到29345的所有零件，其中能被3整除的零件有多少个？
解答：
（1）设方框数字为，则数字和为。
要使14+x能被3整除，x可取值为1（14+1=15）、4（14+4=18）、7（14+7=21），故方框可填1、4、7。
（2）能被3整除的零件个数：编号范围是20345到29345，共个。
每3个连续数中有1个能被3整除，9001÷3=3000余1，故能被3整除的零件有3000个。
04
课堂练习
2.按要求构造符合条件的数，并说明理由：
（1）一个四位数，各位数字和为18（至少写2个）；
（2）一个六位数，各位数字和为9，且包含数字0（至少写2个）。
解答：（1）四位数（数字和18）：
3690：数字和，18能被3整除，故该数能被3整除；
5544：数字和，18能被3整除，故该数能被3整除。
04
课堂练习
（2）六位数（数字和9，含0）：
102323：数字和1+0+2+3+2+1=9，9能被3整除，且含数字0，故该数能被3整除；
900000：数字和9+0+0+0+0+0=9，9能被3整除，且含数字0，故该数能被3整除。
04
课堂练习
05
课堂小结
探索与表达规律
一个数能否被 3 整除，关键看其各数位上数字之和是否能被 3 整除，且该规律适用于任意位数的数
日历数字规律
两种实用技能
一是根据数字和快速判断一个数能否被 3 整除，二是逆向构造符合条件的数（如构造数字和为特定值的数），提升了对数字规律的应用能力。
规律的推导逻辑
通过位值原理（如将三位数拆分为 99a+9b+(a+b+c)），明白规律背后的数学本质，而非单纯记忆结论。
基础练习
1.小亮设计的数字游戏：心里想一个两位数，十位数字乘2加3，再乘5加个位数字，结果告诉小亮就能猜出原数。若结果为108，原数是（ ）
A. 93 B. 83 C. 90 D. 85
2.下列四位数中，不能被3整除的是（ ）
A. 3690 B. 5544 C. 7015 D. 9999
06
作业布置
A
C
3.用字母表示两位数，按“十位乘3加4，再乘5加个位”的规则运算，结果用代数式表示为（ ）
B.
C. D.
4.按“十位数字乘4加2，再乘5加个位数字”的规则，若结果为137，原两位数是______。
06
作业布置
A
67
能力提升
5.能被3整除的最大三位数是__________，最小四位数是_________。
解析：①能被3整除的最大三位数
最大的三位数是999，计算其数字和：。
因为27能被3整除（），所以999能被3整除，且是最大的三位数，因此它是符合条件的最大三位数。
② 能被3整除的最小四位数
最小的四位数是1000，计算其数字和：，1不能被3整除，不符合条件。
06
作业布置
999
1002
依次验证后续四位数：1001（数字和2，不能被3整除）、1002（数字和，3能被3整除）。
1002是比1000、1001大的最小四位数，且能被3整除，因此它是符合条件的最小四位数。
06
作业布置
6.关于能被3整除的数的规律，下列说法正确的是（ ）
A. 数字和能被6整除的数一定能被3整除
B. 能被3整除的数的数字和一定能被6整除
C. 数字和能被9整除的数不能被3整除
D. 末尾是3的数一定能被3整除
7.一个三位数，各位数字和为12，且能被3整除，这个三位数可以是_______（写出一个即可）。
06
作业布置
A
129
8.数字游戏中，若原数为，运算后结果为，则原数 = 结果 - ______。
答案：
解析：已知原数为，运算结果为。将结果表达式变形：
由于是原数，因此移项可得：
06
作业布置
9.计算下列各数的数字和，并验证能否被3整除：
①456； ②7893； ③1234。
解答：① 数字和，，能被3整除，，验证成立；
② 数字和，，能被3整除，，验证成立；
③ 数字和，，不能被3整除，，验证成立。
06
作业布置
拓展练习
10.数字游戏中，结果为156，按“十位乘3加4，再乘5加个位”的规则，求原数。
答案：28
解析：设原数为，则，即，解得时，，原数为91
06
作业布置
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