3.2.1第2课时函数的最大（小）值（含解析）2025-2026学年高一数学（人教A版2019必修第一册）

3.2.1单调性与最大（小）值
第2课时函数的最大（小）值
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础巩固
题型一：函数的最值判定及求解
1．函数在区间上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数的定义域为，对于下列命题：
①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最小值；
②若函数有最小值，则存在唯一的，使得对任意，有；
③若函数有最小值，则至少存在一个，使得对任意，有；
④若是函数的最小值，则存在，使得．
则下列为真命题的选项是（ ）
A．①②都正确 B．①③都错误 C．③正确④错误 D．②错误④正确
3．已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）设，函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，方程有两个实数根
C．当时，函数存在最大值
D．当时，函数在区间上单调递增
题型二：函数的最值应用
6．已知函数在上的最大值为，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
7．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（ ）
A．55元 B．60元 C．65元 D．70元
8．设，若是的最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，函数在上的最大值是5，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若函数在上的最小值为0，求的值．
题型三：函数的恒（能）成立问题
11．已知函数，对任意，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 ．
15．已知函数，.
(1)若，求函数的值域；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
能力提升
16．（多选）定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个定义域为的函数，其中能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
17．已知函数，，，用表示，中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
18．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
20．定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
21．已知函数，若，使得，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
22．若对任意实数x都有，则a的取值范围为 ．
23．已知函数.
(1)判断在上的单调性，并求其在上的最大值与最小值；
(2)若对任意的，总存在，满足，求的取值范围.
试卷第4页，共4页
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《函数的最大（小）值》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11
答案 D D D B ACD C B D A C
题号 12 13 16 17 18 19 20 21
答案 C A BD B B B A C
1．D
（分析）将函数分离常数，再利用函数的单调性求解.
【解答过程】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减，
当时，；当时，；
所以函数的值域为.
故选：D.
2．D
（分析）根据函数最小值的定义依次判断各选项即可得答案.
【解答过程】解：对于①，不一定是函数的函数值，所以可能的最小值大于，故错误；
对于②，函数有最小值，则可能存在若干个，使得对任意，有，故错误；
对于③，函数有最小值，则由最小值的定义，至少存在一个，使得对任意，有，故正确；
对于④，若是函数的最小值，则存在，使得，故正确；.
故真命题的选项是②错误④正确.
故选：D
3．D
（分析）先把写成分段函数的形式，再求最大值即可
【解答过程】令，即,解得,
所以，
当时，由在定义域内单调递减可得，
当时，由二次函数的性质可得,
综上，函数的最大值为，
故选：D
4．B
（分析）根据对勾函数的单调性求值域.
【解答过程】令，则，
由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
又当时，，当时，，
故的值域为.
故选：B
5．ACD
（分析）分段分析函数的单调性，求得函数值的取值范围，可判断ACD的真假；直接求解方程的根，可判断B的真假.
【解答过程】选项 A：代入 ，函数为：
当 时，，故 ；
当 时，（等号在 时成立）；
当 时，（因为 ，故 ），故选项 A 正确.
选项 B：当 时，，解得 ；
由于 ，有 ，故 ，满足条件，是一个根；
当 时，，即 ，
由于 ，有 ，故 ，无实数解；
当 时，，即 ，解得 ，
但 ，而 ，不满足条件，故选项 B 错误.
选项 C：当 时，，值域是；
当 时，，这是一个开口向下的抛物线，
在 处取最大值 ；
当 时，，因为 ，所以；
比较各段：在 段，（因为 时 ）；
在 段，；在 段，.
因此，的最大值在 处取，值为 ，故选项 C 正确.
选项 D：当 时，，故函数在区间上单调递增；
当 时，，这是一个开口向下的抛物线，对称轴为： ，
故函数在区间上单调递增；
考虑分段点 ：当时，，
因此，函数在 上单调递增，故选项 D 正确.
故选：ACD
6．C
（分析）求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可.
【解答过程】由，可得，
所以函数的对称轴为，
当时，，
又函数在上的最大值为，
所以，解得（舍去），
当时，，所以，
所以，所以，解得或（舍去）.
故选：C.
7．B
（分析）设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为，由题意得到与的函数关系，借助二次函数即可求解.
【解答过程】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为，
由题意，则有，
因为，所以当时，取到最大值为.
故选：B
8．D
（分析）当a<0时，显然f(0)不是f(x)的最小值，当a≥0时，解不等式: 即可求解.
【解答过程】当a<0时，显然f(0)不是f (x)的最小值，
当a≥0时，f (0)=a2,由题意得：恒成立，
而时，，当且仅当时等号成立，
所以只需，解得，
又a≥0，所以.
故选：D.
9．A
（分析）先根据函数单调性得出，再结合函数解析式去绝对值得出函数最值,分，两种情况讨论即可确定参数范围.
【解答过程】因为在上单洞递减，因此．
若，则的最大值为5，符合题意；
若时，的最大值为与中较大的，由，即，解得，
显然时，的最大值为，
时，的最大值不为定值．
综上可得，时，在上的最大值是5．
故选:A．
10．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)或
（分析）（1）写出分段函数形式，画出其图象，数形结合得到单调区间；
（2）结合函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性和图象，表达出在上的最小值，得到方程，求出的值.
【解答过程】（1）当时，，
画出函数图象，如下：

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当时，
因为，所以，
开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递减，
在上的最小值为，
令，解得，舍去；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
故在上的最小值为，
令，解得（舍去）；
当时，因为，
所以，
此时图象如下：

函数在上的最小值为或，
当，解得（负值舍去），符合题意；
当，即，，符合题意；
综上，或.
11．C
（分析）首先判断函数的单调性，不等式转化为，结合函数的单调性，利用参变分离，转化为函数的最值问题，即可求解.
【解答过程】，在区间和都是增函数，且，
所以函数在上单调递增，
且，
所以不等式，
即，在恒成立，
即，恒成立，即，得或.
故选：C
12．C
（分析）由复合函数的定义域求得集合，记，问题转化为求在时的最小值，从而得参数范围．
【解答过程】∵的定义域为，∴，，则．令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是．
故选：C．
13．A
（分析）令，由参变量分离法可得，求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【解答过程】命题“，不等式恒成立”是真命题，则，
令，则，则，可得，
因为函数、在区间上均为减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
故当时，，所以，.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
14．
（分析）根据条件，得到，由题设有，再分和两种情况，求出的最小值，即可求解.
【解答过程】因为，，所以，
又对于任意的，存在，使得，则，
又，，
当时，，所以，解得，
当时，，所以，解得，
综上，的取值范围是，
故答案为：.
15．(1)
(2)
（分析）（1）当时，分析函数的单调性，即可求得函数的值域；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出函数的最小值，根据题意可得出，综合可求得实数的取值范围.
【解答过程】（1）解：因为，所以，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
当时，，
故当时，函数的值域为.
（2）解：①当时，，则，对称轴为，
此时在上单调递增，，
当时，则有恒成立；
②当时，，则，对称轴为，
此时在上单调递减，，
当时，则恒成立；
③当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，，
由，解得或．
综上可知，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题关键是求出函数的最小值.本题中要注意对实数的取值进行分类讨论，在函数解析式中去绝对值，将函数解析式化简，再结合二次函数的单调性求出最小值，再结合恒成立思想得出关于实数的不等式，进而求解.
16．BD
（分析）由可分析得当时，，即函数在单调递增，逐一检验即可.
【解答过程】由题可得：当时，恒有，
令，故：，又定义在上，
故，即在单调递增，
A项：在单调递减，故不正确；
B项：在单调递增，故正确；
C项：在递减，在递增，故不正确；
D项：在单调递增，故正确；
故选：BD.
17．B
（分析）在同一坐标系中作出函数，的图象，分，和三种情况讨论，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点的坐标，得到答案．
【解答过程】令，定义域为，
，得，且在，，单调递增，
所以函数图象如下：
则的图象如下：
当，则，
在同一坐标系中作出的图象，如下：
则的图象如下：
显然最小值为2，不合题意；
当，则，在同一坐标系中作出的图象，如下：
画出的图象如下：
显然函数在点取得最小值，令，解得，
令，解得，
当，则，在同一坐标系中作出的图象，如下：
画出的图象如下：
显然函数在点取得最小值，令，解得，
令，解得，
综上，．
故选：B．
18．B
（分析）根据给定条件，分离参数构造函数并求出最小值，再利用有解的条件求出范围.
【解答过程】不等式，当时，，
则，依题意，，
所以实数的取值范围是.
故选：B
19．B
（分析）先判断的单调性,再根据函数的单调性将转化为一元二次不等式求解即可.
【解答过程】 ，
当时,,则在时,单调递增；
当时,,根据幂函数单调性可知,在时,单调递增；
又在处,，
,是定义域为单调增函数，
，
，即 ，
解得:，
故不等式的解集为:.
故选：B.
20．A
（分析）不妨设，则由，可得，构造函数，从而可得出函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
【解答过程】由题意，不妨设，
则由，可得，
则，
所以，
令，则，
所以函数在上单调递减，
由，得，
由，得，
因为函数的定义域为，所以，
所以，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
21．C
（分析）分别求出函数在的值域，再利用集合的包含关系列式求解即得.
【解答过程】函数在上单调递减，在上单调递增，
则，，函数的值域为；
函数在上单调递增，函数的值域为，
由，使得，得，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
22．
（分析）由题意分类写出分段函数的解析式，求得函数的最小值，再由小于等于函数的最小值可得关于的不等式，求解得结论．
【解答过程】解：设，由恒成立，可得，
时显然成立；
当时，，
故，从而，解得，；
当时，，
故，从而，解得，．
综上，，．
故答案为：．
23．(1)在上单调递增；最大值为，最小值为；
(2).
（分析）（1）分离常数可得，并利用不等式的性质以及单调性的定义证明，结合单调性分析最值；
（2）根据的单调性以及存在性问题可得，再结合对勾函数性质以及恒成立问题分析求解.
【解答过程】（1）因为，可知在上单调递增，
证明如下：任取，且，则，
可得，即，则，
即，可知函数在上单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为.
（2）若存在，满足，则，
因为函数在上单调递增，则，
可得对任意的，满足，得恒成立，
又因为函数在单调递减，在单调递增，
且，可知的最大值为5，即，解得，
所以实数的取值范围.
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答案第15页，共15页