第三章圆随堂练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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第三章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　)
A． B．
C． D．
3．如图，是一张三角形纸板，是的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　 ）

A．cm B．cm C．cm D．1cm
5．如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
8．如图是某商品的标志图案，与是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点得到四边形．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．已知的半径为3，点O到直线l的距离为4，则下列能够反映直线l与位置关系的图形是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上的一个点，于点D．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是 ．
14．如图，分别与相切于点A、B，的切线分别交于点E、F，切点C在上．若长为2，则的周长是 ．
15．如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ．
16．如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ．
17．如图，在中，弦，M，N分别为垂足，那么 （填“>”“<”或“=”）
三、解答题
18．如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离．
19．如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？
20．如图所示的是一块打碎的圆镜的一部分，已知弧上有三点，，
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图中圆镜的圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知，且，求圆镜的半径．
21．如图，在等边中，点、分别在、边上．
(1)在边上求作点，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）
(2)若，，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件？请通过计算说明．
22．如图，、是圆上的两点，，是的中点．
(1)求证：平分；
(2)延长至，使得，连接，若圆的半径，求的长．
23．已知C、D两点在以AB为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB长为10，求阴影部分的面积．（结果保留）
24．解答下列问题
(1)如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．
①求证：；
②如图2，连接并延长交小圆于E，连接，若，求的值；
(2)如图3，过内一点P作弦，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
《第三章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A C C D B D A
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断；
【详解】解：∵圆的弦长小于等于直径长，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理求出当点P为圆心时的度数，从而得解．
【详解】解：∵，P点为圆心，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
设与的切点为点，由切线长定理可得，，，，据此可推出：的周长，于是得解．
【详解】解：如图，设与的切点为点，
是的内切圆，切点分别为点、、，且与相切于点，
，，，，
的周长
，
故选：．
4．A
【分析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出的值，此题得解．
【详解】正六边形的任一内角为，
（如图），
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可．
【详解】解：如图，连接，
点是劣弧的中点，
，
，
，
，
∵，
∴．
故选：C．
6．C
【分析】由题意知，该圆锥的底面半径为，圆锥高为8，圆锥的母线长为，根据圆锥侧面展开图的面积为，代入求解即可．
【详解】解：由题意知，该圆锥的底面半径为，圆锥高为8，圆锥的母线长为，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的面积．解题的关键在于熟练掌握面积公式．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围．
【详解】解：如下图所示，过点作，
中，，，，
，
，
，
解得：，
当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点，
当时，圆与边没有交点，
．

故选：D ．
8．B
【分析】根据已知条件得到四边形是矩形，求得图中阴影部分的面积，根据等腰三角形的性质得到，由圆周角定理得，于是得到结论．
【详解】解：与是的两条直径，
，
四边形是矩形，
与的面积的和与的面积的和，
图中阴影部分的面积，
，
，
，
图中阴影部分的面积（）．
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查圆与直线的位置关系，熟练掌圆与直线位置关系的判断是解题的关键．根据题意可知，点O到直线l的距离为4大于半径，故直线l与相离即可得到答案．
【详解】解：的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，所以直线l与⊙O相离，
故选 D．
10．A
【分析】直接利用切线长定理得出，，，进而求出的长．
【详解】∵，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．
11．B
【分析】先根据垂径定理求出的长和圆心角的度数，再Rt中利用勾股定理即可求出的值，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：，点O是所在圆的圆心，，
，，，
．
设，则．
在中，由勾股定理，得，
解得（负值已舍去），即，
．
【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出的长和圆心角的度数，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．
12．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算公式，掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可．
【详解】三角形是等边三角形，边长为1
，
第一段圆弧圆心角：，
第二段圆弧圆心角：，
以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），
以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
所以蚊香的长度为，
故选：B．
13．点P在上
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵的直径为，点P到圆心O的距离为，
∴，
∴点P与的位置关系是：点P在上，
故答案为：点P在上．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离是解答此题的关键．
14．4
【分析】本题主要考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．根据切线长定理可得，，即可求解．
【详解】解：分别与相切于点A、B，
，
的切线分别交于点E、F，
，
的周长．
故答案为：4
15．相交
【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．
【详解】解：根据题意为的直径，，
∴的半径为3．
又∵，，
∴则直线 与的位置关系是相交，
故答案为：相交．
16．
【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键．
找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可．
【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点，
由图可得点坐标为，
故答案为：；
17．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关定理并应用．
连接，利用垂径定理可得，再结合勾股定理得到，，由得到，再根据，即可判断大小．
【详解】解：如图，连接，则．
在中，．
在中，．
，
，
，
．
故答案为：．
18．
【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵的直径，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．，理由见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接，欲证与相等，先证、关系，证明即可．
【详解】，连接
∵
∴
又∵
∴
∴，
∵，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的垂直平分线交于点，则点即为所求；
（2）连接，根据直角所对的弦是直径，根据勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
点即为所求；
（2）如图所示，连接，
∵，
∴是的直径，
在中，，
∴，
∴圆镜的半径
【点睛】本题考查了确定圆心，作垂直平分线，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)图见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆与相交的点即为所求；
（2）由（1）易知，设，建立方程，解方程即可．
【详解】（1）以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆，交于、
如图，点、即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点有两个，
当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点只有一个，
当该方程没有实数根时，对应满足条件的点不存在（这段话不需要写出来）
∵只能作出唯一的点，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似比建立方程．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出等边三角形和等边，推出，即可得出答案；
（2）求出，再求出，，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接、，
∵，是弧的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，同理，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
23．
【分析】阴影部分的面积，根据等底等高的两三角形面积相等，然后把阴影部分的面积转为求扇形的面积并利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：阴影部分的面积
、把半圆弧三等份，
，
、等底等高，
阴影面积．
答：阴影部分面积是．
【点睛】本题的关键是分析阴影部分的面积是由哪几部分是组成的，然后根据扇形面积公式计算．
24．(1)①见解析；②
(2)见解析
【分析】（1）①过O作于H，根据垂径定理得到，，即可得出结论；
②连接，首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，然后结合即可求出的值；
（2）连接并延长至Q使，以Q为圆心为半径画弧交圆O于点A，连接并延长交圆O于另一点B，则弦即为所求．
【详解】（1）解：①证明：过O作于H，如图1所示：
∵，
∴，，
∴，
∴；
②解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴；
（2）解：如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查垂径定理、相似三角形的性质和判定等知识；熟练掌握垂径定理是解题的关键．
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