3.4圆周角和圆心角的关系随堂练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.4圆周角和圆心角的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是半圆的直径，D是弧的中点，，则的度数是（ ）．
A．55° B．60° C．65° D．70°
5．熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（ ）

A． B． C． D．
6．下列语句中不正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点A，C都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点D，恰好发现，则该圆形工件的半径长为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
8．如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．8
9．如图，为的直径，弦交于点E，，则（　　）
A． B．1 C． D．2
10．如图，已知的两条弦相交于点，那么的值为（　）
A． B． C． D．
11．如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（ ）
A． B． C． D．
12．某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（ ）
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A．① B．①② C．②③ D．①②③
二、填空题
13．如图，内接于O，是O的直径，点D是弧上一点，若，则的度数是 ．
14．如图，是的直径，C、D、E都是上的点，则 ．
15．如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 ．
16．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与直角三角板的斜边AB重合，点D为斜边AB上一点，作射线CD交半圆弧AB于点E，如果点E在量角器上对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为 ．
17．如图，，，是的外接圆圆心，交于点，则 ．
三、解答题
18．如图，中，，求证：．
19．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接．
(1)若，，求的直径；
(2)若，求的度数．
20．解答下列问题．
(1)如图 ，在 中，弦 与 相交于点 ，，，求 的度数．
(2)如图 ，在正方形 中，点 是 上一点 ，连接 ，并过点 作 的垂线交 于点 ，若 ，，求 长．
21．如图，四边形内接于，连接、相交于点E．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若，连接，求证：．
22．如图，是的外接圆．
(1)分别只用一次直尺和圆规，在上确定点D，使；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，的半径为2，求的长．
23．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是的直径，CF是的切线，E是切点，点F在AD上，BE是的弦．求的面积．
24．如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点D是的中点，试画出的平分线；
(2)若，点D在弦上，在图2中画出一个含角的直角三角形．
《3.4圆周角和圆心角的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A C A A D B D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】利用垂径定理可判断A选项；从而可得是线段的垂直平分线，进而可得，进而可得，，利用圆周角定理可判断B和C；由题意不能得到，进而可判断D．
【详解】解：是的直径，弦，垂足为，
，则A选项正确，故A选项不符合题意；
是线段的垂直平分线，
，
，，
，则B选项正确，故B选项不符合题意；
，则C选项正确，故C选项不符合题意；
D、由题意不能得到，则D选项不一定成立，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，熟练掌握其定理是解题的关键．
2．B
【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
3．A
【分析】由圆周角定理可求得的度数，再由已知及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
4．A
【分析】连接，由于点D是的中点，即，根据圆周角定理得，则，再根据直径所对的圆周角为直角得到，然后利用三角形内角和定理可计算出的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵点D是的中点，即，
∴，而，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．
5．C
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接，
，
，
是等边三角形
，
该镜子的直径为8cm，
故选: Ｃ．
6．A
【分析】根据圆的性质依次进行判断即可得．
【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线（或直径所在的直线）都是圆的对称轴；④在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；
综上，①②④错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆的性质．
7．A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，90°的圆周角所对的弦是直径，先根据等边对等角的到，然后得到，进而求出，然后根据是圆O的直径即可解题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是圆O的直径，即半径长为10cm，
故选A．
8．D
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案．
【详解】解：连接、，
点A是的中点，
，设垂足为点，
，
，
和所对的弧都是，
，
，且，
，
，
，
在中，,，，，
，
是的直径，
，
故选D．
9．B
【分析】根据为的直径，可证出，再根据已知和三角函数即可得出和，进而即可得解．
【详解】解：∵为的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理推论的应用，锐角三角函数的应用，熟练的运用锐角三角函数求解的长是解本题的关键．
10．D
【分析】此题重点考查学生对圆内角的大小的理解，对顶角相等是解本题的关键根据已知角和对顶角相等，可以求出的大小，进而得出的值
【详解】已知的两条弦，相交于点，,
,
∵
故选：
11．B
【分析】本题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
本题先连接，则，所以，由，得，则，由，得，求得，即得到本题的答案．
【详解】解：连接，如图：
，
则，
∴，
∵，且，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：．
12．B
【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图
∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴优弧所对圆周角
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且
∴为优弧所对圆周角
∴，即①方案成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，
∵，，
∴②方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，和相切于点P
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和
∴③方案不成立；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
13．/70度
【分析】由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到为直角，再由的度数，利用三角形的内角和定理求出的度数，由同弧所对的圆周角相等得到所求的角与的度数相等，进而确定出所求角的度数．
【详解】解：是的直径，
，
又，
，
和都为弧所对的圆周角，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
14．90
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，如图，连接，由，，再进一步求解即可；
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴；
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，连接，利用圆周角定理得到是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求得直径的长即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵矩形中，，
∴为的直径，
根据勾股定理得：．
故答案为：．
16．
【分析】连接，则，根据“直径所对的圆周角等于”可知C点在上，根据圆周角定理可求得的度数，根据三角形内角和定理可求得的度数，由此可得的度数．
本题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】
连接，则，
，
∴C点在上，
．
，
，
．
故答案为：
17．/度
【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握相关性质是解题关键．根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵是的外接圆圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18．证明见解析
【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据证明即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，同弧所对的圆周角相等，推出是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
（1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论；
（2）由，结合直角三角形可以求得结果；
【详解】（1）解：∵，
，
设，
又 ∵，
，
，
解得：，
∴的直径是 20 ．
（2）解：，
，
，
∴，
，
．
20．(1)
(2)6
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由圆周角定理，即可求解；
（2）根据正方形的性质可得，，再由可得，可证得，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）解： 四边形 是正方形，
，，
，
在 中，，
于，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，解得 ，，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用得到，则，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论；
（2）作直径，连接，如图2，先利用垂直定义得到，再利用圆周角定理得到，，，然后根据等角的余角相等得到结论．
【详解】（1），
，
即，
，
，
；
（2）作直径，连接，如图2，
，
，
，
，，
，
为直径，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
22．(1)答案见详解；
(2)．
【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于点（异于点），连接交于点即可；
（2）利用圆周角定理的推论，推出，得线段为直径，然后在等腰直角中求出的长，然后利用相似三角形的对应边成比例，列式计算求得的长．
【详解】（1）解：如图1所示，点为所作；
，
，
又，
；
（2）解：如图2所示，连接，
，，
，，
，
为直径，为等腰直角三角形；
的半径为2，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】此题考查了尺规作图、相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论是解答此题的关键．
23．
【分析】先根据切线长定理，得到之间的数量关系，再结合勾股定理，得到的长，即可求出的面积．
【详解】解：设．
四边形是正方形，
，即．
又是的直径，
是的切线．
是的切线，E是切点，
．
同理可得，
，．
在中，，
即，解得，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、正方形的性质、勾股定理的运用以及三角形的面积公式，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接并延长与圆O交于点E，连接即为所求；
（2）连接并延长交圆O于N，延长交圆O于M，连接，，则即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，连接并延长与圆O交于点E，连接即为所求；
∵D是的中点，
∴，
∴，即平分；
（2）如图所示，连接并延长交圆O于N，延长交圆O于M，连接，则即为所求；
∵，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴是含的直角三角形．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理等等；解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
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