3.6直线和圆的位置关系随堂练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.6直线和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的半径为2，圆心到直线的距离为4，则直线和的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
2．如图，是外一点，是的切线，为切点，与相交于点，已知，为上一点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
4．如图，是的直径，是外一点，交于点，连接．若，则当等于__________时，与相切（ ）

A． B． C． D．
5．如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，、分别是的切线，A、B为切点，是的直径，已知，∠P的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的顶点A、D在上，边与相切，若正方形的周长记为，的周长记为，则、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
9．如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
10．已知的半径为3，点O到直线l的距离为4，则下列能够反映直线l与位置关系的图形是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，、切于点A、B，点C是上一点，且，则为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于、两点，的半径为，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是 ．
14．设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ．
15．已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ．
16．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
17．如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为 ．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点．
(1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ；
(2)判断与轴的位置关系： ．
19．如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
20．如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．
21．如图，在中，，为边上一点（不与点重合）．若的半径为，当在什么范围内取值时，直线与相离、相切、相交？
22．如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为．
(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
23．阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．
解：连接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．
(3)若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
24．如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D
(1)求证：平分；
(2)若，，求及的长.
《3.6直线和圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B C D D A B D
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线与的位置关系是相离．
【详解】∵的半径为2，圆心到直线的距离为4，
∴直线和的位置关系是相离．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
2．C
【分析】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理，根据切线的性质可得：， 利用圆周角定理可得是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
故选C．
3．D
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆的位置关系，理解以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键．
4．B
【分析】根据与相切，可得，根据直角三角形中两锐角互余可得的度数，根据圆周角定定理及求解．
【详解】解：∵与相切，
∴，
在中，，
∴，
在中，是圆周角，是圆心角，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角角定理，直角三角形中两锐角互余的知识，掌握圆的基础知识是解题的关键．
5．C
【分析】根据圆的切线定理，同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一半等依次判断，即可．
【详解】解：∵是的直径，与相切于点，
∴，
∴正确；
∵是弧的中点、
∴
∴，，
∵所对的圆周角是，
∴，
∴
∴，
∴正确；
∵所对的圆心角是，所对的圆周角是，
∴，
∴正确；
∵，，
但无法证明与的等量关系，
∴，
∴错误；
综上所述，正确的为：共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆的切线定理，圆周角，圆心角，弦的关系．
6．D
【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案．
【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．
过点O作直线l的垂线，垂足为A．
当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．
从距离角度看，圆的半径r要满足：，即．
故选：D
7．D
【分析】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键；
由与都为圆的切线，根据切线的性质得到与垂直，与垂直，可得出与都为直角，又，根据等边对等角可得与相等，由的度数求出的度数，进而利用三角形的内角和定理求出的度数，在四边形中，利用四边形的内角和定理即可求出的度数；
【详解】解：∵，分别是圆的切线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在四边形中，，，
则，
故选：D．
8．A
【分析】设正方形的边长为，⊙O的半径为，则，，结合垂径定理，勾股定理得出，则，，即可得出结论．
【详解】如图：设与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，
为中点，
设正方形的边长为，⊙O的半径为，
，
在中，，
，
，
正方形周长为，⊙O的周长为，
，，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆切线的性质，正方形的性质，垂径定理，勾股定理，以及正方形的周长和圆的周长公式，熟练掌握垂经定理和勾股定理找到正方形的边长和圆的半径之间的关系是解题关键．
9．B
【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作于点H，求出，由即可得到结论．
【详解】解：过点D作于点H，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴则圆与直线的关系是相离．
故选：B．
10．D
【分析】本题主要考查圆与直线的位置关系，熟练掌圆与直线位置关系的判断是解题的关键．根据题意可知，点O到直线l的距离为4大于半径，故直线l与相离即可得到答案．
【详解】解：的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，所以直线l与⊙O相离，
故选 D．
11．B
【分析】由与都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据，利用四边形的内角和定理求出的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出的度数即可．
【详解】解：如图所示，连接、，
∵与都为圆的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理、四边形内角和，熟练运用切线的性质和圆周角定量是解此题的关键．
12．B
【分析】连接，，作于，于，由直角三角形的性质可得，即可求得，再由弦切角定理可得，由即可得∽，再由相似三角形的性质可得，所以是等腰直角三角形，所以，可得∽，即可解得．
【详解】解：连接，，作于，于，
，
，，
，
切于，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
∽，
：：，
：：，
．
故选：B．
【点睛】本题考查弦切角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，关键是作辅助线构造相似三角形．
13．相交
【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与的位置关系为相交．
【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是，的半径为，
又∵，
∴直线l与相交．
故答案为：相交．
【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
14．
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得与直线a相离或相切，即可求解．
【详解】解：∵与直线a至多只有一个公共点，
∴与直线a相离或相切，
∵的半径为4，
∴．
故答案为：
15．50
【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：的面积为；
故答案为：50．
【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键．
16．或
【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
最大值为圆与圆E内切，切点为Q，
∴，
当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，
设，则，
∴，
∴，
则长度的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
17．4
【分析】延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题．
【详解】解：延长到，使，连接，
是的内心，
，，
，，，
，
，
，
∴，
∵，
，
∵，，
，
，
，即点为的中点，
，
是的中位线，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线．
18．(1)见解析，
(2)相交
【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法；
（1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求；
（2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断；
【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示：
点坐标为：
故答案为：；
（2）∵，
即：的半径，
点到轴的距离，
∵，
∴与轴相交，
故答案为：相交．
19．(1)证明见解析
(2)，
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理推理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）连接，由C是的中点求得根据等边三角形的性质得到，求得，求得得到结论；
（2）根据圆周角定理得到根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到于是得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了圆与三角形的综合，角平分线性质，圆的切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程解决实际问题等知识点，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
（1）作 于点，根据角平分线性质得 ，得点 在 上，即得 与 相切；
（2）根据勾股定理求得，表示出，根据切线性质定理表示出所需要的边，根据勾股定理列出关于 的方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）证明：
如图，作 于点 ，
， 平分 交 于点 ，
于点 ，
，
是 的半径，，
点 在 上，
是 的半径，且 ，
与 相切．
（2）
解：
，，，
，
，
，
是 的半径，且 ，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
的长为 3．
21．当时，直线与相离；当时，直线与相切；当时，直线与相交
【分析】作于点D，根据直角三角形的性质得出，根据直线和圆的位置关系进行解答即可．
【详解】解：作于点D，如图所示：

∵，，
∴，
.∵，
∴，
若与直线相离，则有，即，解得，∴；
若与直线相切，则有，即，解得；
若与直线相交，则有，即，解得，∴；
综上可知：当时，直线与相离；当时，直线与相切；当时，直线与相交．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质得出．
22．(1)，或，
(2)当时，与直线相交；当或时，与直线相离．
【分析】本题为一次函数和圆的运用综合题，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标；
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围．
【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为，
当点在直线右侧时，
，
得，
把代入直线解析式，
可得，，
，
当点在直线左侧时，
，
得，
把代入直线解析式，
可得，
，
当与直线相切时，点的坐标为或；
（2）解：当时，与直线相交，
当或时，与直线相离．
23．(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，易得边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质可得答案；
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，，类比阅读材料，可得，即可得出答案；
（3）由（1）（2）的结论，类比分析即可得出答案；
【详解】（1）∵，
∴此三角形为直角三角形，
∴三角形面积，
∴r= =2.
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，.
则
∴r= .
（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切边形中，有成立
【点睛】本题主要被考查学生根据阅读材料，结合课本知识，分析、解决问题的能力，认真阅读材料，理清题意是解此类题的关键．
24．(1)见解析
(2)10，
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理和解直角三角形．
（1）连接，根据切线的性质得，然后证明，从而得到结论；
（2）连接，利用正切的定义可求出，再利用勾股定理计算出，接着根据圆周角定理得到，则利用正切的定义求出，然后利用勾股定理计算出．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，如图，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
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