3.7切线长定理随堂练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.7切线长定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（ ）
A．16 B．23 C．25 D．32
2．如图，是的内切圆，分别切于点D，E，F．若的周长为，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，从外一点P引的两条切线，切点分别是A、B，若，则弦的长是（ ）
A． B． C．5 D．
5．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．

A． B． C． D．以上都不对
6．如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
7．如图，中为直径，， 分别切于点 ，．，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
9．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．直角梯形中，，，，以为直径的切于点E，连交于点M，连交于点N，则四边形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
11．若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，C为半圆弧的中点，P为弧上任意一点，，且与交于点D，连接．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，，分别切于点A，B，，那么的长为 ．
14．如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ．
15．如图，是的切线，为切点，如果，，则的长为 ．

16．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点，当长度为 时，与半圆相切．
17．如图，已知半径，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，，，连接，要使取得最大值，则等于 °．
三、解答题
18．已知，为的弦，且．
(1)如图1，若，求阴影部分的面积；
(2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的切线．
19．如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．

20．如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．

21．在中，为的直径，为过C点的切线．
(1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小；
(2)如图②，过点作的切线交于点，求证：；
(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．
22．如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交于点E，求和四边形的周长之比．
23．已知直线上有两点，且，作，长为10的线段于点，以为直径向右作半圆．

(1)若点为半圆上一点，则的最小值为__________；
(2)将半圆向右平移得到半圆的对应点分别为，当半圆与相切时，求平移距离．
24．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
《3.7切线长定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C D C D A B B
题号 11 12
答案 D A
1．D
【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，即可求解；掌握切线长定理是解题的关键．
【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，，
，
，
，
的周长为：
；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆的性质,再结合三角形周长求出AE的长度.
根据是的内切圆，得到切线长相等，再根据三角形的周长，以及BC的长度，求出AE的长度.
【详解】是的内切圆，
，
．
的周长为，
，
，
的长为
故选：C.
3．C
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解此题的关键．根据切线的性质得出，，求出，求出，根据圆周角定理求出，根据，即可求解．
【详解】解：、分别与相切于点、，
，，
，
，
，
是的直径，
，
，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【详解】解：∵，为的切线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
故选：C．
5．D
【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解．
【详解】连接，，如图，

∵切于，切于，
∴，即是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴，即平分，
∴，即A、B、C三项都正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键．
6．C
【分析】根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解： 分别切 于点 ， 切 于点 ，，
， ， ，
的周长
，
故选：C ．
【点睛】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算．
7．D
【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理等知识，根据切线的性质定理得到，求出，根据切线长定理求出，利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解： 切 于点 ，
，
又 ，
，
， 分别切 于点 ，，
，
，
．
故选：D
8．A
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，全等三角形的判定和性质，根据切线性质和切线长定理可得，，， 进而可得，，即得，，得到，再利用四边形的内角和求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，点是切点，
∴，，，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
9．B
【分析】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
同理，，
的周长，
，
．
故选：B
10．B
【分析】如图，连接，证明，为的切线；可得，，，过作于，证明四边形为矩形，可得，，，，求解，同理可得：，，证明四边形为矩形，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，以为直径的切于点E，
∴，为的切线；
∴，，
∴，
过作于，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴四边形的面积为，
故选：B
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定，切线长定义的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
11．D
【分析】作交于，连接，由折叠和圆周角定理得出，再由完美三角形的定义得出相关边长的等量关系，最后设，代入关系式求解即可．
【详解】解：如图，作交于，连接，
∵弧是由部分沿折叠得到的，且，
∴，
又∵，
∴，
∵是完美三角形，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了圆的折叠问题，三角函数，圆周角定理，直角三角形等知识点，正确画出辅助线，理清思路是解题的关键．
12．A
【分析】由，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，利用和是定值，即可求得的最小值
【详解】如图所示，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，
∵的直径为，C为半圆弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，
∵，C为半圆弧的中点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴中，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴的最小值为：
故选：A
【点睛】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆的性质和勾股定理，难度较大，解决问题的关键是动点的轨迹.
13．2
【分析】本题考查切线长定理，由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长．
【详解】解：∵、分别切于A、B，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：2．
14．/厘米
【分析】本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解题的关键．先根据切线长定理求得，，，再由的周长为，即可求解．
【详解】解：、、分别切于、、，
，，；
∵的周长为，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理：由于是的切线，则，，求出的长即可求出的长，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
【详解】解：∵A为的切线，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴．
故答案为：．
16．//1.5
【分析】连接，，根据切线的定义可得，先求出的度数，再求出的度数，根据轴对称的性质可得，即可得出，即可求解．
【详解】解：连接，，
∵为半圆直径，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∵与半圆相切，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角，轴对称的性质，勾股定理，在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．
17．90
【分析】延长交于点P和点Q，连接，根据垂径定理可得点D为中点，点E为中点，得出，则当最大时，取最大值，当为直径时，取最大值，根据直径所对的圆周角为直角以及四边形的内角和，即可求解．
【详解】解：延长交于点P和点Q，连接，
∵为半径，，，
∴分别平分，即点D为中点，点E为中点，
∴，则当最大时，取最大值，
当为直径时，取最大值，
此时为直径所对的圆周角，故，
在四边形中，，
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形的中位线定理，以及直径所对的圆周角为直角，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．
18．(1)
(2)作图见详解
【分析】（1）阴影部分的面积是圆的面积减去三角形的面积，由此即可求解；
（2），点在圆上，连接并延长交于点，连接，并延长交于点，由此即可求解．
【详解】（1）解：半径，，
∴，，
∴阴影部分的面积为：．
（2）解：如图所示，
连接并延长交于点，连接，并延长交于点，作直线，则为所求作的切线．
【点睛】本题主要考查圆的几何变换，切线的尺规作图，掌握圆的基本知识，切线的性质是解题的关键．
19．
【分析】首先根据切线的性质和切线长定理得到，，然后根据直角三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理得到．
【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
20．见详解
【分析】根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解 ．
【详解】根据切线长定理可得：，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理得出，，，，是解答本题的关键．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义；
（1）由三角形内角和角的计算问题；
（2）连接，则，根据切线长定理得到，则，得到，即可求解；
（3）根据，设，，则，再依据，求出，，再求出，即可计算，，最后求值即可．
【详解】（1）由题意知，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）连接，
∵为的直径，
∴，
∵为过C点的切线，过点作的切线交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，
由（1）（2）可得，，，
∴，
∴设，，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
22．
【分析】本题主要考查了切线长定理以及正方形的性质，勾股定理．根据切线长定理以及正方形的性质可得，，设，，则，，．在中， 根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：∵与半圆O相切，四边形是正方形，
∴，．
设，，则，，．
在中， 根据勾股定理，得：，
∴，
∴的周长为，四边形的周长为，
∴和四边形的周长之比为．
23．(1)
(2)
【分析】（1）如图所示，连接交半圆于M，此时的值最小，利用勾股定理求出，则的最小值为；
（2）如图所示，设半圆与相切与点H，连接，由切线长定理可得，解直角三角形得到，则平移的距离为．
【详解】（1）解：如图所示，连接交半圆于M，此时的值最小，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：

（2）解：如图所示，设半圆与相切与点H，连接，
∵是半径，，
∴是半圆的切线，
∵，是半圆的切线
∴，
∴，
∴平移的距离为．

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，切线长定理，切线的判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键．
（1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长．
【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2），，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
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