3.8圆内接正多边形随堂练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.8圆内接正多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　）

A． B．3 C．6 D．
2．正十边形的中心角的度数为（　　）
A．30 B． C．45 D．60
3．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形内接于，半径为6，则这个正六边形的边心距为（ ）
A．4 B． C． D．
7．等边三角形的边心距、半径和高的比是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
9．已知是半径为2的圆形纸板，现要在其内部设计一个内接正三角形的图案，则内接三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
10．圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（　　）
A．4 B． C． D．
11．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题
12．如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ．
13．如图，若的半径为1，则的内接正八边形的面积为 ．

14．如图，经过正六边形的顶点，，为优弧上一点，则劣弧所对的圆周角的度数为 ．
15．以圆内接正五边形为例证明：
如图，把分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形．
∵，
∴_______＝_______＝_________＝________，
∴，
∴_______，
同理，
又∵五边形的顶点都在上，
∴五边形是的___________，
是五边形的_____________．
16．如图，等边内接于，为边的中点，为上一动点，连接交于点，则的最大值为 .
三、解答题
17．如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)画出的内接正．
(2)在上画出、两点，使得．（画一种即可）
18．如图，正六边形内接于，半径为．

(1)求的长度；
(2)若G为的中点，连接，求的长度．
19．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点．
(1)求证：是正六边形的一边；
(2)请在图上继续画出这个正六边形．
20．今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？
问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形；
问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，）
问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积．
21．设圆的半径为1，若用的外切正六边形的面积来近似估计的面积，则的面积是多少？（结果保留根号）
22．如图， 的半径为，正六边形内接于．求：
(1)圆心O到的距离；
(2)正六边形的面积．
《3.8圆内接正多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C C B D C A D
题号 11
答案 B
1．C
【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果．
【详解】解：如图所示：

∵正六边形ABCDEF内接于，
是等边三角形，
∵的周长是，
故选：
【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．
2．B
【分析】本题考查正多边形和圆，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的个数（多边形的边数），就得到中心角的度数．
【详解】正十边形中心角的度数为，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解．
【详解】解：由题意得，正八边形的中心角为，
∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为，
故选：．
4．C
【分析】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质．熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的所有边都相等，所有内角都相等，结合等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：五边形为正五边形，
，，
，
，
故选C．
5．C
【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形内角与外角．首先求得正六边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，即，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】连接，证明是等边三角形，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理是解题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查圆与正多边形．根据题意可以表示正三角形的边心距、半径和高，从而求得它们的比值．
【详解】解：如图所示，为等边三角形，O为外心，连接并延长交于点D，连接，则，
∵是等边三角形，
∴，
则，平分和，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】连接，证是等边三角形，得，过B作于点G，则，，得，再由题意得P，Q第一次相遇地点的坐标在点，第二次相遇地点在点，第三次相遇地点在点，如此循环下去，即可求出第2021次相遇地点的坐标．
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵，O为正六边形的中心，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过B作于点G，则，，
∴，
∴，，
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：（秒），
此时点P的路程为，点的Q路程为，
此时P，Q相遇地点的坐标在点，
以此类推：第二次相遇地点在点，
第三次相遇地点在点，…如此下去，
∵，
∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、规律型﹣点的坐标、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质，解决本题的关键是找出规律.
9．A
【分析】根据题意画出图形，欲求的边长，把中边当弦，作的垂线，在中，求的长；根据垂径定理知：，从而求正三角形的边长即可．
【详解】解：如图所示：
∵是等边三角形，的半径为2，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即它的内接正三角形的边长为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
10．D
【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】如图（一），

∵圆内接正六边形边长为2，
∴，，
∵，
∴可得是等边三角形，圆的半径为2，
如图（二），

连接，过O作于D，
则根据内接正三角形的性质，可得，
即，
故．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．B
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解．
【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
12．
【分析】本题考查了正多边形和圆，能求出每个正六边形被圆截的弧对的圆心角的度数是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长正六边形的两边，
∵正六边形的每个外角为
∴圆心角为，
∴的值为，
故答案为：．
13．
【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，根据即可．
【详解】
解：连接，，，

∵四边形是圆内接正四边形，，是圆的直径，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形，利用圆内接正多边形的性质求出正方形的边长是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了正多边形和圆，连接，根据正六边形的性质可得全等三角形，则可得到是等边三角形，则可推导出圆周角的度数.
【详解】解：如图，连接，，．
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
15．，，，，，内接正五边形，外接圆
【分析】根据在同一个圆中，等弧所对的弦相等得出，进而得出，，即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
又∵五边形的顶点都在上，
∴五边形是的内接正五边形，
是五边形的外接圆．
故答案为：，，，，，内接正五边形，外接圆
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．
【分析】取的中点，连接，连接交于点,当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，当为直径时，符合题意，进而求得,即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，连接交于点,
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴
当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，
此时为直径，如图，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∵是等边三角形
∴，,
∴,
∵,
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，得出最大时的情况是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系：
（1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形；
（2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则．
18．(1)
(2)
【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解．
（2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解．
【详解】（1）解：连接，，如图：
六边形是正六边形，
，
又，是的半径，且半径为，
，
是等边三角形，
．
（2）连接，，如图：

则为的直径，
，，
由（1）得：，
在中，，
，
G为的中点，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键．
（1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边；
（2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长．
【详解】（1）证明：连接，如图．
∵，
∴是等边三角形，
，
∴是正六边形的一边；
（2）解：如图所示，
用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形．
20．问题一：45；问题二：，；问题三：．
【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键．
问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成，可得等腰三角形每个顶角的度数；
问题二：根据及的长可得和的长度，进而可得的长度，的面积，，把相关数值代入计算即可；
问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积正方形的面积4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成，
每个顶角的度数为：，
故答案为：45；
问题二：作的中垂线交于D，交于E，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形，
正八边形的边长为，
∴，
，
正方形的边长为，
正八边形的面积．
21．
【分析】根据正多边形的定义可得出为等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理结合的长度可求出的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
【详解】解：依照题意画出图象，如图所示．

∵六边形为正六边形，
∴为等边三角形，
∵的半径为1，
∴，
∴
∴，即
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长；
（2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积．
本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键．
【详解】（1）
如图，过点O作于点H，连结、，
则，，
，
在中，
，
，
，
故圆心O到的距离为．
（2），，
是等边三角形，
，
，
∴正六边形的面积为．
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