第二十一章重点回顾 单元练习（含详解）2025--2026年九年级数学上册人教版

九上第二十一章重点回顾 单元练习
班级： 姓名：
参考答案
一个 2 降次 降次
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
－
单元练习
一、单选题（本大题共10小题）
1．淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1,则（ ）
A. 1 B. C. D. 1或
2．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）.
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
3．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
4．一元二次方程（a-2）x2-2x+a2-4=0的一个根是0，则a的值是（　　）
A．2 B．1 C．2或﹣2 D．﹣2
5．等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为 (　　)
A．17或13 B．13或21
C．17 D．13
6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
9．对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，：：，，是上一动点，过点作于，于，，则的长是（ ）
A．定值 B．定值 C．不确定 D．定值
二、填空题（本大题共8小题）
11．已知关于的方程，当 时，方程为一元二次方程．
12．设,是方程的两个根，且，则______.
13．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．关于的方程没有实数根，则的取值范围为 ．
15．已知，则 ．
16．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且 ，则实数 ________．
17．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
18．已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则________.
三、解答题（本大题共9小题）
19．解方程：．
20．解方程：.
21．解方程：.
22．解方程：．
23．某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
24．先化简，再求值： ，其中x满足 ．
25．长山群岛是黄海最大岛群，位于辽东半岛东侧的黄海北部海域，共由200多个海岛组成，所产海带销往全国各地．某超市以20元/袋的价格购进一批海带，经市场调查发现，这种海带的日销售量y（袋）与每袋售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)该超市销售这种海带每日的利润能否达到480元？如果能，求出每袋售价；如果不能，请说明理由．
26．已知关于x的方程
(1)求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
27．例：对多项式分解因式时有一个因式为，求m的值及另一个因式．
解：由题意可知，当时，，代入原式，得，
∴原多项式即为对进行因式分解；
利用因式分解与整式乘法的关系，可得，
综上得：，另一个因式为．
以上求m的方法叫作“试根法”，该方法最先由数学家韦达发现并加以应用．
请你根据以上方法解决下列问题：
(1)已知二次三项式有一个因式为，则______；
(2)若分解因式后，有两个因式和，求的值；
(3)无论k取何值，点满足方程恒成立，求关于x的不等式：的解集．
参考答案
1．【答案】C
【解析】由题意得，解得或（舍）.故选.
2．【答案】A
【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可.
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得(32 2x)(20 x)=570，
故选A.
3．【答案】C
【分析】先移项把方程化为，再配方可得，结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得，
配方得，而（x+3）2＝2c，
，
解得，
故选C.
4．【答案】D
【分析】把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0，解得a1=2，a2=-2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【详解】解：把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0，
解得a1=2，a2=-2，
因为方程为一元二次方程，
所以a-2≠0，
所以a=-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程．
5．【答案】C
【详解】解方程x2-10x+21=0得,x1=3,x2=7.∵3+3<7,∴等腰三角形的底边长为3,腰长为7,∴这个三角形的周长为3+7+7=17,故选C.
6．【答案】B
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故此题答案为B．
7．【答案】B
【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，
∴是直角三角形，
故选B．
8．【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故此题答案为A．
9．【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【详解】
解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则．
10．【答案】D
【分析】
设，则，进而得出，再用勾股定理求出，进而用勾股定理建立方程求出，最后用三角形的面积建立方程求解，即可求出答案．
【详解】
解：如图，
设，则，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，
根据勾股定理得，，
，
舍去或，
，
连接，过点作于，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
11．【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求出答案．
【详解】解：∵若方程是一元二次方程，
∴，
∴；
故答案为：；
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握二次项系数不等于0是解题的关键．
12．【答案】
【详解】,是方程的两个根，,，,解得,.当时，原方程为，此时原方程无解；当时，原方程为，此时原方程有解，的值为.故答案为.
13．【答案】且
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程（a≠0）的根的判别式是即可进行解答．
【详解】由关于的方程有两个不相等的实数根，
得，
解得，
则且．
【易错警示】注意．
14．【答案】/
【分析】由一元二次方程没有实数根可知，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【详解】∵关于x的方程没有实数根，
∴，即，
解得．
15．【答案】3．
【分析】
先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．
【详解】
解：，
又∵，
∴，
则，
故答案为：3．
【点睛】
本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算．
16．【答案】3
【分析】利用一元二次方程 有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数的关系得到 ，代入 ，解得 的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，解得 （不合题意，舍去），∴ ，故答案为3.
17．【答案】k＜1．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：，
18．【答案】
【解析】由，得，.设.当时，；当时，.将代入，得，即，由，解得，的最大值为，最小值为.因此，，，则.故答案为.
【思路分析】
先将转化为，设，则，把化成关于的一元二次方程的形式，由一元二次方程有实数解，可得，得到关于的不等式，求得的取值范围，从而得到，的值，即可得解.
19．【答案】，
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得：，．
20．【答案】，.
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
或，
，.
【知识归纳】因式分解 ：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式.
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
完全平方公式：．
平方差公式：(a + b)(a - b) = a - b ．
21．【答案】
【解】原方程可化为，
或，，. …………（8分）
【易错警示】解一元二次方程时，可以通过计算 验证是否丢解.
【易错警示】解一元二次方程时，可以通过计算 验证是否丢解.
22．【答案】 ,
【分析】根据求根公式进行解题.
【详解】解:
a=1,b=-6,c=4
∴△=36-16=20
∴
∴ ,
23．【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为;
(2)最少购进甲种商品40件.
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
24．【答案】
；2
【分析】
先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可．
【详解】
解：
,
∵ ，
∴ ，其中 ，
∴原式 .
25．【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由题意建立一元二次方程，根据根的判别式判断方程的根的情况，即可判断每日的利润能否达到480元．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：不能，理由如下：
假如当每日利润为480元时，由题意得，
整理得，，
∵，
∴此方程无实数根，
∴超市销售这种海带每日的利润不能达到480元．
26．【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先把方程化为一般式：，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明；
（2）先利用因式分解法求出两根：．再分为底边和为腰两种情况，分别确定b，c的值，最后求出三角形的周长即可．
【详解】（1）证明：方程化为一般形式为：，
∵，
∴，
∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根．
（2）解：，
整理得，
∴，
当为等腰的底边，则有，
∵b、c恰是这个方程的两根，
∴，解得，
∴三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵，
∴不满足三角形三边的关系，应舍去；
当为等腰的腰，
∵b、c恰是这个方程的两根，
∴只能，
∴三角形三边长分别为：2，4，4，
∴三角形的周长为．
所以的周长为10．
27．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得当时，，即当时，，据此求解即可；
（2）根据题意可得当时，，当时，，则，解方程组即可得到答案；
（3）根据题意得到，无论k取何值，点满足方程恒成立，则，据此求出m、n的值，再解不等式即可．
【详解】（1）解：∵二次三项式有一个因式为，
∴当时，，
∴当时，，
∴，
∴；
（2）解：∵分解因式后，有两个因式和，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴得，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵无论k取何值，点满足方程恒成立，
∴，
解得，
∴不等式，即为不等式，
∴．