21.3 实际问题与一元二次方程-课时2 平均变化率问题与销售问题（含解析）【一课一练】2025-2026学年人教版版数学九年级上册

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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程-课时2 平均变化率问题与销售问题
基础题型训练
知识点1 平均变化率问题
1.新情境［2025武汉武昌区三校期中联考］俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为 ，根据“两天不练丢一半”，可列方程( )
A. B.
C. D.
2.［2024重庆中考A卷］随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______.
3.［2025贵阳云岩区期中］某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同.
（1）求该商场投入资金的月平均增长率.
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
知识点2 销售问题
4.［2025延边州期末］端午节是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗.某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元时，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1 440元？若设每袋粽子售价降低 元，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
5.新趋势·过程性学习［2025郑州实验外国语中学联考］某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月按单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，________，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7 920元？
解：设……根据题意，得
根据上面所列方程，完成下列任务：
（1）数学问题中横线处缺少的条件是_________________________________；
（2）所列方程中未知数 的实际意义是_______________；
（3）请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程.
能力提升训练
6.［2025石家庄桥西区期中］公安部提醒市民，交通出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率.
（2）若该品牌头盔每个进价为30元，商家经过调查统计发现，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量将减少10个.设该品牌头盔售价为元，月销售量为 .
①直接写出关于 的函数解析式.
②为使月销售利润达到10 000元，且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
7.［2024辽宁中考］某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量
（件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示.
每件售价 / 元 … 45 55 65 …
日销售量 / 件 … 55 45 35 …
（1）求与之间的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）.
（2）该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由.
8.模型观念［2022宜昌中考］某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸的产量比3月份的2倍少100吨.
（1）求4月份再生纸的产量.
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸的产量比上月增加，5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目的月利润达到66万元.求 的值.
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至 6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目的月利润比上月增加了 .求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
参考答案
1.A
【解析】 利用学习过的东西两天后未被遗忘的部分（即 ）=学习过的东西（即1）（1-每天“遗忘”的百分比） ，即可列出方程
.
2.
【解析】 设年平均增长率为，由题意，得 ，解得
， （不合题意，舍去）.
3.（1）解：设商场投入资金的月平均增长率为，
依题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：商场投入资金的月平均增长率为.
（2）由题意，得（万元）.
答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.
4.A 【解析】 当每袋粽子售价降低元时,每袋粽子的销售利润为 元,
每天可售出袋,依题意得 ．
5.（1）单价每降低2元,月销售量可增加40件
（2）单价降低了元
（3）解：设单价降低了元,
根据题意,得,
解得,,
要让顾客得到更大的实惠,,
．
答：定价为每件68元时,才能使以后每个月的利润达到元．
6.（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为,
依题意,得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为.
（2）①.
②依题意，得，
解得，，
尽可能让顾客得到实惠，.
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元.
7.（1）解：设与之间的函数解析式为，
将，代入，
得解得
与之间的函数解析式为.
（2）该商品日销售额不能达到2 600元.理由如下：
依题意得，整理得，
，
该方程无解，
该商品日销售额不能达到2 600元.
8.（1）解：设3月份再生纸的产量为吨,则4月份再生纸的产量为
吨,
依题意,得,解得,
所以．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意,得,
整理,得,解得,（不合题意,舍
去）,所以.
答：的值为20.
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为,5月份再生纸的产量为
吨,则6月份每吨再生纸的利润是元.
依题意,得,
所以．
答：6月份每吨再生纸的利润是1 500元．