21.3 实际问题与一元二次方程-课时3 几何图形面积问题（含解析）【一课一练】2025-2026学年人教版版数学九年级上册
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| 名称 | 21.3 实际问题与一元二次方程-课时3 几何图形面积问题（含解析）【一课一练】2025-2026学年人教版版数学九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 138.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-29 05:32:27 | ||
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文档简介
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程-课时3 几何图形面积问题
基础题型训练
知识点1 一般图形面积问题
1.［2025天津河西区期末］一个矩形的长和宽相差 ，面积是 ，则这个矩形的周长为( )
A. B. C. D.
2.如图，若该图形的面积为24，则 的值为___.
知识点2 边框与通道问题
3.［2025长春朝阳区期末］如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与 平行，另一条与平行，道路以外的部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为 ，求道路的宽.小明为了解决这个问题，设道路的宽为 ，并列出一个不完整的方程 ，则“ ”处的代数式为_________.
4.新趋势·传统文化［2025北京丰台区期末］造纸术、印刷术、指南针和火药是中图古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校在科技节活动中，计划在如图所示的长，宽 的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为 .若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有相同宽度的彩色纸带，求彩色纸带的宽度.
知识点3 篱笆问题
5.［2024通辽中考］如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其他材料制成），则 长为( )
A.或 B.或 C. D.
6.教材P25T8变式为了让学生感受劳动的乐趣，在劳动中学习知识，某学校决定在校园围墙边用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形菜地，用一道篱笆把菜地分为， 两块（如图所示），菜地里种满豆角和菠菜，学校已定购篱笆120米．如果菜地的面积为1 200平方米，那么围成的菜地与墙垂直的一边长为多少米？
能力提升训练
7.教材P26T12变式如图，为便于游客在一块长为40米，
宽为30米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，公园管理处
拟修建等宽的观景廊桥，若要使得能观赏（观景廊桥下
的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于1 064平方米，
则修建时观景廊桥宽度最大只能是___米.
8.［2025深圳莲花中学月考］如图，在 中，
，，，动点， 分别从
点，同时开始运动（运动方向如图所示），点 的速
度为，点的速度为，点运动到点 后停
止，点也随之停止运动.若使的面积为，则点 运动的时间是___ .
9.［2025襄阳三十一中月考］如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（墙长为 ），其他的边用总长为的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距后墙 处，规划有机动车停车位）
（1）若设车棚宽度为，则车棚长度为__________ .
（2）若车棚面积为 ，试求出自行车车棚的长和宽.
（3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为 的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
10.应用意识［2024太原小店区期中］综合与实践——用矩形纸板制作长方体盒子如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为 ，要将其四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为 的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计）
（1）求要剪去的正方形的边长.
（2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折线）；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为 ,请计算剪去的正方形的边长.
11.如图，在矩形中，， ，动点,分别从点,同时出发，点沿以 的速度向点移动，到点停止移动，点沿以 的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）. 设移动时间为 .
（1）当为何值时，,两点间的距离为 ？
（2）当为何值时，四边形的面积为
（3）四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由.
（4）当为等腰三角形时，求出 的值.
（5）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.C
【解析】 设矩形的宽为，则长为 ，根据题意，得，解得（不合题意，舍去），，所以 ，，所以这个矩形的周长为 .
2.4
【解析】 观察此图可知，该图形是一个边长为 的正方形截去一个边长为1的小正方形剩下的图形，根据题意，得 ，解得
，（不合题意，舍去）， 的值为4.
3.
4.解：设彩色纸带的宽度为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：彩色纸带的宽度为.
5.C 【解析】 设，则 .根据题意，得，解得，，，且 的长不超过墙的长度，，即
6.解：设围成的菜地与墙垂直的一边长为米，则与墙平行的一边长为米.
根据题意，得，解得.
答：围成的菜地与墙垂直的一边长为20米.
7.2
【解析】 设修建时观景廊桥宽度是米,由题意,得 ,
解得, （不符合题意,舍去）,即若要使得能观赏（观景廊桥下
的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于1 064平方米,修建时观景廊桥
宽度最大只能是2米.
8.3
【解析】 在中, ,, ,
．设运动时间为，则 ,
,,依题意得， ,即,整理得,解得,,当 时, ,符合题意；当时,, ,不符合题意,舍去, 点运动的时间是 ．
9.（1）
【解析】 .
（2）解：由（1）和题意可得，，
解得,，
距后墙处，规划有机动车停车位，
，
将代入得，满足题干条件，
自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为.
（3）不能.理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1），得，
整理得，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚.
10.（1）解：设要剪去的正方形的边长为,
根据题意列方程为,
解得,,
当时,,,所以不符合题意，舍去.
答：要剪去的正方形的边长为.
（2）①画出的图形如图所示.
. .
②设剪去的正方形的边长为．
根据题意可列方程为,
解得（舍去）,.
答：剪去的正方形的边长为．
11.解：根据题意,得,,,
所以,.
（1）过点作于点,
则,,
所以,
当时,,
即,
解得,（舍去）,
故当时,,两点间的距离为.
（2）由题意得，,解得,
故当时,四边形的面积为．
（3）可能.
当四边形为矩形时,,
则,解得,
故四边形可能为矩形,此时的值为3．
（4）由（1）和题意,知,,
.
当时,,
解得；
当时,,
解得,（舍去）；
当时,,
解得,（舍去）.
故当为等腰三角形时,的值为,或.
（5）不存在.理由如下：若 ,则应有,
即,
化简,得.
因为,
所以此方程没有实数根,
所以不存在一个时刻,使得 .
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程-课时3 几何图形面积问题
基础题型训练
知识点1 一般图形面积问题
1.［2025天津河西区期末］一个矩形的长和宽相差 ，面积是 ，则这个矩形的周长为( )
A. B. C. D.
2.如图，若该图形的面积为24，则 的值为___.
知识点2 边框与通道问题
3.［2025长春朝阳区期末］如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与 平行，另一条与平行，道路以外的部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为 ，求道路的宽.小明为了解决这个问题，设道路的宽为 ，并列出一个不完整的方程 ，则“ ”处的代数式为_________.
4.新趋势·传统文化［2025北京丰台区期末］造纸术、印刷术、指南针和火药是中图古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校在科技节活动中，计划在如图所示的长，宽 的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为 .若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有相同宽度的彩色纸带，求彩色纸带的宽度.
知识点3 篱笆问题
5.［2024通辽中考］如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其他材料制成），则 长为( )
A.或 B.或 C. D.
6.教材P25T8变式为了让学生感受劳动的乐趣，在劳动中学习知识，某学校决定在校园围墙边用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形菜地，用一道篱笆把菜地分为， 两块（如图所示），菜地里种满豆角和菠菜，学校已定购篱笆120米．如果菜地的面积为1 200平方米，那么围成的菜地与墙垂直的一边长为多少米？
能力提升训练
7.教材P26T12变式如图，为便于游客在一块长为40米，
宽为30米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，公园管理处
拟修建等宽的观景廊桥，若要使得能观赏（观景廊桥下
的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于1 064平方米，
则修建时观景廊桥宽度最大只能是___米.
8.［2025深圳莲花中学月考］如图，在 中，
，，，动点， 分别从
点，同时开始运动（运动方向如图所示），点 的速
度为，点的速度为，点运动到点 后停
止，点也随之停止运动.若使的面积为，则点 运动的时间是___ .
9.［2025襄阳三十一中月考］如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（墙长为 ），其他的边用总长为的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距后墙 处，规划有机动车停车位）
（1）若设车棚宽度为，则车棚长度为__________ .
（2）若车棚面积为 ，试求出自行车车棚的长和宽.
（3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为 的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
10.应用意识［2024太原小店区期中］综合与实践——用矩形纸板制作长方体盒子如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为 ，要将其四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为 的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计）
（1）求要剪去的正方形的边长.
（2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折线）；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为 ,请计算剪去的正方形的边长.
11.如图，在矩形中，， ，动点,分别从点,同时出发，点沿以 的速度向点移动，到点停止移动，点沿以 的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）. 设移动时间为 .
（1）当为何值时，,两点间的距离为 ？
（2）当为何值时，四边形的面积为
（3）四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由.
（4）当为等腰三角形时，求出 的值.
（5）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.C
【解析】 设矩形的宽为，则长为 ，根据题意，得，解得（不合题意，舍去），，所以 ，，所以这个矩形的周长为 .
2.4
【解析】 观察此图可知，该图形是一个边长为 的正方形截去一个边长为1的小正方形剩下的图形，根据题意，得 ，解得
，（不合题意，舍去）， 的值为4.
3.
4.解：设彩色纸带的宽度为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：彩色纸带的宽度为.
5.C 【解析】 设，则 .根据题意，得，解得，，，且 的长不超过墙的长度，，即
6.解：设围成的菜地与墙垂直的一边长为米，则与墙平行的一边长为米.
根据题意，得，解得.
答：围成的菜地与墙垂直的一边长为20米.
7.2
【解析】 设修建时观景廊桥宽度是米,由题意,得 ,
解得, （不符合题意,舍去）,即若要使得能观赏（观景廊桥下
的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于1 064平方米,修建时观景廊桥
宽度最大只能是2米.
8.3
【解析】 在中, ,, ,
．设运动时间为，则 ,
,,依题意得， ,即,整理得,解得,,当 时, ,符合题意；当时,, ,不符合题意,舍去, 点运动的时间是 ．
9.（1）
【解析】 .
（2）解：由（1）和题意可得，，
解得,，
距后墙处，规划有机动车停车位，
，
将代入得，满足题干条件，
自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为.
（3）不能.理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1），得，
整理得，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚.
10.（1）解：设要剪去的正方形的边长为,
根据题意列方程为,
解得,,
当时,,,所以不符合题意，舍去.
答：要剪去的正方形的边长为.
（2）①画出的图形如图所示.
. .
②设剪去的正方形的边长为．
根据题意可列方程为,
解得（舍去）,.
答：剪去的正方形的边长为．
11.解：根据题意,得,,,
所以,.
（1）过点作于点,
则,,
所以,
当时,,
即,
解得,（舍去）,
故当时,,两点间的距离为.
（2）由题意得，,解得,
故当时,四边形的面积为．
（3）可能.
当四边形为矩形时,,
则,解得,
故四边形可能为矩形,此时的值为3．
（4）由（1）和题意,知,,
.
当时,,
解得；
当时,,
解得,（舍去）；
当时,,
解得,（舍去）.
故当为等腰三角形时,的值为,或.
（5）不存在.理由如下：若 ,则应有,
即,
化简,得.
因为,
所以此方程没有实数根,
所以不存在一个时刻,使得 .
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