第二十一章 一元二次方程【单元测试】2025-2026学年人教版版数学九年级上册（含答案）

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第二十一章 一元二次方程
单元测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.2，3，1 B.2，，1 C.2，3， D.2，，
3.一元二次方程 的解是( )
A. B.
C.， D.,
4.是关于的一元二次方程的根，则 的值为 ( )
A. B. C.1 D.2
5.若一元二次方程有实数解，则 的取值范围是( )
A. B.
C.且 D.且
6.新情境2025年3月12日，“招银2号”卫星在海南由长征系列运载火箭成功发射，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，若浏览量平均每月增长率为 ，则应列方程为( )
A.
B.
C.
D.
7.在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家共握了21次手.设参加这次聚会的同学共有 人，根据题意，可列方程为 ( )
A. B.
C. D.
8.若菱形的对角线，的长分别为关于 的一元二次方程的两个根，且，则 的值为( )
A.4 B.8 C. D.
9.小刚在解关于的方程时，只抄对了 , ，解出其中一个根是.他核对时发现所抄的比原方程的 值小2，则原方程的根的情况是( )
A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是 D.有两个相等的实数根
10.对于一元二次方程 ，给出下列说法：
①若，则 ；
②若方程有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有 成立；
④若是一元二次方程的根，则 .
其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.新趋势·结论开放请写出一个有一个根为1的一元二次方程：_______________________.
12.若一元二次方程可以配方成 的形式，则代数式 的值为___.
13.已知代数式与的值互为相反数，则 的值为_ ______．
14.如图是一张长，宽 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为___ .
15.定义：关于的一元二次方程与 为 “同族二次方程”.如与 是“同族二次方程”.若关于的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，则代数式 能取得的最大值是________.
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16.（12分）解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） .
17.（6分）用配方法解一元二次方程 ．小明同学的解题过程如下：
小明同学的解题过程是否正确？若正确，请回答“正确”；若不正确，请写出正确的解题过程．
18.（8分）已知关于的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有实数根.
（2）设方程的两个根分别为，，求 的值.
19.（8分）云南阳光玫瑰葡萄近两年被广大消费者熟知，它肉质紧密，口感脆爽，甜度很高，香味浓郁.云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022年产量为60吨，2024年产量为86.4吨.
（1）求该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率；
（2）若阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率不变，请预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量.
20.（9分）如图，在长方形中，， ，
点从点开始沿边向点以 的速度移动，与此同时，
点从点开始沿边向点以的速度移动．当点 运动
到点时，两点停止运动．设运动时间为 ．
（1）____，_______________.（用含 的代数式表示）
（2）是否存在的值，使得五边形的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
21.（10分）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示.已知每层长
为50米，宽30米.阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等
宽的通道，已知喷漆面积为1 056平方米.
（1）求通道的宽是多少米.
（2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14 400元？
22.（10分）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，某人决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”组织．假定从一个人开始号召，平均每个人每周能够号召 个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
（1）求 的值.
（2）在（1）的条件下，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而且他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少 ，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了 人．请分别求出他们三人号召的成功率．
23.（12分）定义：我们把关于的一元二次方程 与 称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 ．
（1）写出一元二次方程 的“友好方程”:__________________________．
（2）已知一元二次方程的两根为， ，它的 “友好方程”的两根为, ____．根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程” 的两根， 之间存在的一种特殊关系为_________________，请证明你的结论．
（3）已知关于的方程的两根是 ，．请利用（2）中的结论，直接写出关于 的方程 的两根．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.A
5.D
6.D
7.D
8.C
9.A
10.B【解析】 ①若，则是方程 的解，，故①正确； 方程 有两个不相等的实数根，，，则方程 的根的判别式， 方程 必有两个不相等的实数根，故②正确；是方程 的一个根，，，或 ，故③不正确；是一元二次方程 的根，,， ,
故④正确．综上，正确的有3个.
11.
（答案不唯一）
12.5
13.或
14.2
15.
【解析】 与 是“同族二次方程”， ，
， ，
，的最大值为 ，即
能取得的最大值为2 026.
16.（1）解：两边直接开平方，得，
所以或，
所以,.（4分）
（2）移项，得，
因式分解，得，
所以或，
所以,.（4分）
（3）移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，即，
所以，
所以，.（4分）
17.解：小明同学的解题过程不正确.（2分）
正确的解题过程如下：
原方程可化为,
移项，得,
配方，得，
两边直接开平方，得，（4分）
所以或,
所以，.（6分）
18.（1）证明：，
方程总有实数根.（4分）
（2）解： 方程的两个根分别为，，
，，（5分）
.（8分）
19.（1）解：设该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为，
根据题意，得，（3分）
解得，（不合题意，舍去），
答：该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为.（6分）
（2）根据题意，得（吨）.
答：预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量为103.68吨.（8分）
20.（1）,（2分）
（2）解：存在．（4分）
根据题意，得,
所以,
整理，得,
解得，．（7分）
因为，所以,
所以当时，五边形的面积等于.（9分）
21.（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为
米，宽为米的长方形，
依题意，得，（3分）
解得，（不合题意，舍去）.
答：通道的宽是3米.（5分）
（2）设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，
可租出个车位，
依题意，得，（8分）
解得，，
又 要优惠大众，.
答：每个车位的月租金应上涨40元.（10分）
22.（1）解：根据题意得，即，
（3分）
，解得，（舍去）.（4分）
答：的值为10.（5分）
【解析】 解题思路：根据“平均每个人每周能够号召 个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为‘传递正能量志愿服务者’”列出方程，即可求解；
（2）根据题意，得小颖号召了人，小丽号召了人，小红号召了
人.
由（1）知, 小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的
成功率为.
【解析】 解题思路：根据题意，得小颖号召了人，小丽号召了 人，小红号召了 人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为 ，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少 ”列出方程，即可求解．
小红的成功率比小颖的两倍少，
，解得，（8分）
小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成
功率为.（10分）
23.（1）（2分）
（2）,互为倒数（6分）,
证明：解方程，
得，.
解方程，
得，，
所以，
．
故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数．（8分）
（3）解：，.（12分）
因为方程的两根是，，
所以其“友好方程”的两根为，.
，即，
将看作整体，则或，
所以，．