第6节 共点力作用下物体的平衡
1.（多选）下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是（ ）
A.如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B.如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C.如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向所受的合力都必为零
D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
2.树懒是一种懒得出奇的哺乳动物，什么事都懒得做，甚至懒得去吃，懒得去玩耍，能耐饥一个月以上，非得活动不可时，动作也是懒洋洋的极其迟缓。图中的树懒静止倒挂在树干上，则树干给树懒的作用力方向为（ ）
A.垂直于树干向上
B.沿树干向上
C.竖直向上
D.树干形变复杂，无法判断力的方向
3.一个质量为3 kg的物体被放置在倾角为α＝30°的固定、光滑斜面上，在如图所示的甲、乙、丙三种情况下，物体处于平衡状态的是（g取10 N/kg）（ ）
A.仅甲图 B.仅丙图
C.仅乙图 D.甲、乙、丙图
4.如图所示的几种情况中，不计绳、弹簧测力计、各滑轮的质量，不计一切摩擦，物体的质量都为m，且均处于静止状态，有关角度图中已标出。弹簧测力计的示数FA、FB、FC、FD由大到小的排列顺序是（ ）
A.FB＞FD＞FA＞FC B.FD＞FC＞FB＞FA
C.FD＞FB＞FA＞FC D.FC＞FD＞FB＞FA
5.如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为（ ）
A. Mg B. Mg
C. Mg D.Mg
6.如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上，已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，重力加速度为g，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为（ ）
A.mg和mg B.mg和mg
C.mg和mg D.mg和mg
7.（2023·浙江6月选考6题）如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为（ ）
A.Fa＝0.6G，Fb＝0.4G
B.Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C.Fa＝0.8G，Fb＝0.6G
D.Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
8.（多选）如图所示，一条细线一端与地板上的物块B相连，另一端绕过轻质光滑滑轮与小球A相连。滑轮用另一条细线悬挂在天花板上的O1点，细线OO1与竖直方向夹角为α＝30°，OA与OB的夹角为θ，系统处于静止状态。已知小球A的重力为10 N，则（ ）
A.细线OA的拉力为10 N
B.OO1线上的拉力大小为20 N
C.地板对B的摩擦力大小为5 N
D.细线OA与OB间的夹角θ＝60°
9.如图所示，一质量为1 kg、横截面为直角三角形的物块，∠ABC＝30°，物块BC边紧靠光滑竖直墙面，用一推力垂直作用在AB边上使物块处于静止状态，则推力F多大？物块受墙的弹力多大？（g＝10 N/kg）
10.（多选）如图所示，重力为G的物体A在大小为F的水平向左的恒力作用下静止在倾角为α的固定光滑斜面上。下列关于物体对斜面压力N大小的表达式，正确的是（ ）
A.N＝ B.N＝Gcos α
C.N＝Gsin α＋Fcos α D.N＝
11.如图所示，内壁及碗口光滑的半球形碗固定在水平面上，碗口保持水平。A球、C球与B球分别用两根轻质细线连接，当系统保持静止时，B球对碗壁刚好无压力，图中θ＝30°，则A球、C球的质量之比为（ ）
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.∶1
12.如图所示，用三根轻绳将A、B两小球以及水平天花板上的固定点O之间两两连接。然后用一水平方向的力F作用于A球上，此时三根轻绳均处于伸直状态，且OB绳恰好处于竖直方向，两球均处于静止状态。已知三根轻绳的长度之比：OA∶AB∶OB＝3∶4∶5，两球质量关系为mA＝2mB＝2m，下列说法正确的是（ ）
A.OB绳的拉力大小为2mg
B.OA绳的拉力大小为
C.F的大小为
D.AB绳的拉力大小为mg
13.如图所示，质量m1＝4 kg的物块C悬挂在绳OA和OB的结点O上，OA偏离竖直方向α＝37°，OB沿水平方向，且与质量m2＝30 kg的物块B相连接，物块B静止于倾角为θ＝37°的固定斜面上（g取10 m/s2，cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6，tan 37°＝0.75）。求：
（1）绳OA的拉力大小；
（2）斜面对物块B的摩擦力大小和方向。
第6节 共点力作用下物体的平衡
1.CD 物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，选项A错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不处于平衡状态，选项B错误；物体处于平衡状态时，所受合力为零，物体沿任意方向所受的合力都必为零，选项C正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，所受合力为零，则任意两个共点力的合力与第三个力等大、反向，选项D正确。
2.C 树懒静止倒挂在树干上，所受的重力与树干对它的作用力平衡，可知树干给树懒的力方向为竖直向上，故选C。
3.C 物体在光滑斜面上受重力、支持力和沿斜面向上的拉力，斜面光滑，故物体不受摩擦力；将重力沿平行于斜面和垂直于斜面的方向进行分解，支持力与重力垂直于斜面方向的分力大小相等；要使物体处于平衡状态，拉力大小应等于重力沿斜面向下的分力，即F＝mgsin α＝3×10 × N＝15 N，所以只有乙图中物体处于平衡状态，故选C。
4.C 由平衡条件知FA＝mgsin 45°＝mg，FB＝mg，FC＝mgsin 30°＝，FD＝＞mg，所以选项C正确。
5.B 如图所示为衣服的受力示意图，根据对称性和几何关系可知，衣架对衣服的支持力F1与F2的夹角为60°；由平衡条件得F1＝＝Mg，故B正确。
6.A 等边三棱柱静止在水平放置的斜面上，则斜面对三棱柱的支持力N＝mgcos 30°＝mg，摩擦力f＝mgsin 30°＝mg，故选A。
7.D 以圆柱体为研究对象，受力分析如图所示，两侧半圆柱体对圆柱体的支持力的合力与圆柱体所受重力等大反向，结合几何关系可知Fa＝Gsin 37°＝0.6G，Fb＝Gcos 37°＝0.8G，D正确。
8.AD 对小球A受力分析，其受重力和拉力，根据平衡条件，有TA＝mg＝10 N，故A正确。对滑轮分析，受三个拉力作用，如图所示。由分析可知θ＝2α＝60°，由平衡条件知F＝2TAcos α＝10 N，故B错误，D正确。对物块B受力分析，其受重力、支持力、拉力和静摩擦力，根据平衡条件，水平方向有TBsin θ＝f，又因为TA＝TB，解得f＝5 N，地板对B的摩擦力大小为5 N，故C错误。
9.20 N 10 N
解析：物块受重力G、推力F和墙的弹力N作用，如图所示，由平衡条件知，F和N的合力与重力等大反向。
故有F＝＝ N＝20 N
N＝Gtan 60°＝1×10× N＝10 N。
10.AD 对物体A受力分析，如图所示，受推力F、重力G、支持力N，由图可得N＝，故A正确；由cos α＝，可得N＝，故B错误；N＝Fsin α＋Gcos α，故C错误；由sin α＝，可得N＝，故D正确。
11.C 设A球、C球的质量分别mA、mC。由几何知识可知，两细线相互垂直，由A、C两球受力平衡得T1'＝mAg，T2'＝mCg。以B球为研究对象，分析受力情况，B球受重力G、两细线的拉力T1、T2，如图所示，则T1＝T1'，T2＝T2'。由平衡条件得T1＝T2tan θ，得＝tan θ＝，则得＝＝，选项C正确。
12.B 由B的状态可判定B球不受AB绳的作用力，即AB绳无张力，故B受重力、OB绳的拉力，有TOB＝mg，TAB＝0。隔离A分析，A受三个力处于平衡状态，这三个力能组成如图所示的矢量三角形，图中θ＝53°，F＝mAgtan θ＝，TOAcos θ＝mAg，解得TOA＝，故选B。
13.（1）50 N （2）204 N 方向沿斜面向上
解析：（1）如图所示，对结点O受力分析，则
FA＝＝50 N。
FB＝m1gtan α＝30 N。
（2）假设斜面对物块B的摩擦力f1沿斜面向上，对物块B受力分析如图所示。
分析得FB'＝FB，f1＝FB'cos θ＋m2gsin θ＝204 N
所以假设成立，斜面对物块B的摩擦力f1＝204 N，方向沿斜面向上。
4 / 4第6节 共点力作用下物体的平衡
核心素养目标 物理观念 （1）知道什么是平衡状态及平衡状态的两种形式。 （2）掌握共点力的平衡条件及力的平衡的概念。
科学思维 （1）能运用数学中的三角函数、几何关系等对力与平衡问题进行分析和推理。 （2）能从不同的角度解决力与平衡问题。
科学态度 与责任 能欣赏“力与平衡”之美，通过应用共点力的平衡条件解答生产、生活中的问题，体会物理学知识的实际应用价值。
知识点一 共点力作用下物体的平衡状态
1.平衡状态：物体保持 或 状态。
2.实例
（1）桌上的书本、放在弹簧上的小球、竖立的石块等。
（2）平直公路上匀速行驶的汽车、天空中沿竖直方向匀速下落的降落伞等。
知识点二 共点力作用下物体的平衡条件
1.平衡条件：要使物体保持平衡状态，作用在物体上的力必须满足一定的条件，这个条件叫作平衡条件。
2.二力平衡条件：二力大小相等，方向相反，即合力为 。
3.共点力平衡的条件：物体受到的合力为 。
4.多个力平衡的正交分解法：
【情景思辨】
如图所示的是一滑梯的实物图，为保证小朋友的安全，在水平面铺设安全地垫。水平段与斜面段平滑连接。某小朋友从滑梯顶端由静止开始滑下，经斜面底端后水平滑行一段距离，停在水平地垫上。
（1）小朋友沿粗糙的滑梯下滑时，受到重力、支持力、下滑力和摩擦力的作用。（ ）
（2）小朋友从滑梯顶端由静止开始下滑的瞬间，速度为零，处于平衡状态。（ ）
（3）小朋友静止在水平面上时，速度为零，所受合力为零，处于平衡状态。（ ）
（4）小朋友在滑梯上匀速下滑的一段过程中，所受合力为零，处于平衡状态。（ ）
要点一 共点力作用下物体的平衡条件
【探究】
仔细观察如图所示的小鸟，思考下列问题。
（1）这只鸟保持静止不动，这种状态是什么状态？
（2）若鸟静止不动，受几个力作用？
（3）鸟所受各个力的合力满足什么条件？
【归纳】
1.共点力的平衡条件：合力等于0，即F合＝0。
正交分解法
其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2.平衡条件的推论
（1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
（2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。
（3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外（n－1）个力的合力等大、反向。
【典例1】 共点的五个力平衡，则下列说法中不正确的是（ ）
A.其中四个力的合力与第五个力等大反向
B.其中三个力的合力与其余的两个力的合力等大反向
C.五个力合力为零
D.撤去其中的三个力，物体一定不平衡
尝试解答
1.如图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ。若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为（ ）
A.G B.Gsin θ
C.Gcos θ D.Gtan θ
2.如图所示，某个物体在F1、F2、F3和F4四个共点力作用下处于静止状态，若F4的方向沿逆时针转过120°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向均保持不变，则此时物体所受到的合力大小为（ ）
A. B.0
C.F4 D.F4
要点二 解决共点力平衡的三种常用方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题
正交分 解法 物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡状态时，将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。此时平衡条件可表示为：Fx合＝0，Fy合＝0
【典例2】 用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重力为19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力。
尝试解答
【拓展训练】
若[典例2]中两绳能承受的最大拉力相同，均为100 N，持续增大悬挂物的重力，为了保证两段绳子不被拉断，求悬挂物的最大质量。（g取10 m/s2）
要点三 “活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1.“活结”与“死结”模型
（1）“活结”：一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
（2）“死结”：两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2.“活杆”与“死杆”模型
（1）“活杆”：轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
（2）“死杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物。滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即死杆弹力的方向不沿杆的方向。
【典例3】 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG的一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
（1）细绳AC段的张力TAC与细绳EG的张力TEG之比；
（2）轻杆BC对C端的支持力；
（3）轻杆HG对G端的支持力。
尝试解答
1.（多选）如图所示，一绕过水平杆左端光滑轻小滑轮O的细线，上端固定在水平天花板的B点，下端系一质量为m的重物。重物静止时，细线BO与天花板的夹角为60°。现将杆绕水平轴A沿顺时针方向缓慢转动，直到细线BO与天花板的夹角为30°。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A.在该过程中，细线BO可能会断掉
B.在该过程中，滑轮受到细线的作用力逐渐增大
C.在该过程中，滑轮受到细线的作用力逐渐减小
D.当细线BO与天花板的夹角为60°时，滑轮受到细线的作用力小于mg
2.（多选）将沙桶P用细绳系在C点，如图所示，在两沙桶中装上一定质量的沙子，沙桶（含沙子）P、Q的总质量分别为m1、m2，系统平衡时，∠ACB＝90°、∠CAB＝60°，忽略滑轮的大小以及摩擦。则下列说法正确的是（ ）
A.m1∶m2＝1∶1
B.m1∶m2＝2∶1
C.若在两桶内增加相同质量的沙子，C点的位置上升
D.若在两桶内增加相同质量的沙子，C点的位置保持不变
要点回眸
1.若某一物体受共点力作用处于平衡状态，则该物体（ ）
A.一定是静止的
B.一定做匀速直线运动
C.所受各共点力的合力可能不为零
D.所受各共点力的合力为零
2.（多选）如图甲所示，在半球形的碗中放一木杆，碗的A、B两点对杆的支持力分别为F1和F2；图乙中杆的一端O用铰链固定在墙上，另一端A处用竖直向上的力F将杆拉住，以下说法正确的是（ ）
A.图甲中F1与F2没有作用在同一点，不是共点力
B.图甲中F1与F2的作用线的延长线交于一点，这两个力是共点力
C.图乙中力F与杆的重力G没有作用于一点且作用线的延长线不可能相交，不是共点力
D.图乙中若F垂直于杆向上，则F与G也不是共点力
3.（多选）如图所示，三段不可伸长的细绳OA、OB、OC，它们共同悬挂一重物且重力为G＝30 N，其中OB是水平的，A端、B端固定，θ＝60°。则OA和OB的拉力分别是（ ）
A.OA的拉力大小是60 N
B.OA的拉力大小是20 N
C.OB的拉力大小是30 N
D.OB的拉力大小是10 N
4.如图所示，工人缓慢地把货物沿倾斜的木板推上汽车，货物重力为800 N，木板长为5 m，木板一端离地距离为1 m，假定工人推力的方向始终与板面平行，推力的大小为300 N。那么工人在推动货物的过程中，木板对货物的摩擦力是多少？
第6节 共点力作用下物体的平衡
【基础知识·准落实】
知识点一
1.静止 匀速直线运动
知识点二
2.零 3.零
情景思辨
（1）× （2）× （3）√ （4）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】 提示：（1）平衡状态。
（2）受到重力和支持力两个力的作用。
（3）合力为零。
【典例1】 D 共点的五个力平衡，则五个力的合力为零，C正确；任意三个力或四个力的合力与其余的两个力的合力或第五个力一定等大反向，A、B正确；撤去其中三个力，剩余两个力的合力可能为零，物体可能平衡，D错误。
素养训练
1.A 人静躺在椅子上，受重力和椅子对他的作用力，由平衡条件可知，椅子各个部分对他的作用力的合力大小为G，选项A正确。
2.D 由共点力的平衡条件可知，F1、F2、F3的合力与F4等大反向，当F4的方向沿逆时针转过120°而保持其大小不变时，F1、F2、F3的合力的大小仍等于F4，但方向与F4成60°角，由平行四边形定则可得，此时物体所受的合力大小为F4，故选D。
要点二
知识精研
【典例2】 17.0 N，方向沿绳由O指向A 9.8 N，方向沿绳由O指向B
解析：方法一：合成法 以结点O为研究对象，根据共点力的平衡条件，受力分析如图所示
F＝T，且T＝G
由三角函数关系得
F1＝Fcos 30°＝19.6×0.866 N＝17.0 N
F2＝Fsin 30°＝19.6×0.5 N＝9.8 N。
方法二：分解法 以结点O为研究对象，根据共点力的平衡条件，受力分析如图所示。
T＝G，将拉力T向绳OA和OB的反向分解，由三角函数关系得
FA＝Tcos 30°＝19.6×0.866 N＝17.0 N
FB＝Tsin 30°＝19.6×0.5 N＝9.8 N。
方法三：正交分解法 如图所示，建立直角坐标
系，将绳子OA和OB的拉力沿x、y方向正交分解。
T＝G
由平衡条件得：
水平方向：F1cos 60°＝F2cos 30°
竖直方向：F1sin 60°＋F2sin 30°＝T
解得：F1＝17.0 N，F2＝9.8 N。
拓展训练
kg
解析：由题意知，绳子OA的拉力F1大于OB的拉力F2，为了保证两段绳子不被拉断，当绳子OA的拉力F1m＝100 N时，悬挂物的质量达到最大，
则有F1m＝mgcos 30°，解得m＝ kg。
要点三
知识精研
【典例3】 （1） （2）M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方 （3）M2g，方向水平向右
解析：题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1、2所示，根据平衡条件可求解。
（1）图1中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力TAC＝TCD＝M1g
图2中由TEGsin 30°＝M2g，得TEG＝2M2g。
所以＝。
（2）图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有NC＝TAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。
（3）图2中，根据平衡条件有TEGsin 30°＝M2g，TEGcos 30°＝NG，所以NG＝＝M2g，方向水平向右。
素养训练
1.BD 以重物为研究对象，根据受力平衡可知，细线拉力大小总是与重物的重力相等，即T＝mg，可知在该过程中，细线拉力大小保持不变，则细线BO不会断掉，故A错误；在该过程中，细线拉力大小保持不变，但滑轮两侧细线之间的夹角逐渐减小，根据平行四边形定则可知，滑轮受到细线的作用力逐渐增大，故B正确，C错误；当细线BO与天花板的夹角为60°时，滑轮两侧细线之间的夹角为150°，则滑轮受到细线的作用力大小为F＝2Tcos＝2Tcos 75°＜2Tcos 60°＝T＝mg，故D正确。
2.BC 以结点C为研究对象，受力分析如图所示，其中F＝m1g、FB＝m2g，由力的平衡条件可知FA＝Fcos 30°＝m1gcos 30°，由几何关系可知FA＝，联立解得m1∶m2＝2∶1，选项A错误，B正确；由以上分析可知当沙桶（含沙子）P、Q的总质量的比值为2时，AC与BC保持垂直状态，C点的位置保持不变，而若在两桶内增加相同质量的沙子，则两沙桶（含沙子）质量的比值会小于2，则Q桶向下移动，C点的位置上升，选项C正确，D错误。
【教学效果·勤检测】
1.D 物体处于平衡状态时，物体可能静止或做匀速直线运动，A、B错误；物体处于平衡状态时，所受各共点力的合力一定为零，C错误，D正确。
2.BC 根据共点力的定义可知，题图甲中F1与F2不平行，作用线的延长线一定交于一点，故F1、F2是共点力，A错误，B正确；题图乙中F竖直向上，与G平行，且作用点不同，则不是共点力，若F垂直于杆向上，则作用线的延长线必与重力G的作用线的延长线相交，F与G是共点力，C正确，D错误。
3.BD 对结点O受力分析可知OA与OB的合力为30 N，由平行四边形定则解得OB的拉力F1＝10 N，OA的拉力F2＝20 N，故选B、D。
4.140 N
解析：设斜面倾角为θ，对货物受力分析如图所示，由题意可知sin θ＝
工人在缓慢地把货物沿倾斜的木板向上推动时，货物沿斜面方向合力为零。故有F＝Gsin θ＋f，解得f＝F－Gsin θ＝140 N。
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第6节 共点力作用下物体的平衡
核
心
素
养
目
标 物理 观念 （1）知道什么是平衡状态及平衡状态的两种形式。
（2）掌握共点力的平衡条件及力的平衡的概念。
科学 思维 （1）能运用数学中的三角函数、几何关系等对力与平
衡问题进行分析和推理。
（2）能从不同的角度解决力与平衡问题。
科学态
度与责
任 能欣赏“力与平衡”之美，通过应用共点力的平衡条件
解答生产、生活中的问题，体会物理学知识的实际应用
价值。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 共点力作用下物体的平衡状态
1. 平衡状态：物体保持 或 状态。
2. 实例
（1）桌上的书本、放在弹簧上的小球、竖立的石块等。
（2）平直公路上匀速行驶的汽车、天空中沿竖直方向匀速下落的
降落伞等。
静止
匀速直线运动
知识点二 共点力作用下物体的平衡条件
1. 平衡条件：要使物体保持平衡状态，作用在物体上的力必须满足一
定的条件，这个条件叫作平衡条件。
2. 二力平衡条件：二力大小相等，方向相反，即合力为 。
3. 共点力平衡的条件：物体受到的合力为 。
4. 多个力平衡的正交分解法：
零
零
【情景思辨】
如图所示的是一滑梯的实物图，为保证小朋友的安全，在水平面铺设
安全地垫。水平段与斜面段平滑连接。某小朋友从滑梯顶端由静止开
始滑下，经斜面底端后水平滑行一段距离，停在水平地垫上。
（1）小朋友沿粗糙的滑梯下滑时，受到重力、支持力、下滑力和摩
擦力的作用。 （ × ）
×
（2）小朋友从滑梯顶端由静止开始下滑的瞬间，速度为零，处于平
衡状态。 （ × ）
（3）小朋友静止在水平面上时，速度为零，所受合力为零，处于平
衡状态。 （ √ ）
（4）小朋友在滑梯上匀速下滑的一段过程中，所受合力为零，处于
平衡状态。 （ √ ）
×
√
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 共点力作用下物体的平衡条件
【探究】
仔细观察如图所示的小鸟，思考下列问题。
（1）这只鸟保持静止不动，这种状态是什么状态？
提示：平衡状态。
（2）若鸟静止不动，受几个力作用？
提示：受到重力和支持力两个力的作用。
（3）鸟所受各个力的合力满足什么条件？
提示：合力为零。
【归纳】
1. 共点力的平衡条件：合力等于0，即F合＝0。
正交分解法
其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2. 平衡条件的推论
（1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个
力一定等大、反向。
（2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任
意两个力的合力与第三个力等大、反向。
（3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中
任意一个力必定与另外（n－1）个力的合力等大、反向。
【典例1】 共点的五个力平衡，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 其中四个力的合力与第五个力等大反向
B. 其中三个力的合力与其余的两个力的合力等大反向
C. 五个力合力为零
D. 撤去其中的三个力，物体一定不平衡
解析：共点的五个力平衡，则五个力的合力为零，C正确；任意三个
力或四个力的合力与其余的两个力的合力或第五个力一定等大反向，
A、B正确；撤去其中三个力，剩余两个力的合力可能为零，物体可能
平衡，D错误。
1. 如图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾
斜角θ。若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力
大小为（ ）
A. G B. Gsin θ
C. Gcos θ D. Gtan θ
解析： 人静躺在椅子上，受重力和椅子对他的作用力，由平
衡条件可知，椅子各个部分对他的作用力的合力大小为G，选项
A正确。
2. 如图所示，某个物体在F1、F2、F3和F4四个共点力作用下处于静止
状态，若F4的方向沿逆时针转过120°而保持其大小不变，其余三
个力的大小和方向均保持不变，则此时物体所受到的合力大小为
（ ）
A. B. 0 C. F4 D. F4
解析： 由共点力的平衡条件可知，F1、F2、F3的合力与F4等大
反向，当F4的方向沿逆时针转过120°而保持其大小不变时，F1、
F2、F3的合力的大小仍等于F4，但方向与F4成60°角，由平行四边
形定则可得，此时物体所受的合力大小为F4，故选D。
要点二 解决共点力平衡的三种常用方法
合
成
法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中的任意两个
力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转
化为二力平衡问题
分
解
法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力
沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相
等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力
平衡问题
正
交
分 解
法 物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡状态时，将物
体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解，然后分别在
这两个方向上列平衡方程。此时平衡条件可表示为：Fx合＝0，
Fy合＝0
【典例2】 用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重力
为19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力。
答案：17.0 N，方向沿绳由O指向A 9.8 N，方向沿绳由O指向B
解析：方法一：合成法 以结点O为研究对象，
根据共点力的平衡条件，受力分析如图所示
F＝T，且T＝G
由三角函数关系得
F1＝Fcos 30°＝19.6×0.866 N＝17.0 N
F2＝Fsin 30°＝19.6×0.5 N＝9.8 N。
方法二：分解法 以结点O为研究对象，根据共点力
的平衡条件，受力分析如图所示。
T＝G，将拉力T向绳OA和OB的反向分解，由三角函
数关系得
FA＝Tcos 30°＝19.6×0.866 N＝17.0 N
FB＝Tsin 30°＝19.6×0.5 N＝9.8 N。
方法三：正交分解法 如图所示，建立直角坐标
系，将绳子OA和OB的拉力沿x、y方向正交分解。
T＝G
由平衡条件得：
水平方向：F1cos 60°＝F2cos 30°
竖直方向：F1sin 60°＋F2sin 30°＝T
解得：F1＝17.0 N，F2＝9.8 N。
【拓展训练】
若[典例2]中两绳能承受的最大拉力相同，均为100 N，持续增大悬挂
物的重力，为了保证两段绳子不被拉断，求悬挂物的最大质量。（g
取10 m/s2）
答案： kg
解析：由题意知，绳子OA的拉力F1大于OB的拉力F2，为了保证两
段绳子不被拉断，当绳子OA的拉力F1m＝100 N时，悬挂物的质量
达到最大，
则有F1m＝mgcos 30°，解得m＝ kg。
要点三 “活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1. “活结”与“死结”模型
（1）“活结”：一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑
挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是
同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小
一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的
角平分线。
（2）“死结”：两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由
“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2. “活杆”与“死杆”模型
（1）“活杆”：轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，
杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如
图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始
终沿杆的方向。
（2）“死杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方
向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙
壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁
上，另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物。滑轮对绳子的
作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，
即死杆弹力的方向不沿杆的方向。
【典例3】 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑
轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG的一端
用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也
成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
（1）细绳AC段的张力TAC与细绳EG的张力TEG之比；
答案：
解析：题图甲和乙中的两个
物体都处于平衡状态，根据
平衡的条件，首先判断与物
体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1、2所示，根据平衡条件可求解。
图1中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于
平衡状态，细绳AC段的拉力TAC＝TCD＝M1g
图2中由TEGsin 30°＝M2g，得TEG＝2M2g。
所以＝。
（2）轻杆BC对C端的支持力；
答案：M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方
解析：图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有NC＝TAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。
（3）轻杆HG对G端的支持力。
答案：M2g，方向水平向右
解析：图2中，根据平衡条件有TEGsin 30°＝M2g，TEGcos 30°＝NG，所以NG＝＝M2g，方向水平向右。
1. （多选）如图所示，一绕过水平杆左端光滑轻小滑轮O的细线，上
端固定在水平天花板的B点，下端系一质量为m的重物。重物静止
时，细线BO与天花板的夹角为60°。现将杆绕水平轴A沿顺时针方
向缓慢转动，直到细线BO与天花板的夹角为30°。重力加速度大
小为g。下列说法正确的是（ ）
A. 在该过程中，细线BO可能会断掉
B. 在该过程中，滑轮受到细线的作用力逐渐增大
C. 在该过程中，滑轮受到细线的作用力逐渐减小
D. 当细线BO与天花板的夹角为60°时，滑轮受到细线的作
用力小于mg
解析： 以重物为研究对象，根据受力平衡可知，细线拉力大
小总是与重物的重力相等，即T＝mg，可知在该过程中，细线拉力
大小保持不变，则细线BO不会断掉，故A错误；在该过程中，细线
拉力大小保持不变，但滑轮两侧细线之间的夹角逐渐减小，根据平
行四边形定则可知，滑轮受到细线的作用力逐渐增大，故B正确，
C错误；当细线BO与天花板的夹角为60°时，滑轮两侧细线之间的
夹角为150°，则滑轮受到细线的作用力大小为F＝2Tcos＝
2Tcos 75°＜2Tcos 60°＝T＝mg，故D正确。
2. （多选）将沙桶P用细绳系在C点，如图所示，在两沙桶中装上一
定质量的沙子，沙桶（含沙子）P、Q的总质量分别为m1、m2，系
统平衡时，∠ACB＝90°、∠CAB＝60°，忽略滑轮的大小以及摩
擦。则下列说法正确的是（ ）
A. m1∶m2＝1∶1
B. m1∶m2＝2∶1
C. 若在两桶内增加相同质量的沙子，C点的位置上升
D. 若在两桶内增加相同质量的沙子，C点的位置保持不变
解析： 以结点C为研究对象，受力分析如图所
示，其中F＝m1g、FB＝m2g，由力的平衡条件可知FA＝
Fcos 30°＝m1gcos 30°，由几何关系可知FA＝
，联立解得m1∶m2＝2∶1，选项A错误，B正
确；由以上分析可知当沙桶（含沙子）P、Q的总质量
的比值为2时，AC与BC保持垂直状态，C点的位置保持
不变，而若在两桶内增加相同质量的沙子，则两沙桶
（含沙子）质量的比值会小于2，则Q桶向下移动，C
点的位置上升，选项C正确，D错误。
要点回眸
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 若某一物体受共点力作用处于平衡状态，则该物体（ ）
A. 一定是静止的
B. 一定做匀速直线运动
C. 所受各共点力的合力可能不为零
D. 所受各共点力的合力为零
解析： 物体处于平衡状态时，物体可能静止或做匀速直线运
动，A、B错误；物体处于平衡状态时，所受各共点力的合力一定
为零，C错误，D正确。
2. （多选）如图甲所示，在半球形的碗中放一木杆，碗的A、B两点
对杆的支持力分别为F1和F2；图乙中杆的一端O用铰链固定在墙
上，另一端A处用竖直向上的力F将杆拉住，以下说法正确的是
（ ）
A. 图甲中F1与F2没有作用在同一点，不是共点力
B. 图甲中F1与F2的作用线的延长线交于一点，这两个力是共点力
C. 图乙中力F与杆的重力G没有作用于一点且作用线的延长线不可能
相交，不是共点力
D. 图乙中若F垂直于杆向上，则F与G也不是共点力
解析： 根据共点力的定义可知，题图甲中F1与F2不平行，作
用线的延长线一定交于一点，故F1、F2是共点力，A错误，B正
确；题图乙中F竖直向上，与G平行，且作用点不同，则不是共点
力，若F垂直于杆向上，则作用线的延长线必与重力G的作用线的
延长线相交，F与G是共点力，C正确，D错误。
3. （多选）如图所示，三段不可伸长的细绳OA、OB、OC，它们共同
悬挂一重物且重力为G＝30 N，其中OB是水平的，A端、B端固
定，θ＝60°。则OA和OB的拉力分别是（ ）
A. OA的拉力大小是60 N
B. OA的拉力大小是20 N
C. OB的拉力大小是30 N
D. OB的拉力大小是10 N
解析： 对结点O受力分析可知OA与OB的合力为30 N，由平行
四边形定则解得OB的拉力F1＝10 N，OA的拉力F2＝20 N，故
选B、D。
4. 如图所示，工人缓慢地把货物沿倾斜的木板推上汽车，货物重力为
800 N，木板长为5 m，木板一端离地距离为1 m，假定工人推力的
方向始终与板面平行，推力的大小为300 N。那么工人在推动货物
的过程中，木板对货物的摩擦力是多少？
答案：140 N
解析：设斜面倾角为θ，对货物受力分析如图
所示，由题意可知sin θ＝
工人在缓慢地把货物沿倾斜的木板向上推动
时，货物沿斜面方向合力为零。
故有F＝Gsin θ＋f，
解得f＝F－Gsin θ＝140 N。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. （多选）下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是
（ ）
A. 如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B. 如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C. 如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向所受的合力都必为零
D. 如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力
的合力与第三个力大小相等、方向相反
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解析： 物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，选项A错
误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运
动，一定不处于平衡状态，选项B错误；物体处于平衡状态时，所
受合力为零，物体沿任意方向所受的合力都必为零，选项C正确；
物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，所受合力为零，则任
意两个共点力的合力与第三个力等大、反向，选项D正确。
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2. 树懒是一种懒得出奇的哺乳动物，什么事都懒得做，甚至懒得去
吃，懒得去玩耍，能耐饥一个月以上，非得活动不可时，动作也是
懒洋洋的极其迟缓。图中的树懒静止倒挂在树干上，则树干给树懒
的作用力方向为（ ）
A. 垂直于树干向上
B. 沿树干向上
C. 竖直向上
D. 树干形变复杂，无法判断力的方向
解析： 树懒静止倒挂在树干上，所受的重力与树干对它的作用
力平衡，可知树干给树懒的力方向为竖直向上，故选C。
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3. 一个质量为3 kg的物体被放置在倾角为α＝30°的固定、光滑斜面
上，在如图所示的甲、乙、丙三种情况下，物体处于平衡状态的是
（g取10 N/kg）（ ）
A. 仅甲图 B. 仅丙图
C. 仅乙图 D. 甲、乙、丙图
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解析： 物体在光滑斜面上受重力、支持力和沿斜面向上的拉
力，斜面光滑，故物体不受摩擦力；将重力沿平行于斜面和垂直于
斜面的方向进行分解，支持力与重力垂直于斜面方向的分力大小相
等；要使物体处于平衡状态，拉力大小应等于重力沿斜面向下的分
力，即F＝mgsin α＝3×10 × N＝15 N，所以只有乙图中物体处于
平衡状态，故选C。
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4. 如图所示的几种情况中，不计绳、弹簧测力计、各滑轮的质量，不
计一切摩擦，物体的质量都为m，且均处于静止状态，有关角度图
中已标出。弹簧测力计的示数FA、FB、FC、FD由大到小的排列顺序
是（ ）
A. FB＞FD＞FA＞FC B. FD＞FC＞FB＞FA
C. FD＞FB＞FA＞FC D. FC＞FD＞FB＞FA
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解析： 由平衡条件知FA＝mgsin 45°＝mg，FB＝mg，FC＝
mgsin 30°＝，FD＝＞mg，所以选项C正确。
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5. 如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣
架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小
为（ ）
A. Mg B. Mg
C. Mg D. Mg
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解析： 如图所示为衣服的受力示意图，根据对称性和
几何关系可知，衣架对衣服的支持力F1与F2的夹角为
60°；由平衡条件得F1＝＝Mg，故B正确。
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6. 如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上，已知
三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，重力加
速度为g，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为
（ ）
A. mg和mg B. mg和mg
C. mg和mg D. mg和mg
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解析： 等边三棱柱静止在水平放置的斜面上，则斜面对三棱柱
的支持力N＝mgcos 30°＝mg，摩擦力f＝mgsin 30°＝mg，故
选A。
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7. （2023·浙江6月选考6题）如图所示，水平面上固定两排平行的半
圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝
90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos 37°
＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为（ ）
A. Fa＝0.6G，Fb＝0.4G
B. Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C. Fa＝0.8G，Fb＝0.6G
D. Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
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解析： 以圆柱体为研究对象，受力分析如图所示，两
侧半圆柱体对圆柱体的支持力的合力与圆柱体所受重力
等大反向，结合几何关系可知Fa＝Gsin 37°＝0.6G，Fb
＝Gcos 37°＝0.8G，D正确。
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8. （多选）如图所示，一条细线一端与地板上的物块B相连，另一端
绕过轻质光滑滑轮与小球A相连。滑轮用另一条细线悬挂在天花板
上的O1点，细线OO1与竖直方向夹角为α＝30°，OA与OB的夹角为
θ，系统处于静止状态。已知小球A的重力为10 N，则（ ）
A. 细线OA的拉力为10 N
B. OO1线上的拉力大小为20 N
C. 地板对B的摩擦力大小为5 N
D. 细线OA与OB间的夹角θ＝60°
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解析： 对小球A受力分析，其受重力和拉力，
根据平衡条件，有TA＝mg＝10 N，故A正确。对滑轮
分析，受三个拉力作用，如图所示。由分析可知θ＝
2α＝60°，由平衡条件知F＝2TAcos α＝10 N，故
B错误，D正确。对物块B受力分析，其受重力、支
持力、拉力和静摩擦力，根据平衡条件，水平方向
有TBsin θ＝f，又因为TA＝TB，解得f＝5 N，地板
对B的摩擦力大小为5 N，故C错误。
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9. 如图所示，一质量为1 kg、横截面为直角三角形的物块，∠ABC＝
30°，物块BC边紧靠光滑竖直墙面，用一推力垂直作用在AB边上
使物块处于静止状态，则推力F多大？物块受墙的弹力多大？（g＝
10 N/kg）
答案：20 N 10 N
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解析：物块受重力G、推力F和墙的弹力N作用，
如图所示，由平衡条件知，F和N的合力与重力
等大反向。
故有F＝＝ N＝20 N
N＝Gtan 60°＝1×10× N＝10 N。
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10. （多选）如图所示，重力为G的物体A在大小为F的水平向左的恒
力作用下静止在倾角为α的固定光滑斜面上。下列关于物体对斜面
压力N大小的表达式，正确的是（ ）
A. N＝ B. N＝Gcos α
C. N＝Gsin α＋Fcos α D. N＝
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解析： 对物体A受力分析，如图所示，受推
力F、重力G、支持力N，由图可得N＝
，故A正确；由cos α＝，可得N＝
，故B错误；N＝Fsin α＋Gcos α，故C错误；
由sin α＝，可得N＝，故D正确。
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11. 如图所示，内壁及碗口光滑的半球形碗固定在水平面上，碗口保
持水平。A球、C球与B球分别用两根轻质细线连接，当系统保持
静止时，B球对碗壁刚好无压力，图中θ＝30°，则A球、C球的质
量之比为（ ）
A. 1∶2 B. 2∶1
C. 1∶ D. ∶1
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解析： 设A球、C球的质量分别mA、mC。由几何知
识可知，两细线相互垂直，由A、C两球受力平衡得T1'
＝mAg，T2'＝mCg。以B球为研究对象，分析受力情
况，B球受重力G、两细线的拉力T1、T2，如图所示，
则T1＝T1'，T2＝T2'。由平衡条件得T1＝T2tan θ，得＝
tan θ＝，则得＝＝，选项C正确。
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12. 如图所示，用三根轻绳将A、B两小球以及水平天花板上的固定点
O之间两两连接。然后用一水平方向的力F作用于A球上，此时三
根轻绳均处于伸直状态，且OB绳恰好处于竖直方向，两球均处于
静止状态。已知三根轻绳的长度之比：OA∶AB∶OB＝3∶4∶5，
两球质量关系为mA＝2mB＝2m，下列说法正确的是（ ）
A. OB绳的拉力大小为2mg
B. OA绳的拉力大小为
C. F的大小为
D. AB绳的拉力大小为mg
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解析： 由B的状态可判定B球不受AB绳的作
用力，即AB绳无张力，故B受重力、OB绳的拉
力，有TOB＝mg，TAB＝0。隔离A分析，A受三
个力处于平衡状态，这三个力能组成如图所示
的矢量三角形，图中θ＝53°，F＝mAgtan θ＝
，TOAcos θ＝mAg，解得TOA＝，故选B。
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13. 如图所示，质量m1＝4 kg的物块C悬挂在绳OA和OB的结点O上，
OA偏离竖直方向α＝37°，OB沿水平方向，且与质量m2＝30 kg的
物块B相连接，物块B静止于倾角为θ＝37°的固定斜面上（g取10
m/s2，cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6，tan 37°＝0.75）。求：
（1）绳OA的拉力大小；
答案：50 N
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解析：如图所示，对结点O受力分析，则FA
＝＝50 N。
FB＝m1gtan α＝30 N。
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（2）斜面对物块B的摩擦力大小和方向。
答案：204 N 方向沿斜面向上
解析：假设斜面对物块B的摩擦力f1沿斜面向上，对物块B受力分析如图所示。
分析得FB'＝FB，f1＝FB'cos θ＋m2gsin θ＝204 N
所以假设成立，斜面对物块B的摩擦力f1＝204 N，方向沿斜面向上。
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