22.3 实际问题与二次函数 教材知识背默清单 课时练习 （含解析）2025--2026年九年级数学上册人教版

22.3 实际问题与二次函数 教材知识背默清单 课时练习
班级： 姓名：
1.用二次函数解决实际问题的一般步骤
步骤 说明
审 仔细审题，理清题意
设 找出问题中的变量和常量，以及它们之间的关系，设出适当的变量
列 建立 ，即根据题中的数量关系列出
解 依据已知条件，借助二次函数的图象和性质求解实际问题
检 检验结果，得出符合实际意义的结论
答 根据题意写出答案
2.利用二次函数解决实际问题
实际问题 解题方法
面积最值问题 利用几何图形 （或 ）公式得到二次函数解析式，根据函数解析式及自变量的取值范围求最值，最后得出实际问题的答案
销售问题 1.销售利润＝销售总价－总成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×（销售价－进价） 2.根据题干信息及实际意义，确定自变量的取值范围，在自变量取值范围内求最值
抛物线形问题 抛物线形建筑物 根据特点选择合适的原点，建立平面直角坐标系，利用 求出抛物线的解析式并解决实际问题
抛物线形运动路线问题
参考答案
二次函数模型
二次函数的解析式
面积 体积
待定系数法
课时练习
一、单选题（本大题共8小题）
1．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
2．如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
4．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
5．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点；抛物线与轴交于点，与轴交于另一点.点在线段上，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，，，.当点在线段上移动时（不与，重合），下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．四边形的面积最大为13
6．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．四边形中，， ，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
有两个不同的值满足的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题）
9．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．

10．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
11．掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 米．

12．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏，护眼台灯的销售价格（元/盏）与时向（天）之间符合函数关系式（，且为整数）．
（1）日销售量（盏）与时间（天）之间的一次函数关系式为___________．
（2）这20天中最大日销售利润是___________．
13．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为_________．
14．关于二次函数的四个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②无论a取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x轴交于不同两点A、B，且，则或；④若，对应y的整数值有4个，则或其中正确的结论是 （填写序号）
三、解答题（本大题共5小题）
15．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出的最小值；
（3）若抛物线上有一动点Q，使的面积为6，求点Q的坐标．
17．如图,抛物线过点,顶点为.抛物线其中为常数，且,顶点为.
（1） 直接写出的值和点的坐标.
（2） 嘉嘉说：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上.
淇淇说：无论为何值，总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理.
（3） 当时，
① 求直线的表达式；
② 作直线,当与的交点到轴的距离恰为6时，求与轴交点的横坐标.
（4） 设与的交点,的横坐标分别为,,且.点在上，横坐标为.点在上，横坐标为.若点是到直线的距离最大的点，最大距离为,点到直线的距离恰好也为,直接用含和的式子表示.
18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
19．已知关于的函数．
(1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；
(2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围．
(3)阅读下面材料：
设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；
②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；
③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需．
综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得；
综上可得的最大值和最小值分别是，．
故此题答案为D．
2．【答案】C
【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
②当时，解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故此题答案为C．
3．【答案】C
【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意知，函数经过点，
则，
解得：，
∴，
∴当时，可食用率最高，
∴最佳加工时间为3.75分钟，
故此题答案为C．
4．【答案】A
【分析】分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．
【详解】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，

在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴ACEF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，

由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，

由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，

由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项A的图像符合题意，
故此题答案为A．
5．【答案】C
【详解】将代入抛物线与直线，可得，.设点的横坐标为，则，.联立可得点的坐标为.对于,令，可得,， 易知，则，是等腰三角形选项，当与抛物线的对称轴重合时，点，的坐标分别为，， 易得，，，故本选项错误选项，轴，两点纵坐标相同，，而是等腰三角形，不是等边三角形，，不成立，故本选项错误选项，如图，作，，是的平分线.易证，而，故本选项正确选项，，，，其最大值为，故的最大值为，故本选项错误.故选.
6．【答案】B
【详解】如图，连接，交于点，过点作轴于点，过点作于点 四边形是正方形，，互相平分，，， ， ，，，， 点,的横坐标分别为,,且点，在抛物线上，，，，．设，则，，，，，．又，，，，，， 点，在轴的同侧，且点在点的右侧，，．故选．
【关键点拨】
作辅助线构造出全等三角形，利用一线三等角模型判定是解题关键．
7．【答案】C
【详解】①根据题意得，点在上的运动时间为，点在上的运动时间为， 当时，点在上，此时，，，，故①正确.②当时，点在上，此时，，，， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为，即当时，的最大面积为，故②错误.③当点在上时，，解得，（舍去）， 当时，的面积为.当点在上时，， ，，解得， 当时，的面积为.故有两个不同的值满足的面积为,故③正确.综上，正确的结论是①③.故选.
8．【答案】D
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④．
【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，
，两个函数的对称轴均为直线，
即，
解得：，故①正确；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
，
由函数的对称性可知，
在和中，
，
，
，故正确②；
③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
，，
，
点，
，
，
由，
此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，
点的横坐标为，
，点的横坐标为，
，，
，，
周长的最小值为，故正确④；
故此题答案为D．
9．【答案】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知，
，，，
设抛物线解析式为：，
将代入解析式，
解得：，
，
消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，
平移后的抛物线解析式为，
令，解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图象的平移及坐标轴的交点.解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
10．【答案】/
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米
11．【答案】10
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后解出与x轴交点对应的x的值．
【详解】解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为：，
把代入解析式得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当时，
解得：（舍去），，
即这名男生此次抛掷实心球的成绩是10米；
故此题答案为：10．
12．【答案】 450
【分析】（1）设函数关系式为：，根据第1天销售了78盛，第2天销售了76盏，进行求解即可；
（2）设日销售利润为，利用单件利润乘以销售数量等于总利润，列出二次函数关系式，最求值即可．
【详解】解：（1）设日销售量（盏）与时间（天）之间的一次函数关系式为，
由题意，得：，解得：，
∴；
故答案为：；
（2）设日销售利润为，
则：
；
，，且为整数，
当时，取得最大值，最大值是450；
在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
故答案为：450．
【点睛】本题考查二次函数的应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用函数的性质，进行求解．
13．【答案】
【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得a值，则时得的y值即为水管的长．
【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
则设抛物线的解析式为
，
代入求得,
将值代入得到抛物线的解析式为，
令，则,
故水管长为．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
14．【答案】①②④
【分析】①先求二次函数对称轴，根据对称轴来判断与对应的两个点是关于直线对称，从而得出判断；②根据二次函数直接判断结论是错误的；③设，且，根据根与系数的关求出两根之和两根之积，从而表示长，再根据已知条件分两种情况分别讨论，最终得出或；④根据已知条件分两种情况分别讨论，当时，若随的增大而增大，得，再根据的整数值有4个，得；当时，若随的增大而减小，方法和第一种情况类似，求出，从而得出最终结论．
【详解】解：①二次函数对称轴为直线，
，
∴与关于直线对称，
∴对任意实数，都有与对应的函数值相等，
∴①正确；
②∵对称轴为直线，与轴的交点为，
∴抛物线也过点，
∴无论取何值，抛物线一定过两个定点和，
∴②正确；
③∵若抛物线与轴交于不同两点，设，且，
∵是方程的两个不同的根，
∴，
∴，
∵，
，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
综上所述：或，
∵若抛物线与轴交于不同两点，
∴，
∴或，
综上所述：或，
∴③错误；
④∵当时，若随的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
∵的整数值有4个，
，
，
当时，若随的增大而减小，
，
∵的整数值有4个，
，
，
综上所述：或，
∴④正确．
15．【答案】（1）；（2）70元；（3）80元．
【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
（2）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
（3）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】解：（1）∵依题意得，
∴与的函数关系式为；
（2）∵依题意得，
即，
解得：，，
∵
∴当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；
（3）设每月总利润为，依题意得
∵，此图象开口向下
∴当时， 有最大值为：（元），
∴当销售单价为元时利润最大，最大利润为元，
故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元．
16．【答案】（1）；（2）；（3）点Q的坐标为或或或
【分析】（1）将A、D点代入抛物线方程，即可解出b、c的值，抛物线的解析式可得；
（2）点C、D关于抛物线的对称轴对称，连接AC，点P即为AC与对称轴的交点，PA+PD的最小值即为AC的长度，用勾股定理即可求得AC的长度；
（3）求得B点坐标，设点，利用三角形面积公式，即可求出m的值，点Q的坐标即可求得．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，∴解得
∴抛物线的解析式为．
（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线．
∵，∴C，D关于抛物线的对称轴对称，连接，可知，当点P为直线与对称轴的交点时，取得最小值，
∴最小值为．
（3）设点，
令，
得或1，
∴点B的坐标为，
∴．∵，
∴，
∴或，
解得：或或0或，
∴点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答
17．【答案】（1） 【解】， 抛物线过点，顶点为，，解得， 抛物线，.
（2） 选择嘉嘉.把向左平移2个单位长度后得到对应点的坐标为.把代入，得， 点在上， 嘉嘉说法正确.选择淇淇.，当时，，过定点 淇淇说法正确.（任选一人的说法进行说理即可）
（3） ① 当时，， 顶点.设直线的表达式为，将，代入，得解得 直线的表达式为.
② 如图（1），（等于6时，直线与重合，不符合题意），， 交点，交点.当直线过点时， 直线， 设直线为，，解得， 直线.当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为；同理当直线过点时，直线.当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为.
图（1）
（4） ，，是由通过旋转 ，再平移得到的，两个函数图像的形状相同.
如图（2），连接交于，连接，，，， 四边形是平行四边形. 点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为， 此时与重合，与重合.，,，的横坐标为.设,，，的横坐标为，，解得.
图（2）
【思路分析】
（4）由题意可得是由通过旋转 ，再平移得到的，两个函数图像的形状相同，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形.因为点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，所以此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．
18．【答案】(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
19．【答案】(1)或，0
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；
（2）利用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论；
（3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可．
【详解】（1）根据题意，得
解之，得，所以
函数的表达式或，当时，的最小值是-8．
（2）根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以．
（3）函数的图象
图1： 即，
所以，的值不存在．
图2： 即的值.
图3： 即
所以的值不存在
图4：即
所以的值不存在．
图5：
即
所以的值为
图6：函数与轴的交点为
所以的值为0成立．
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观．