第二十二章 二次函数 重点回顾 单元练习（含解析）2025--2026年九年级数学上册人教版

第二十二章重点回顾 单元练习
班级： 姓名：
参考答案
开口向上 开口向下 直线x＝h
减小 增大
增大 减小
y＝ax2+bx+c（a≠0）
y＝a（x－h）2＋k（a≠0）
y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
单元练习
一、单选题（本大题共9小题）
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
2．将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+5
C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+5
3．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
4．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
5．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数y=ax2+3ax+1(a>0)的图象上有三个点,分别为A(-3,y1),B(-1,y2),C(,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 (　　)
A．y17．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论：；；；④若为任意实数，则.正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9．抛物线与轴相交于点，.下列结论：；；；④若点，在抛物线上，且，则.其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题）
10．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为________.
11．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．
12．［中］已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为______.
13．若点，，三点都在二次函数的图像上，则，，的大小关系是____________________.（用“ ”连接）
14．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为 ．
15．如图，抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：；；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则.其中正确结论是____（请填写序号）.
三、解答题（本大题共4小题）
16．把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
17．一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高为,现以为原点建立如图所示直角坐标系.
（1） 求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）.
（2） 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处
18．已知二次函数,其中,为两个不相等的实数.
（1） 当,时，求此函数图像的对称轴.
（2） 当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围.
（3） 若点,,均在该函数的图像上，是否存在常数,使得 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示, 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP、AP,求的面积的最大值;
(3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点,求出点的坐标;并探究:在轴上是否存在点,使 若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故此题答案为D．
2．【答案】C
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3（x+2）2+2；
再向下平移3个单位为：y=3（x+2）2+2﹣3，即y=3（x+2）2﹣1．
故此题答案为C．
3．【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选D．
4．【答案】A
【分析】根据二次函数各项系数与图象的关系，逐个判断即可．
【详解】解∶∵对称轴
∴，2a+b=0；故②正确；
∴a,b异号，
∴ab＜0，故①正确；
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误；
根据图示知，当m=1时，有最大值,
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）,故④正确．
如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误．
故此题答案为A．
5．【答案】B
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故此题答案为B．
6．【答案】B　
【详解】∵二次函数的解析式为y=ax2+3ax+1(a>0),
∴该抛物线开口向上,且对称轴为直线x=-=-．∵A(-3,y1),B(-1,y2),C(,y3)为y=ax2+3ax+1(a>0)图象上的三个点,且三点到对称轴的距离分别为,,2,由抛物线开口向上可知,到对称轴的距离越远,函数值越大,∴y2　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
7．【答案】D
【分析】由可得： ，，则可得 ，则可得 ，再利用 ，进行计算即可．
【详解】∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；
∴令x=n，可得∶纵坐标为， 纵坐标为 ，
，，
．
，
．
故选D．
8．【答案】C
【解析】①观察图像可知，，，，故①错误 对称轴为直线，，，， 点，点， 当时，，即，,故②正确.③抛物线的对称轴为直线，即，，，，，,故③正确.④当时，函数取得最小值，，则（可为任意实数），故④正确.综上所述，正确的个数是3.故选C.
9．【答案】B
【解析】①由题意得,，，，，，故①错误 抛物线与轴相交于点，, 方程有两个不相等的实数根，，故②正确，，，故③正确 抛物线与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直线 点，在抛物线上，且，或 解得，故④错误.故选B.
10．【答案】
【解析】抛物线的对称轴为直线 当时，的值随值的增大而增大，.故答案为.
11．【答案】
【分析】根据A、B两点的横坐标可得 1【详解】∵抛物线与直线交于 A( 1，p) ， B(3，q) ，抛物线开口向上，
∴ 1∴ ax2 mx+c12．【答案】
【解析】抛物线的对称轴为直线 当时，随的增大而增大，.故答案为.
13．【答案】
【解析】 在中，，的图像开口向下，对称轴为轴， 距离轴越远的点的纵坐标越小.，，故答案为.
14．【答案】
【分析】由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可．
【详解】解：连接PB，
对于抛物线y=-x2+k，
对称轴是y轴，
∴PC=PB，
∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，
∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），
∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，
把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，
所以点B的坐标为（-2，0），
所以BD=
15．【答案】①②④
【解析】 抛物线的顶点的坐标为，，， 抛物线开口向下，，.当时，，，故①正确．由图象可得当时，，，故②正确. 直线是抛物线的对称轴，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，，故③错误． 关于的一元二次方程无实数根， 顶点，在直线的下方，，故④正确.故答案为①②④.
16．【答案】（1） （2）开口向上，对称轴是x=1的直线，顶点（1，-5）
【分析】（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论；
（2）直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.
【详解】（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1，
∴可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，
而将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y= (x-1)2-5，
∴a=，b=1，k=-5；
（2）二次函数y= (x-1)2-5，开口向上，对称轴为x=1的直线，顶点坐标为（1，-5）.
17．【答案】
（1） 【解】由题意，得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为.
把点代入，得，解得，
抛物线的函数表达式为.
当时，， 球不能射进球门.
（2） 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线的函数表达式为.把点代入得，解得（舍去），， 当时他应该带球向正后方移动1米射门.
18．【答案】
（1） 【解】当，时，，
对称轴为直线.
（2） ，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的开口向上. 该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大,.
（3） 存在.，
，
,
.
，
,
.
，，
，.
19．【答案】（1）；（2）当时，最大值为；（3）存在，点坐标为，理由见解析
【分析】
(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；
(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,设P求出关于n的函数式，从而求S△PAB的最大值.
(3) 求点D的坐标，设D,过D做DG垂直于AC于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t的值即得D的坐标;探究在y轴上是否存在点,使 根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A为圆心，AO长为半径做圆交y轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q点.
【详解】
解：抛物线顶点为
可设抛物线解析式为
将代入得
抛物线，即
连接，
设点坐标为
当时，最大值为
存在，设点D的坐标为
过作对称轴的垂线，垂足为,
则
在中有
化简得
（舍去），
∴点D(,-3)
连接，在中
在以为圆心，为半径的圆与轴的交点上
此时
设点为(0,m), AQ为的半径
则AQ =OQ +OA , 6 =m +3
即
∴
综上所述，点坐标为
故存在点Q，且这样的点有两个点.
【点睛】
(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；
(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.
(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.