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分课时教学设计
第八课时《15.3.2 等边三角形（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教数学8上第15章“轴对称”第3.2节第第1课时，是在学生已学习等腰三角形性质与判定、轴对称图形等知识的基础上，对特殊等腰三角形——等边三角形的深入探究。 从《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课标”）要求来看，本节课对应“图形与几何”领域“图形的性质”主题，课标明确提出“探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°”“探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形”，并要求学生“能运用几何图形的基本性质进行推理证明”，这为本节课的教学内容设定了明确的知识与能力目标。 从教材体系来看，本节课是等腰三角形知识的延伸与拓展，既承接了等腰三角形“边与角”的核心关系，又通过等边三角形的特殊性深化对“特殊与一般”数学思想的理解；同时，本节课内容也是后续学习直角三角形、相似三角形、圆等知识的重要基础，例如含30°角的直角三角形性质推导需依托等边三角形的对称性，圆内接正多边形的学习也需以等边三角形的性质为铺垫。
学习者分析 本节课的教学对象为八年级上学期的学生，从知识基础来看，学生已在之前的学习中掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边），理解轴对称图形的概念，能进行简单的几何推理与证明，这为探究等边三角形的性质与判定奠定了基础，但需注意学生可能混淆等腰三角形与等边三角形的特殊与一般关系，忽略“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”中“等腰”的前提条件。从能力层面来看，学生已具备初步的观察、猜想与推理能力，但综合运用多知识点解决复杂几何问题的能力仍需提升，同时对学生逻辑思维的连贯性要求较高。从认知特点来看，八年级学生处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对几何图形的对称性有直观感知，但对“特殊与一般”的辩证关系理解易停留在表面，需通过对比、举例等方式深化认知，同时学生对动手操作、情境化问题兴趣较高，可结合这些特点设计相应教学活动。
教学目标 1．探索并掌握等边三角形的性质及判定方法． 2．能够运用等边三角形的知识解决相应的数学问题．
教学重点 等边三角形的性质与判定．
教学难点 等边三角形的性质与判定．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．探索并掌握等边三角形的性质及判定方法． 2．能够运用等边三角形的知识解决相应的数学问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说等腰三角形的性质和判定？ 名 称图形性质 判定等 腰 三 角 形
预设： 名 称图形性质 判定等 腰 三 角 形两腰相等两边相等等边对等角三线合一等角对等边轴对称图形
引言：我们知道，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和判定．学生活动2： 学生回答老师提出的问题活动意图说明： 通过复习等三角形的性质和判定，这研究等边三角形的性质和判定做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 探究1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 等腰三角形的性质等边三角形的性质边两边相等（定义）角两底角相等 （等边对等角）“三线合一”是轴对称图形是
预设：三边相等（定义） 三个内角都相等，每个角都等于60° 是 是 追问：你能证明它们吗？ 已知：△ABC 是等边三角形． 求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°． 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AC，BC＝AB． ∴∠A＝∠B，∠A＝∠C（等边对等角）． ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． 由此，证明得出：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. 引导画对称轴： 由此，得出：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． （2）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（“三线合一”）． 归纳： 等边三角形的性质边角对称性三条边都相等三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°三线合一； 轴对称图形，三条对称轴
探究2：一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 预设： 第一种情况： 结论：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．（通过定义得出） （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． 追问：你能说明理由吗？ 已知：在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠C． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C， ∴BC＝AC，AC＝AB（等角对等边）． ∴AB＝BC＝AC． ∴△ABC 是等边三角形． 第二种情况： 结论：（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 追问：你能说明理由吗？ 已知：在等腰三角形△ABC 中，∠A＝60°． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：（1）当顶角∠A＝60°时， ∴∠B＝∠C＝×(180°－60°)＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∴△ABC 是等边三角形． （2）当底角∠A＝60°时，则∠C＝60°， ∴∠B＝180°－(60°＋60°)＝60°． ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∴△ABC 是等边三角形． 归纳：等边三角形的判定 图形判定等边三角形 三条边都相等的三角形三个角都相等的三角形有一个角是 60°的等腰三角形
例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE//BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C． ∴∠A＝∠ADE＝∠AED． ∴△ADE 是等边三角形． 说明：这种方法用的是“三个角都相等的三角形是等边三角形．” 追问：还有其他证法吗？ 证明（方法二）：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∵DE//BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED． ∴∠ADE＝∠AED． ∴AD＝AE． ∴△ADE 是等腰三角形． ∵∠A＝60°， ∴△ADE 是等边三角形． 说明：这种方法用的是“有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．” 证明（方法三）： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE//BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED． ∴∠A＝∠ADE，∠ADE＝∠AED． ∴DE＝AE，AD＝AE． 即AD＝AE＝DE． ∴△ADE 是等边三角形． 说明：这种方法用的是“条边都相等的三角形是等边三角形．”学生活动3： 学生小组合作探究等边三角形的性质和判定活动意图说明： 通过探究让学生经历等边三角形性质和判定的探索过程，加深对等边三角形性质和判定的理解．通过例题的讲解学习，加深学生对已学知识的理解，让学生能够掌握运用等边三角形的性质及判定进行简单的证明和计算．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：15.3.2等边三角形（第1课时）一、等边三角形的性质 二、等边三角形的判定教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是 ． 答案：等边三角形 3．如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 证明：（1）∵， ∴； ∵， ∴； ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）在中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 选做题： 4．如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2） 由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 故答案为：直角三角形； （3）由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形． 故答案为：125或140或110．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，是等边三角形，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 答案：D 3．如图，在中，点D，E在边上，连接，，且，线段,分别是和的高，且，．请判断是等边三角形吗？并加以证明． 鹅：是等边三角形，理由如下： ∵线段,分别是和的高， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形． 选做题： 4．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 答案：等边三角形 解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 【综合拓展类作业】 5．如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 解：（1）是等边三角形， 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．
教学反思 本节课围绕等边三角形的性质与判定展开，虽依托教材“探究—定理—证明—应用”主线，落实了课标“探索图形性质、发展推理能力”的要求，但仍有不足。教学中通过等腰三角形知识迁移推导等边三角形性质，多数学生能理解定理，但部分学生对“特殊与一般”关系理解不深，需加强等腰与等边三角形对比练习。例题教学虽示范了证明步骤，但对学生自主分析问题的引导不足，导致少数学生难以独立完成部分训练题。后续需优化教学，增加学生动手操作，强化定理应用的分层指导，更好达成课标“发展几何直观与推理能力”的核心素养目标。
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第十五章 轴对称
15.3.2等边三角形
（第1课时）
1．探索并掌握等边三角形的性质及判定方法．
2．能够运用等边三角形的知识解决相应的数学问题．
名称 图形 性质 判定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
等腰三角形的性质和判定
我们知道，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和判定．
探究1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
等腰三角形的性质 等边三角形的性质
边 两边相等（定义）
角 两底角相等 （等边对等角）
“三线合一” 是
轴对称图形 是
三边相等（定义）
三个内角都相等，
每个角都等于60°
是
是
你能证明
它们吗？
已知：△ABC 是等边三角形．
求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°．
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴BC＝AC，BC＝AB．
∴∠A＝∠B，∠A＝∠C（等边对等角）．
∴∠A＝∠B＝∠C．
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°.
A
B
C
A
B
C
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（“三线合一”）．
等边三角形的性质
边 角 对称性
三条边都相等
三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°
三线合一；
轴对称图形，三条对称轴
探究2：一个三角形满足什么条件才是等边三角形？
1．三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．三个角都相等的三角形是等边三角形．
一般三角形
等边三角形
定义
你能说明理由吗？
已知：在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠C．
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C，
∴BC＝AC，AC＝AB（等角对等边）．
∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC 是等边三角形．
A
B
C
探究2：一个三角形满足什么条件才是等边三角形？
等边三角形
等腰三角形
3．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
你能说明理由吗？
已知：在等腰三角形△ABC 中，∠A＝60°．
求证：△ABC 是等边三角形．
A
B
C
证明：（1）当顶角∠A＝60°时，
∴∠B＝∠C＝×(180°－60°)＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∴△ABC 是等边三角形．
（2）当底角∠A＝60°时，则∠C＝60°，
∴∠B＝180°－(60°＋60°)＝60°．
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∴△ABC 是等边三角形．
B
A
C
等边三角形的判定
图形 判定
等边三角形
A
B
C
三条边都相等的三角形
三个角都相等的三角形
有一个角是 60°的等腰三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形．
例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C．
∵DE//BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
∴∠A＝∠ADE＝∠AED．
∴△ADE 是等边三角形．
还有其他
证法吗？
例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明（方法二）：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵DE//BC，
∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．
∴∠ADE＝∠AED．
∴AD＝AE．
∴△ADE 是等腰三角形．
∵∠A＝60°，
∴△ADE 是等边三角形．
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明（方法三）： ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C．
∵DE//BC，
∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．
∴∠A＝∠ADE，∠ADE＝∠AED．
∴DE＝AE，AD＝AE．
即AD＝AE＝DE．
∴△ADE 是等边三角形．
条边都相等的三角形是等边三角形．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是 ．
等边三角形
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，已知为的中点，，点为垂足，且，．
(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．
证明：（1）∵，
∴；
∵，
∴；
∵为的中点，∴，
又∵，
∴，
∴，∴是等边三角形；
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，已知为的中点，，点为垂足，且，．
(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．
（2）在中，，
∴，
∵为的中点，
∴．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：
①；②；③；
④；⑤，
正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
【综合拓展类练习】
5．如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，判断的形状为_______，（不用写证明）；
(3)探究：当为______________度时，是等腰三角形．
证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
直角三角形
125或140或110
等边三角形的性质和判定
性质
判定
三个角都相等，都等于 60°
三线合一
三条边都相等
轴对称图形
三条边都相等的三角形
三个角都相等的三角形
有一个角是 60°的等腰三角形
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，是等边三角形，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
D
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在中，点D，E在边上，连接，，且，线段,分别是和的高，且，．请判断是等边三角形吗？并加以证明．
解：是等边三角形，理由如下：
∵线段,分别是和的高，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，∴，
∴是等边三角形．
【知识技能类作业】选做题：
4．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ．
等边三角形
解：，，，
，，
，，
，
，，是的三条边，
是等边三角形，故答案为：等边三角形 ．
【综合拓展类作业】
5．如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，，交于点F，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
解：（1）是等边三角形，
理由：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，∴是等边三角形；
【综合拓展类作业】
（2）连接，∵是等边三角形，
∴，
∵，∴是线段的垂直平分线，
∴平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
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同步探究学案
课题 15.3.2等边三角形（第1课时） 单元 第十五章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．探索并掌握等边三角形的性质及判定方法． 2．能够运用等边三角形的知识解决相应的数学问题．
重点 等边三角形的性质与判定．
难点 等边三角形的性质与判定．
探究过程
导入新课 【引入思考】 说一说等腰三角形的性质和判定？ 名称图形性质判定等腰三角形
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助等腰三角形的性质和判定，从等边三角形的边角关系出发，研究等边三角形的性质和判定。 探究1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 等腰三角形的性质等边三角形的性质边两边相等（定义）角两底角相等（等边对等角）“三线合一”是轴对称图形是
请证明等边三角形的性质. 已知：△ABC 是等边三角形． 求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°． 证明： ． 由此，证明得出：等边三角形的三个内角都_______，并且每一个角都等于_______. 请画出等边三角形的对称轴： 由此，得出：（1）等边三角形是_______图形，它有____条对称轴． （2）等边三角形每条边上的_____、______和所对角的___________都相互重合（“三线合一”）． 归纳： 等边三角形的性质边角对称性三条边都______三个内角都_____，并且每一个角都等于_____三线_____； ________图形，_____条对称轴
探究2：一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 第一种情况： 结论：（1）三条边都_______的三角形是等边三角形．（通过定义得出） （2）三个角都______的三角形是等边三角形． 请说出你的理由. 已知：在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠C． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明： 第二种情况： 结论：（3）有一个角是_________的等腰三角形是等边三角形． 请说出你的理由. 已知：在等腰三角形△ABC 中，∠A＝60°． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明： 归纳：等边三角形的判定 图形判定等边三角形 三条边都__________的三角形三个角都__________的三角形有一个角是________的等腰三角形
例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形．（请用两种或两种以上的方法进行证明）
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是 ． 3．如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 选做题： 4．如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【综合拓展类练习】 5．如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，是等边三角形，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 3．如图，在中，点D，E在边上，连接，，且，线段,分别是和的高，且，．请判断是等边三角形吗？并加以证明． 选做题： 4．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 【综合拓展类作业】 5．如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长．
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