四川省绵阳南山中学实验学校2026届高三上学期一诊数学模拟卷（二）（含答案）

四川省绵阳南山中学实验学校2026届高三上学期一诊
数学模拟卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间上是单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
4.设，则的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为( )参考数据：，
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第 项．
A. B. C. D.
8.定义在上函数满足，且当时，则使得在上恒成立的的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C.
D. 的最小值为
10.已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则( )
A. 为偶函数
B. 的最小正周期是
C. 的图象关于直线对称
D. 将图象向左平移后，在上单调递减
11.已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是( )
A. 一个对称中心为 B. 的一个周期为
C. 的图象关于对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的值为 ．
13.若，，且函数在处有极值，则的最小值等于 ．
14.已知数列的前项和为，，，，则满足的正整数的所有取值集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求下列各式的值．
若，求的值；
若，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间及在上的值域；
若为锐角且，求的值．
17.本小题分
已知函数在处取得极值．
求；
函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围；
18.本小题分
已知正项数列的首项为，且，数列满足，．
求和的通项公式；
求数列的前项和；
设，为数列的前项和，若对任意，恒成立，求出与实数的取值范围．
19.本小题分
定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数的取值范围．
若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.【详解】因为，
所以，解得，
所以．
因为，
所以，
即，
，
，，即，
，
．

16.【详解】依题意，函数
由，解得，
所以函数的单调递增区间为；
由，得，，
所以当的值域为．
由知，，由，得，
由，得，所以，，
所以
．

17.【详解】，由题意得，
所以，所以，经检验，符合题意，故；
由得，
由函数图象与函数图象关于点对称，
则把点代入即可得，
即，
整理得：
所以，
因为，所以，
当时，，不成立，舍去．
当时，，令
所以
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，因为存在使成立，
所以，所以，综上所述，；

18.【详解】因为，所以．
因为，所以，即．
又，所以是首项为，公差为的等差数列．
因为，
所以当时，，
得也满足．
故的通项公式为的通项公式为．
由知，所以
因为，
所以，
当时，取得最小值．
因为对任意恒成立，所以，
整理得，解得．

19.【详解】由与为“契合函数”，得，使
，令，依题意，方程有唯一解，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，时，，，
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有个交点，则或，
所以实数的取值范围是．
由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，
得存在，使，
即关于的方程有两个相异正根，令函数，
求导得，
由，得，得当时，；当时，，
则函数在上递增，在上递减，则，
当从大于的方向趋近于时，；当时，，
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以的取值范围是．
由知，当时，，令，
求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，，
函数在上单调递减，，因此当时，，
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，
所以．

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