广西名校高考模拟2026届高三上学期第二次摸底考试数学试卷（含答案）

广西名校高考模拟2026届高三上学期第二次摸底考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的实部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则集合中元素个数为 ．
A. B. C. D.
3.已知双曲线的焦距是虚轴的倍，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
5.已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为，则( )
A. B. C. D.
7.已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若，，，且，，，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，分别是正四面体的棱，，的中点，则下列结论正确的有( )
A. 平面 B.
C. 平面与平面夹角为 D. 平面平面
10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的有 ．
A. 线段的长度的最小值为 B. 为钝角
C. 若直线的斜率为，则 D.
11.定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”若，一组数据，相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是 ．
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线与直线相切，则 ．
13.已知等比数列的首项为，前项和为若，则的值为 ．
14.游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随机询问名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果：
职业 买食品时是否看营养说明 合计
不看营养说明 看营养说明
从事与医疗相关行业
从事与医疗无关行业
合计
从这名受访者中随机抽出人，且知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率
依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异
参考公式：．
独立性检验中常用小概率值和相应临界值：
16.本小题分
欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如与互质．
求，，的值；
已知数列满足，求的前项和．
17.本小题分
如图，直四棱柱的下底面为菱形，，是上底面内两个不同的动点．

若为正方体，为上底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值；
若恰好是二面角的平面角．证明：在动点运动过程中，三棱锥的体积保持不变．
18.本小题分
我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与轴、轴的交点．
若是边长为的等边三角形，求“果圆”的方程
在条件下，为半椭圆上的任意一点，点坐标为，求最大值以及最小值；
当时，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
若在区间上恰有一个零点，求的取值范围；
当时，解方程．
参考答案
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15.解：用表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”，
表示事件“受访者从事医疗无关行业”，
“已知此人在购买食品时要看营养说明，
求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率
就是在“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为，
，，所以
零假设为职业与看营养说明相互独立，
即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异，根据表中数据，
计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为成立，即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异．
16.解：因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即．
由可知，
两式相减得
．

17.【详解】由正方体的结构特征知，则异面直线与所成角的平面角为，

又平面，平面，则，
所以为直角三角形，则，
若正方体的棱长为，则，故，
所以；
由于是二面角的平面角，则，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，则，
因为直四棱柱，所以且，
所以四边形是平行四边形，则，所以，
又因为在直四棱柱中，可得平面，
因为平面，则，
又因为，且平面，所以平面，
由平面且平面，平面平面，
所以平面与平面重合，点在平面内，又点在平面内，
所以平面平面，故在上，而，
由平面，平面，则平面，
所以到平面的距离恒定不变，又一定，则恒定，得证．


18.【详解】因为是边长为的等边三角形，
所以，，，
所以，，
故“果圆”的方程为，；
由可知：，
可设，满足，
则，
因为，由二次函数的性质易知：当时，取得最小值，
即，
因为，所以，当三点共线取等号，
又，所以，即最大值为；
又，，，因此，
因为，所以，即，即，
因为，所以，
所以，化简得，
所以．

19.解：因为，所以，
由；由．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
当时，，即，在定义域内单调递增；
注意到，因此在区间上无零点；
当时，由，得仅有一解，
记，则仅有一解，
令，则直线与的图象仅有一个交点，
因为，且直线过点，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，，
所以，结合，则的取值范围为．
由题，，记上式为，
由，
则，
则在定义域内单调递减，
因此，仅有一个解，
注意到待求方程，
对中含的部分单独考察，令，解得，
因此时可消去．
当时，有，满足题意；
当时，显然不在函数的定义域内，不符合；
综上，原方程的解为．

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