2025年山东省济南市历城二中推荐生数学试卷(含答案)

2025年山东省济南市历城二中推荐生数学试卷
一、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。
1.分解因式：x4+2x3+x2-1= .要求因式中任意一项的系数都是有理数.
2.设a∈R，若为实数，则a= .
3.实数a,b满足a3+b3+3ab=1，则a+b= .
4.若方程=x有两个不相等的实数根，则p的取值范围是 .
5.设x,y为实数，求S=（y-1）2+（x+2y-6）2+（x+y-3）2的最小值= .
6.向量与夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= .
7.有5个不同颜色的小球，其中红色的有1个，从中拿2个，其中有红色小球的概率是 .
8.在△ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，AE为角平分线，则线段AE的长为 .
9.函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且为奇函数，若f（1）=-1，则满足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范围是 .
10.已知x2+xy+2y2=29，则满足方程的不同整数组（x,y）有 个.
11.已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x-a1）（x-a2）（x-a3）（x-a4）（x-a5）=2009的整数根，则b的值为 .
二、解答题：本题共3小题，共9分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题3分)
n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1=a1＜a2＜…＜an=2009；且a1，a2，…，an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.
13.(本小题3分)
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c,已知asinA=4bsinB，ac=.
（1）求cosA的值；
（2）求sinC的值.
14.(本小题3分)
已知a+b+c+d=1，求证：.
1.【答案】（x2+x+1）（x2+x-1）
2.【答案】-2
3.【答案】1或-2
4.【答案】0≤p＜
5.【答案】
6.【答案】2
7.【答案】
8.【答案】或12
9.【答案】1≤x≤3
10.【答案】4
11.【答案】10
12.【答案】解：设a1，a2，an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi，i=1，2，n.即．
于是，对于任意的1≤i＜j≤n,都有，
从而n-1|（aj-ai），
由于是正整数，
故n-1|23×251，
由于an-1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）2，
所以，（n-1）2≤2008，于是n≤45，
结合n-1|23×251，所以，n≤9；
另一方面，令a1=8×0+1，a2=8×1+1，a3=8×2+1，a8=8×7+1，a9=8×251+1，
则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9．
13.【答案】-；

14.【答案】见上面详细证明．
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