5.3.5 随机事件的独立性 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册
文档属性
| 名称 | 5.3.5 随机事件的独立性 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 27.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-29 09:32:18 | ||
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文档简介
5.3.5 随机事件的独立性
【学习目标】
1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念;
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题;
3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题.
◆ 知识点 相互独立事件
1.一般地,当 时,就称事件A 与B相互独立(简称独立),事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生 影响事件B发生的概率.
2.P(AB)=P(A)P(B),这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的 .
3.如果事件A与B相互独立,则与B,A与,与也相互 .
4.有限个事件相互独立
“事件A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若P(A)P(B)=P(AB),则事件A与B相互独立. ( )
(2)P(AB)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B). ( )
(3)若把一副扑克牌中的4张K随机分给甲、乙、丙、丁四个人,每人得到1张扑克牌,则事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到红桃K”相互独立.( )
(4)若A和B是两个相互独立事件,则1-P(A)P(B)表示事件A,B中至少有1个发生的概率.( )
◆ 探究点一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件.
(1)甲组有3名男生和2名女生,乙组有2名男生和3名女生,现从甲、乙两组中各选1名学生参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”.
变式 (1)[2023·河北邢台高一期末] 设A,B,C为三个随机事件,则“A,B,C相互独立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选题)[2024·江西吉安高一期末] 某人连续掷两次骰子,事件A1表示“第一次掷出的点数是2”,事件A2表示“第二次掷出的点数是3”,事件A3表示“两次掷出的点数之和为5”,事件A4表示“两次掷出的点数之和为9”.则 ( )
A.A1与A2相互独立
B.A1与A3相互独立
C.A2与A3不相互独立
D.A2与A4不相互独立
[素养小结]
判断事件是否相互独立的方法:
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B).
(2)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
◆ 探究点二 相互独立事件发生的概率
例2 甲、乙、丙三个人独立解决同一个问题,三人在一定的时间内能解出该题的概率分别是,,.求:
(1)他们都解出该题的概率;
(2)他们都没有解出该题的概率;
(3)他们能够解决这个问题的概率.
变式 [2024·湖北荆州高一期末] 甲、乙两名篮球选手赛前进行三分球投篮训练,甲每次投中三分的概率为0.8,乙每次投中三分的概率为p,在每次投篮中,甲和乙互不影响.已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94.
(1)求p的值;
(2)甲、乙两人各投篮两次,求两人共投中三分球三次的概率.
[素养小结]
求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件发生的概率,再求积.
1.下列事件中,事件A,B是相互独立事件的是( )
A.把一枚均匀的硬币抛掷两次,事件A:第一次为正面向上,事件B:第二次为反面向上
B.袋中有2个白球和2个黑球,不放回地摸2个球,事件A:第一次摸到白球,事件B:第二次摸到白球
C.抛掷一枚均匀的骰子,事件A:出现的点数为奇数,事件B:出现的点数为偶数
D.事件A:某人能活到65岁,事件B:某人能活到75岁
2.甲、乙两同名学答同一道题,甲答对的概率为0.85,乙答对的概率为0.74,甲、乙两人答对与否相互独立,则甲、乙两人都答对的概率为( )
A.1 B.0.629
C.0 D.0.74或0.85
3.[2024·山东威海高一期末] 掷红、蓝两个质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A1:红骰子的点数为2,A2:红骰子的点数为3,A3:两个骰子的点数之和为7,A4:两个骰子的点数之和为9,则 ( )
A.A1与A2对立
B.A3与A4不互斥
C.A1与A3相互独立
D.A2与A4相互独立
4.甲、乙、丙3人分别去不同的商店购买同一种纪念品,3人的购买情况是相互独立的,若甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率为,丙购买到该纪念品的概率为,则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到该纪念品的概率为 .
5.[2024·江西九江一中高一期末] 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是,各家庭是否回答正确互不影响.则甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确的概率为 .
5.3.5 随机事件的独立性
【课前预习】
知识点
1.P(AB)=P(A)P(B) 不会 2.积 3.独立
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (2)只有事件A与B相互独立时,才有P(AB)=P(A)P(B).
(3)事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到红桃K”不可能同时发生,是互斥事件.
(4)若A和B是两个相互独立事件,则1-P(A)P(B)表示事件A,B中至多有1个发生的概率.
【课中探究】
例1 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.
变式 (1)A (2)ACD [解析] (1)三个事件A,B,C相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),所以由A,B,C相互独立得P(ABC)=P(A)P(B)P(C),反之不成立.故“A,B,C相互独立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的充分不必要条件.故选A.
(2)由题意知P(A1)=,P(A2)=,
P(A3)=×+×+×+×=,
P(A4)=×+×+×+×=.
对于A,∵P(A1A2)=×==P(A1)P(A2),∴A1与A2相互独立,故A正确.
对于B,∵P(A1A3)=×=≠P(A1)P(A3),∴A1与A3不相互独立,故B错误.
对于C,∵P(A2A3)=×=≠P(A2)P(A3),∴A2与A3不相互独立,故C正确.
对于D,∵P(A2A4)=×=≠P(A2)P(A4),∴A2与A4不相互独立,故D正确.
故选ACD.
例2 解:(1)用事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三个人在一定的时间内能解出该题.依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)他们都解出该题,即事件A,B,C同时发生,故P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=××=.
(2)他们都没有解出该题,即事件,,同时发生,
故P( )=P()·P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=××=××=.
(3)“他们能够解决这个问题”的对立事件为“他们都没有解出该题”,结合对立事件间的概率关系,可得所求事件的概率P=1-P( )=1-=.
变式 解:(1)由题可知1-(1-0.8)×(1-p)=0.94,解得p=0.7.
(2)设事件A1,A2分别表示甲投篮两次投中三分球一次、两次,设事件B1,B2分别表示乙投篮两次投中三分球一次、两次.
则P(A1)=0.8×0.2+0.2×0.8=0.32,P(A2)=0.8×0.8=0.64,
P(B1)=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42,P(B2)=0.7×0.7=0.49.
设事件E:甲、乙两人各投篮两次,两人共投中三分球三次,
则P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=0.32×0.49+0.64×0.42=0.425 6.
故甲、乙两人各投篮两次,两人共投中三分球三次的概率为0.425 6.
【课堂评价】
1.A [解析] 把一枚均匀的硬币抛掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A中A,B是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然事件A与事件B不相互独立;对于C,A,B为互斥事件,不相互独立;D中事件B发生的概率受事件A发生的影响.故选A.
2.B [解析] 由题知,所求概率P=0.85×0.74=0.629.
3.C [解析] 对于A,A1与A2互斥但不对立,故A错误;对于B,A3与A4不能同时发生,故A3与A4互斥,故B错误;对于C,样本空间包含6×6=36(个)样本点,两个骰子的点数之和为7包含的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,则P(A3)==,又P(A1)=,P(A1A3)=,所以P(A1)P(A3)=P(A1A3),所以A1与A3相互独立,故C正确;对于D,两个骰子的点数之和为9包含的样本点有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),共4个,则P(A4)==,又P(A2)=,P(A2A4)=,所以P(A2)P(A4)≠P(A2A4),故D错误.故选C.
4. [解析] 因为甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率为,所以甲、乙2人均没有购买到该纪念品的概率P1=1-=.同理,丙没有购买到该纪念品的概率P2=1-=,所以甲、乙、丙3人均没有购买到该纪念品的概率P3=P1·P2=×=,所以甲、乙、丙3人中至少有1人购买到该纪念品的概率P=1-P3=.
5. [解析] 设甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别为P1,P2,P3,
由题意得P1=,(1-P3)=,P2P3=,可得P1=,P2=,P3=,
所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确的概率
P=P1P2(1-P3)+P1(1-P2)P3+(1-P1)P2P3=××+××+××=.
【学习目标】
1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念;
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题;
3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题.
◆ 知识点 相互独立事件
1.一般地,当 时,就称事件A 与B相互独立(简称独立),事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生 影响事件B发生的概率.
2.P(AB)=P(A)P(B),这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的 .
3.如果事件A与B相互独立,则与B,A与,与也相互 .
4.有限个事件相互独立
“事件A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若P(A)P(B)=P(AB),则事件A与B相互独立. ( )
(2)P(AB)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B). ( )
(3)若把一副扑克牌中的4张K随机分给甲、乙、丙、丁四个人,每人得到1张扑克牌,则事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到红桃K”相互独立.( )
(4)若A和B是两个相互独立事件,则1-P(A)P(B)表示事件A,B中至少有1个发生的概率.( )
◆ 探究点一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件.
(1)甲组有3名男生和2名女生,乙组有2名男生和3名女生,现从甲、乙两组中各选1名学生参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”.
变式 (1)[2023·河北邢台高一期末] 设A,B,C为三个随机事件,则“A,B,C相互独立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选题)[2024·江西吉安高一期末] 某人连续掷两次骰子,事件A1表示“第一次掷出的点数是2”,事件A2表示“第二次掷出的点数是3”,事件A3表示“两次掷出的点数之和为5”,事件A4表示“两次掷出的点数之和为9”.则 ( )
A.A1与A2相互独立
B.A1与A3相互独立
C.A2与A3不相互独立
D.A2与A4不相互独立
[素养小结]
判断事件是否相互独立的方法:
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B).
(2)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
◆ 探究点二 相互独立事件发生的概率
例2 甲、乙、丙三个人独立解决同一个问题,三人在一定的时间内能解出该题的概率分别是,,.求:
(1)他们都解出该题的概率;
(2)他们都没有解出该题的概率;
(3)他们能够解决这个问题的概率.
变式 [2024·湖北荆州高一期末] 甲、乙两名篮球选手赛前进行三分球投篮训练,甲每次投中三分的概率为0.8,乙每次投中三分的概率为p,在每次投篮中,甲和乙互不影响.已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94.
(1)求p的值;
(2)甲、乙两人各投篮两次,求两人共投中三分球三次的概率.
[素养小结]
求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件发生的概率,再求积.
1.下列事件中,事件A,B是相互独立事件的是( )
A.把一枚均匀的硬币抛掷两次,事件A:第一次为正面向上,事件B:第二次为反面向上
B.袋中有2个白球和2个黑球,不放回地摸2个球,事件A:第一次摸到白球,事件B:第二次摸到白球
C.抛掷一枚均匀的骰子,事件A:出现的点数为奇数,事件B:出现的点数为偶数
D.事件A:某人能活到65岁,事件B:某人能活到75岁
2.甲、乙两同名学答同一道题,甲答对的概率为0.85,乙答对的概率为0.74,甲、乙两人答对与否相互独立,则甲、乙两人都答对的概率为( )
A.1 B.0.629
C.0 D.0.74或0.85
3.[2024·山东威海高一期末] 掷红、蓝两个质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A1:红骰子的点数为2,A2:红骰子的点数为3,A3:两个骰子的点数之和为7,A4:两个骰子的点数之和为9,则 ( )
A.A1与A2对立
B.A3与A4不互斥
C.A1与A3相互独立
D.A2与A4相互独立
4.甲、乙、丙3人分别去不同的商店购买同一种纪念品,3人的购买情况是相互独立的,若甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率为,丙购买到该纪念品的概率为,则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到该纪念品的概率为 .
5.[2024·江西九江一中高一期末] 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是,各家庭是否回答正确互不影响.则甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确的概率为 .
5.3.5 随机事件的独立性
【课前预习】
知识点
1.P(AB)=P(A)P(B) 不会 2.积 3.独立
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (2)只有事件A与B相互独立时,才有P(AB)=P(A)P(B).
(3)事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到红桃K”不可能同时发生,是互斥事件.
(4)若A和B是两个相互独立事件,则1-P(A)P(B)表示事件A,B中至多有1个发生的概率.
【课中探究】
例1 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.
变式 (1)A (2)ACD [解析] (1)三个事件A,B,C相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),所以由A,B,C相互独立得P(ABC)=P(A)P(B)P(C),反之不成立.故“A,B,C相互独立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的充分不必要条件.故选A.
(2)由题意知P(A1)=,P(A2)=,
P(A3)=×+×+×+×=,
P(A4)=×+×+×+×=.
对于A,∵P(A1A2)=×==P(A1)P(A2),∴A1与A2相互独立,故A正确.
对于B,∵P(A1A3)=×=≠P(A1)P(A3),∴A1与A3不相互独立,故B错误.
对于C,∵P(A2A3)=×=≠P(A2)P(A3),∴A2与A3不相互独立,故C正确.
对于D,∵P(A2A4)=×=≠P(A2)P(A4),∴A2与A4不相互独立,故D正确.
故选ACD.
例2 解:(1)用事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三个人在一定的时间内能解出该题.依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)他们都解出该题,即事件A,B,C同时发生,故P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=××=.
(2)他们都没有解出该题,即事件,,同时发生,
故P( )=P()·P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=××=××=.
(3)“他们能够解决这个问题”的对立事件为“他们都没有解出该题”,结合对立事件间的概率关系,可得所求事件的概率P=1-P( )=1-=.
变式 解:(1)由题可知1-(1-0.8)×(1-p)=0.94,解得p=0.7.
(2)设事件A1,A2分别表示甲投篮两次投中三分球一次、两次,设事件B1,B2分别表示乙投篮两次投中三分球一次、两次.
则P(A1)=0.8×0.2+0.2×0.8=0.32,P(A2)=0.8×0.8=0.64,
P(B1)=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42,P(B2)=0.7×0.7=0.49.
设事件E:甲、乙两人各投篮两次,两人共投中三分球三次,
则P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=0.32×0.49+0.64×0.42=0.425 6.
故甲、乙两人各投篮两次,两人共投中三分球三次的概率为0.425 6.
【课堂评价】
1.A [解析] 把一枚均匀的硬币抛掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A中A,B是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然事件A与事件B不相互独立;对于C,A,B为互斥事件,不相互独立;D中事件B发生的概率受事件A发生的影响.故选A.
2.B [解析] 由题知,所求概率P=0.85×0.74=0.629.
3.C [解析] 对于A,A1与A2互斥但不对立,故A错误;对于B,A3与A4不能同时发生,故A3与A4互斥,故B错误;对于C,样本空间包含6×6=36(个)样本点,两个骰子的点数之和为7包含的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,则P(A3)==,又P(A1)=,P(A1A3)=,所以P(A1)P(A3)=P(A1A3),所以A1与A3相互独立,故C正确;对于D,两个骰子的点数之和为9包含的样本点有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),共4个,则P(A4)==,又P(A2)=,P(A2A4)=,所以P(A2)P(A4)≠P(A2A4),故D错误.故选C.
4. [解析] 因为甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率为,所以甲、乙2人均没有购买到该纪念品的概率P1=1-=.同理,丙没有购买到该纪念品的概率P2=1-=,所以甲、乙、丙3人均没有购买到该纪念品的概率P3=P1·P2=×=,所以甲、乙、丙3人中至少有1人购买到该纪念品的概率P=1-P3=.
5. [解析] 设甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别为P1,P2,P3,
由题意得P1=,(1-P3)=,P2P3=,可得P1=,P2=,P3=,
所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确的概率
P=P1P2(1-P3)+P1(1-P2)P3+(1-P1)P2P3=××+××+××=.