6.1.1 向量的概念 同步练习（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

6.1　平面向量及其线性运算
6.1.1　向量的概念
一、选择题
1.下列说法正确的是 (　 )
A.向量与向量是相等向量
B.与实数类似,对于两个向量a,b有a=b,a>b,aC.若两个非零向量平行,则表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D.若两个非零向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重合
2.已知a,b是两个平面向量,则“a=b”是“|a|=|b|”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知四边形ABCD,则下列说法正确的是 (　 )
A.若=,则四边形ABCD为平行四边形
B.若||=||,则四边形ABCD为矩形
C.若∥,且||=||,则四边形ABCD为矩形
D.若||=||,且∥,则四边形ABCD为梯形
4.如图所示,△ABC的三边长均不相等,E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点, 则与向量的模相等的向量共有 (　 )
A.6个 　　　B.5个
C.4个 　　　D.3个
5.下列说法中正确的是 (　 )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a=b,b=c,则a=c
C.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
D.若a∥b,则a与b方向相同或相反
6.已知O是△ABC内一点,若||=||=||,则O一定是△ABC的 (　 )
A.重心 B.内心
C.外心 D.垂心
7.(多选题)如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则下列关系正确的是 (　 )
A.=
B.||=||
C.>
D.∥
8.(多选题)下列说法中正确的是 (　 )
A.向量的长度与向量的长度相等
B.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
C.两个有公共终点的向量,一定是共线向量
D.若向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上
9.(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.若向量与向量共线,则A,B,C,D四点在一条直线上
B.若A,B,C,D四点在一条直线上,则向量与向量共线
C.若A,B,C,D四点不在一条直线上,则向量与向量不共线
D.若向量与向量共线,则A,B,C三点在一条直线上
二、填空题
10.已知||=1,||=2,若∠ABC=90°,则||=　　　　.
11.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),找出存在下列关系的向量:
①共线向量:　　　　　　;
②模相等的向量:　　　　　　.
12.下列说法中,正确说法的序号为　　　　.
①单位向量都相等;
②若向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
③向量就是有向线段;
④模为0的向量叫零向量;
⑤向量,共线与向量∥意义是相同的.
三、解答题
13.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
14.已知飞机从甲地沿北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地,再从乙地沿南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地,再从丙地沿西南方向飞行1000 km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
15.如图所示,已知四边形ABCD是矩形,O为对角线AC与BD的交点, 设点集M={O,A,B,C,D},向量的集合T={|P,Q∈M,且P,Q不重合},则集合T中有　　　　个元素.
16.如图,A1,A2,…,A8是☉O上的8个等分点,则在以A1,A2,…,A8及圆心O这9个点中任意2个点为始点与终点的向量中,模等于☉O半径的向量有多少个 模等于☉O半径的倍的向量有多少个
6.1　平面向量及其线性运算
6.1.1　向量的概念
1.D　[解析] 对于A,向量与向量的方向不同,不是相等向量,所以A错误;对于B,因为向量是既有大小又有方向的量,所以两个向量不能比较大小,所以B错误;对于C,若两个非零向量平行,则表示向量的有向线段所在的直线平行或重合,所以C错误;对于D,由共线向量的定义可知,当两个非零向量是共线向量时,向量所在的直线可以平行,也可以重合,所以D正确.故选D.
2.A　[解析] 由题意知a,b是两个平面向量,若a=b,则|a|=|b|是成立的;反之,若|a|=|b|,则向量a,b的方向可能是不同的,所以a=b不一定成立.所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件,故选A.
3.A　[解析] 对于A,若=,则||=||且∥,则四边形ABCD为平行四边形,故A正确;对于B,若||=||,则四边形ABCD可以是矩形,也可以是等腰梯形,故B错误;对于C,若∥,且||=||,则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故C错误;对于D,若||=||,且∥,则四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是梯形,故D错误.故选A.
4.B　[解析] ∵E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点,
∴EF=BC,BD=DC=BC.又AB,BC,AC的长度均不相等,∴与向量的模相等的向量有,,,,,共5个.
5.B　[解析] 对于A选项,若b=0,则a∥b,b∥c,但a∥c不一定成立,故A错误;对于B选项,根据向量传递性,可知B正确;对于C选项,若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等或大小相等,方向相反,故C错误;对于D选项,零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意,如果a,b中有一个是零向量,那么a,b的方向相同或相反,或者不同,故D错误.故选B.
6.C　[解析] 由条件知点O到△ABC的三个顶点的距离相等,所以O一定是△ABC的外心.
7.BD　[解析] 与方向不相同,故A错误;||与||表示等腰梯形ABCD两腰的长度,所以||=||,故B正确;向量无法比较大小,只能比较向量的模的大小,故C错误;等腰梯形的上底BC与下底AD平行,所以∥,故D正确.故选BD.
8.AB　[解析] 向量与向量的长度相等,所以A选项正确;若两个向量相等且有公共起点,则其终点必相同,所以B选项正确;若两个向量有公共终点,则这两个向量不一定是共线向量,所以C选项错误;若向量与向量是共线向量,则直线AB与直线CD可能平行,也可能重合,所以D选项错误.故选AB.
9.BD　[解析] 对于A,平行四边形ABCD中,=,满足向量与共线,而A,B,C,D四点不共线,故A错误;对于B,A,B,C,D四点在一条直线上,则向量与方向相同或相反,即向量与共线,故B正确;对于C,平行四边形ABCD中,满足A,B,C,D四点不共线,但=,即向量与共线,故C错误;对于D,向量与共线,而向量与有公共点B,因此A,B,C三点在一条直线上,故D正确.故选BD.
10.　[解析] 由题意知,在△ABC中,AB=1,AC=2,∠ABC=90°,由勾股定理可知,BC==,所以||=.
11.①a与d,b与e　 ②a,c,d　[解析] ①由题图可得a∥d,b∥e,因此a与d是共线向量,并且方向相反,b与e是共线向量.
②显然|a|=,|c|=,|d|=,因此a,c,d的模相等.
12.④⑤　[解析] 对于①,单位向量的方向不同时,不相等,故①不正确;对于②,向量a,b满足|a|=|b|时,若a,b的方向不同,则a,b不相等,故②不正确;对于③,有向线段是有方向的线段,向量是既有大小、又有方向的量,向量可以用有向线段来表示,二者不等价,故③不正确;对于④,根据零向量的定义可知④正确;对于⑤,根据共线向量的定义可知⑤正确.故正确说法的序号为④⑤.
13.解:(1)因为在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,所以CE∥AF,CE=AF,所以四边形AFCE为平行四边形,所以CF∥AE,
所以与向量共线的向量为,,.
(2)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC.
因为E,F分别是DC,AB的中点,所以ED∥BF且ED=BF,所以四边形BFDE是平行四边形,所以BE=FD且BE∥FD,所以=.
14.解:根据题意作出示意图,如图所示,A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,
依题意知,三角形ABC为正三角形,∴AC=2000 km,
又∵∠ACD=45°,CD=1000 km,∴△ACD为等腰直角三角形,
∴AD=1000 km,∠CAD=45°.
故丁地在甲地的东南方向,距甲地1000 km.
15.12　[解析] 以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O这五点中的任意一点为起点,其余四点中的一个点为终点的向量共有20个,但这20个向量中有8对向量是相等的,即(),(),(),(),(),(),(),(),由元素的互异性知集合T中有12个元素.
16.解:模等于☉O半径的向量只有两类:一类是(i=1,2,…,8),共8个;另一类是(i=1,2,…,8),共8个.所以模等于☉O半径的向量共有16个.
以A1,A2,…,A8为顶点的☉O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7,另一个是正方形A2A4A6A8,在题目所述的向量中,只有这两个正方形的边对应的向量的模为☉O半径的倍,又每一边对应两个向量,所以模为☉O半径的倍的向量共有4×2×2=16(个).